Учитель! Подпишитесь на нашу рассылку и получайте 2 раза в месяц письма с обзором интересных сервисов, которые освободят массу вашего времени.

Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 17

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля — 131 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 13 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях.

2
2

На рисунке жирными точками показана цена меди на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни в октябре 2010 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — цена меди в долларах США за тонну. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену меди за данный период. Ответ дайте в долларах США за тонну.

Вариант 17

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1× изображён квадрат. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Вариант 17

4
4

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

5
5

Найдите корень уравнения [math]log_7(1-x)=log_75[/math]

6
6

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 4. Найдите cos A.

Вариант 17

7
7

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Вариант 17
8
8

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 6 , BC = 5 , AA1 = 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.

Вариант 17

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{\sqrt[3]{121}\times\sqrt[4]{121}}{\sqrt[12]{121}}[/math]

10
10

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

[math]T(t)=T_0+bt+at^2[/math]

где t — время (в мин.), T0 =1380 К, a = −15 К/мин2, b = 165К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

11
11

Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=10cosx+\frac{36x}\pi-6[/math] на отрезке Вариант 17

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]8^x-9\times2^{x+1}+2^{5-x}=0[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log52; log520].

Показать ответ

[math]8^x-9\cdot2\cdot2^x+32\cdot\frac1{2^x}=0[/math]

[math]16^x-18\cdot4^x+32=0[/math]

Замена 4x=t: [math]1t^2-18\cdot t+32=0[/math]

Корни t1=2; t2=16

4x=2; 4x=16

x1=0,5; x2=2

Сопоставим корни с отрезком:

[math]\log_52<\log_5\sqrt5<\log_520<\log_525[/math]

Только 0,5 принадлежит отрезку.

Ответ: а) 0,5 и 2; б) 0,5

14

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью a, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями a и BCC1, если AA1=6, AB=4.

Показать ответ

а) Плоскость a проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость a пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда a пересекает плоскость боковых граней по прямым D1E и D1F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD1N — сечение параллелепипеда плоскостью.

Вариант 17

Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC1A1 и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.

По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому [math]D_1B\perp MN[/math] и [math]D_1B\perp AC[/math]. По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.

б) Пусть K — середина ребра BB1, а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла.

В прямоугольном треугольнике BKN имеем: [math]Error converting from MathML to LaTeX[/math]

откуда [math]\angle MHK=arctg\frac{MK}{KH}=arctg\frac53[/math].

Ответ: [math]arctg\frac53[/math]

15

Решите неравенство log22 (25—x2) — 7log2(25 — x2) + 12[math]\geq[/math]0

Показать ответ
ОДЗ: [math]25-x^2>0\Rightarrow-5<x<5[/math] Заменим log22 (25—x2) = t t2 — 7t + 12 [math]\geq[/math] 0 (t — 4)(t — 3) [math]\geq[/math] 0 t[math]\leq[/math]3 или t[math]\geq[/math]4 log22 (25—x2)[math]\leq[/math]3 25—x2[math]\leq[/math]8 [math]x\in(-\infty;-\sqrt{17}\rbrack\cup\lbrack\sqrt{17};+\infty)[/math] log22 (25—x2)[math]\geq[/math]4 25—x2\geq[/math]16 [math]x\in\lbrack-3;3\rbrack[/math] Общее решение с учетом ОДЗ: [math]x\in\lbrack-\sqrt{17};-3\rbrack\cup\lbrack3;\sqrt{17}\rbrack[/math] Ответ: [math]x\in\lbrack-\sqrt{17};-3\rbrack\cup\lbrack3;\sqrt{17}\rbrack[/math]
16

В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон ВС, AC и AB соответственно, AH — высота, [math]\angle BAC=60^\circ[/math], [math]\angle BCA=45^\circ[/math].

а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H, если [math]BC=2\sqrt3[/math]

Показать ответ

a) Заметим, что C1H — медиана прямоугольного треугольника ABH, значит, C1H=1/2•AB=AC1=BC1, но и A1B1=1/2•AB как средняя линия треугольника АВС.

Вариант 17

Поэтому четырёхугольник C1HA1B1 — равнобедренная трапеция, вокруг неё можно описать окружность, а значит, точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

б) Найдем сторону АВ треугольника ABC по теореме синусов:

[math]\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\Rightarrow AB=2\sqrt3\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=2\sqrt2.[/math]

Вариант 17

Найдем катет прямоугольного треугольника AHB:

BH=ABcos75°=2√2•cos75°.

Тогда длина искомого отрезка A1H:

A1H=BA1—BH=√3—2√2•cos75°

cos75°=cos(45°+30°)=cos45°•cos30°—sin45°•sin30°=(√6—√2)/4

A1H=√3—2√2•(√6—√2)/4=1

Ответ: б) 1.

17

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t =1; 2;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+ r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Показать ответ

Ответ: [math]\frac{43}{441}<r<\frac{41}{400}[/math]

18

Найдите все значения a , при каждом из которых система неравенств

[math]\left\{\begin{array}{c}ax\geq2\\\sqrt{x-1}>a\\3x\leq2a+11\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Ответ: [math]\frac12\leq a\leq\sqrt3[/math]

19

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Показать ответ

а) Для выполнения условий задачи достаточно, чтобы произведение двух меньших чисел было больше 40, а произведение двух больших чисел было меньше 100. Пять чисел 6, 7, 8, 9, 10 удовлетворяют условию задачи.

б) Пусть числа на доске записаны в порядке возрастания: a < b < c < d < e < f . Заметим, что [math]b\geq7[/math], [math]e\geq9[/math] иначе произведение a•b будет меньше 40, а произведение e•f будет больше 100. Другими словами, на доске может быть только одно число a 10. Но тогда четырьмя различными числами b, c, d, e должны быть три числа 7, 8 и 9, что невозможно.

в) Пусть на доске написаны числа a, b, c и d, причём a < b < c < d. Как было показано в предыдущем пункте, соседние с крайними числа подчиняются условию [math]7\leq b\leq c\leq9[/math]. Следовательно, возможны только три случая.

Если записаны числа а, 7, 8, d, то наибольшие возможные числа a = 6, d = 12. Сумма четырех записанных чисел равна 33.

Если записаны числа а, 7, 9, d, то a = 6, d = 11, сумма 33.

Если записаны числа а, 8, 9, d, то a = 7, d = 11, сумма 35.

Таким образом, наибольшее значение суммы четырех чисел равно 35.

Ответ: а) да; б) нет; в) 35.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 275 740
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель