Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 7

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Компания для украшения помещения к новому году закупила 7 искусственных ёлок. Для украшения одной ёлки требуется не менее 13 игрушек. Игрушки продаются комплектами по 10 штук. Сколько нужно закупить комплектов, чтобы украсить все ёлки?

2
2

На диаграмме изображено количество учеников 11 класса, выбравших для сдачи ЕГЭ различные дополнительные экзамены. По горизонтали указаны экзамены, по вертикали — количество учеников, выбравших тот или иной экзамен. По диаграмме определите, сколько экзаменов были более востребованы, чем химия.

3
3

Найдите площадь равнобедренной трапеции (в см2), высота которой равна 7 см и делит основание на отрезки длиной 17 см и 6 см.

4
4

На производстве при упаковке чая вероятность того, что упаковка окажется не герметичной, равна 0,09. Найдите вероятность того, что две произвольно выбранные упаковки чая окажутся герметичными.

5
5

Решите уравнение [math]\sqrt{\frac{3x-5}{2x}}=\frac13[/math]

6
6

В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90°. Найдите сторону AC (в см), если tg∠C=[math]\frac74[/math], CB=[math]2\sqrt{65}[/math] см.

7
7

На рисунке представлен график производной функции y=f '(x) на интервале (−10; 2). Найдите точку минимума функции y=f(x) на данном промежутке.

8
8

Объём прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 200 см​3. Найдите площадь его боковой поверхности (в см2), если высота параллелепипеда равна 8 см.

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{log_5125}{log_\frac139}[/math]

10
10

Координата тела при равноускоренном движении изменяется по закону [math]x=x_0+v_0t+\frac{at^2}2[/math], где [math]x_0[/math] — начальная координата тела, a — ускорение тела, t — время движения тела. Найдите время движения тела, если его ускорение равно 2 м/c2, начальная координата равна 7 м, а координата в конце движения равна 67 м при начальной скорости 11 м/с.

11
11

Из одного порта в другой по течению выплыл плот, через два часа ему навстречу выплыла моторная лодка, они встретились через 4 часа после отправления лодки. Найдите скорость лодки (в км/ч), если скорость течения равна 3 км/ч, а расстояние между портами равно 146 км.

12
12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=4x+\frac1x+7[/math] на промежутке (0;2)

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение 4cos4x - 5cos2x - 1 = 0.

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [arccos0; arccos(-1)].

Показать ответ

А) Преобразуем уравнение:

[math]4(\frac{1+cos2x}2)^2-5cos2x-1=0[/math]

[math]1+2cos2x+cos^22x-5cos2x-1=0[/math]

[math]cos^22x-3cos2x=0[/math]

[math]cos2x(cos2x-3)=0[/math]

т.е. имеем, что [math]cos2x=0[/math] или [math]cos2x-3=0[/math]

В первом случае [math]2x=\frac\pi2+\pi n[/math]; [math]x=\frac\pi4+\frac{\pi n}2[/math], [math]n\in Z[/math]

Во втором случае [math]\varnothing[/math], так как не соответствует области значений косинуса

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие корни входят в отрезок:

Ответ:

А) [math]\frac\pi4+\frac{\pi k}2;\;k\in Z;[/math]

Б) [math]\frac{3\pi}4[/math]

14

Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.

А) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны.

Б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а также одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен [math]\left(6\sqrt3+10\right)\cdot\pi[/math].

Показать ответ

А) [math]S_{б.к.}=S_{б.ц.}[/math] - доказать

[math]S_{б.к.}=\pi r\cdot AH[/math] ; [math]S_{б.ц.}=2\pi r\cdot AB[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABH[/math], [math]H[/math] - центр основания цилиндра, [math]BA\perp[/math] нижнему основанию цилиндра, [math]\angle B=90^\circ[/math]

[math]sin(\angle H)=\frac{AB}{AH}=sin(30^\circ)=\frac12\Rightarrow AB=\frac12AH[/math]

[math]\Rightarrow S_{б.ц.}=2\pi r\cdot\frac12AH=\pi r\cdot AH=S_{б.к.}[/math], что и требовалось доказать

Б) [math]V_к=(6\sqrt3+10)\pi[/math], [math]r_0[/math] - ?

т. [math]О[/math] - центр сферы, пусть т. [math]O\in(ABH)[/math]

[math]\Rightarrow r_0=[/math] радиусу вписанное в [math]\bigtriangleup ABH[/math] окружности

[math]\Rightarrow r_0=\frac{HB+AB-AH}2=\frac{R+h-\frac h{sin(\angle H)}}2=\frac{R-h}2[/math]

[math]\frac hR=tg(\angle H)\Rightarrow h=R\cdot tg(30^\circ)=\frac{R\sqrt3}3[/math]

[math]V_к=\frac13\pi R^2h=\frac13\pi R^2\cdot\frac{R\sqrt3}3=\frac{\pi R^3\sqrt3}9[/math], [math]r_0=\frac{R(1-\frac{\sqrt3}3)}2\Rightarrow R=\frac{2r_0}{1-\frac{\sqrt3}3}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{\pi\sqrt3}9\cdot(\frac{2r_0}{1-\frac{\sqrt3}3})^3=(6\sqrt3+10)\pi[/math]

[math]\frac{8\sqrt3}9r_0^3=12\sqrt3-20+20-\frac{100\sqrt3}9[/math]

[math]r_0^3=1[/math]

[math]r_0=1[/math]

Ответ: 1

15

Решите неравенство [math]\frac{\log_3\sqrt{28\cdot3^x-3}}{x+1}\geq1[/math].

Показать ответ

Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю:

[math]\frac{log_3\sqrt{28\cdot3^x-3}-(x+1)}{x+1}\geq0[/math]

ОДЗ: [math]28\cdot3^x-3>0[/math]

[math]x>log_3\frac3{28}[/math]

[math]x>1-log_328[/math]

Нули числителя: [math]\frac12log_3(28\cdot3^x-3)-(x+1)=0[/math]

[math]log_3(28\cdot3^x-3)=2(x+1)[/math]

[math]28\cdot3^x-3=3^{2(x+1)}[/math]

[math]9\cdot3^{2x}-28\cdot3^x+3=0[/math]

D=646

[math]3^x=\frac{28+26}{18}=3\Rightarrow x=1[/math]

[math]3^x=\frac{28-26}{18}=\frac19\Rightarrow x=-2[/math]

Нули знаменателя:[math]x+1=0\Rightarrow x=-1[/math]

Нанесем нули на числовую прямую, расставим знаки, при этом учитываем ОДЗ:

Ответ: (1-log328; -2]⋃(-1; 1]

16

В прямоугольном треугольнике АВС известно, что ВС=2⋅АС. На гипотенузе АВ вне треугольника построен квадрат ABEF. Прямая СЕ пересекает АВ в точке О.

А) Докажите, что ОА:ОВ=3:4.

Б) Найдите отношение площадей треугольников АОС и ВОЕ.

Показать ответ

А) Достроим до квадрата [math]CKMN[/math] так, чтобы [math]\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup FAN=\bigtriangleup EFM=\bigtriangleup BEK[/math]

Обозначим [math]\angle OCA=\alpha[/math] и запишем теорему синусов для [math]\bigtriangleup OCA[/math] и [math]\bigtriangleup OCB[/math]:

[math]\frac{OC}{sin(\angle OBC)}=\frac{OB}{sinn(90^\circ-\alpha)}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{OA}{OB}\cdot\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin(\angle OBC)}{sin(\angle OAC)}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{OA}{OB}=\frac{sin(\angle OBC)}{sin(\angle OAC)}\cdot tg\alpha[/math]

Опустим из Е перпендикуляр на CN. [math]EH\perp CN;EH=MN=CA+BC=3AC[/math]

[math]HN=EM[/math] (по свойству прямоугольника [math]EMNH[/math])

[math]\Rightarrow CH=CN-HN=3AC-AC=2AC[/math]

[math]\Rightarrow tg(\angle ECH)=tg\alpha=\frac32[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABC[/math]: по теореме Пифагора [math]AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{AC^2+4AC^2}=\sqrt5AC[/math]

[math]sin(\angle ABC)=sin(\angle OBC)=\frac{AC}{\sqrt5AC}=\frac1{\sqrt5}[/math]

[math]sin(\angle BAC)=sin(\angle OAC)=\frac{2AC}{\sqrt5AC}=\frac2{\sqrt5}[/math]

[math]\Rightarrow\frac{OA}{OB}=\frac1{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}2\cdot\frac32=\frac34[/math], ч.т.д.

Б) [math]\frac{S_{\bigtriangleup AOC}}{S_{\bigtriangleup BOE}}-?[/math]

[math]S_{\bigtriangleup AOC}=\frac12AO\cdot AC\cdot sin(\angle AOC)=\frac12\cdot\frac37AB\cdot AC\cdot\frac2{\sqrt5}=\frac3{7\sqrt5}AC\cdot\sqrt5\cdot AC=\frac37AC^2[/math]

[math]S_{\bigtriangleup BOE}=\frac12BO\cdot BE=\frac12\cdot\frac47\cdot AB\cdot AB=\frac27\cdot\left(AC\sqrt5\right)^2=\frac{10}7AC^2[/math]

[math]\Rightarrow\frac{S_{\bigtriangleup AOC}}{S_{\bigtriangleup BOE}}=\frac{\frac37AC^2}{\frac{10}7AC^2}=\frac3{10}[/math]

Ответ: 0,3

17

16 ноября близнецы Саша и Паша взяли в банке кредит по 500 тысяч руб. каждый сроком на четыре месяца. Условия возврата кредита таковы:

• 28-го числа каждого месяца долг увеличивается на 10 % по сравнению с 16-м числом текущего месяца;

• с 1-го по 15-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 16-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с предложенной для каждого из них таблицей:

Саша

Дата 16.11 16.12 16.01 16.02 16.03
Долг, тыс. руб. 500 300 200 100 0

Паша

Дата 16.11 16.12 16.01 16.02 16.03
Долг, тыс. руб. 500 400 300 200 0

Kто из братьев за четыре месяца выплатит банку меньшую сумму? На сколько рублей?

Показать ответ

Решение:

Составим таблицу выплат каждого из близнецов и посчитаем итоговую сумму выплаты по каждому:

Получим, что Саша выплатит меньше на 30 тыс. ( 640-610=30)

Ответ: Саша выплатит меньше на 30 тыс.

18

Найдите все а, при каждом из которых в область значений функции [math]y=\frac{8x-a-6}{8x^2+8}[/math] входит ровно два целых числа. Для каждого такого а укажите эти целые числа.

Показать ответ

Решение: так как нам дана дробь, и числитель является линейной функцией , то какое бы a мы не взяла всегда найдется значение х, в котором числитель равен 0, соответственно и исходная функция. ( такой же вывод можно сделать из предела функции)

Исходная функция непрерывна на [math]x\in R[/math]. Требуется по условию, что в область значений входит только два целых числа, значит имеем два варианта: 0 и 1, 0 и -1. Рассмотрим два случая.

1 сл: 0 и 1

Решим уравнение:

[math]\frac{8x-a-6}{8x^2+8}=1[/math]

[math]8x^2-8x+a+14=0[/math]

[math]D=64-32(a+14)\geq0[/math]

[math]a\leq-12[/math]

Учтем, что значения функции в данном случае лежит в пределах [math](-1;2)[/math] при [math]x\in R[/math]

Решим неравенство [math]-1<\frac{8x-a-6}{8x^2+8}<2[/math].

Решение: [math]a>-21;a<0[/math]. Получим, учитывая область значений функции, что [math]a\in(-21;-12\rbrack[/math]

2 сл: 0 и -1

Решим уравнение:

[math]\frac{8x-a-6}{8x^2+8}=-1[/math]

[math]8x^2+8x-a+2=0[/math]

[math]D=64-32(-a+2)\geq0[/math]

[math]a\geq0[/math]

Учтем, что значения функции в данном случае лежит в пределах [math](-2;1)[/math] при [math]x\in R[/math]

Решим неравенство [math]-2<\frac{8x-a-6}{8x^2+8}<1[/math].

Решение: [math]a>-12;a<9[/math]. Получим, учитывая область значений функции, что [math]a\in\lbrack0;9)[/math]

Ответ: a∈(-21; -12]⋃[0; 9);

при а∈(-21; -12] y=0 и y=1;

при а∈[0; 9) y=0 и y=-1

19

А) Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Обязательно ли на плоскости найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга ровно на 1 м?

Б) Каждая точка прямой окрашена в один из 10 цветов. Обязательно ли на прямой найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга на целое число метров?

В) Какое наибольшее количество вершин куба можно покрасить в синий цвет так, чтобы среди синих вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник?

Показать ответ

А) Предположим, что для произвольной точки плоскости все точки, удаленные от нее ровно на 1 м, другого цвета (если среди них были бы точки того же цвета, то это бы означало, что для этой произвольной точки нашлась точки того же цвета и задача была решена изначально). Следовательно, мы получим окружность радиуса 1 м, центр которой - точка одного цвета, а все точки окружности - точки другого цвета. На окружности всегда найдется хорда, равная радиусу окружности, следовательно мы найдем две точки одного цвета ( на концах хорды), отстоящих друг от друга на длину хорды, т.е. 1м. Ответ : да, можно

Б) Вероятность точки прямой определенного цвета 1/10. Следовательно из 20 точек прямой точки одного цвета попадут минимум 2 раза. Разместим точки разных десяти цветов на одинаковом целочисленном расстоянии друг от друга, тогда 11 точка будет совпадать с цветом любой из предыдущих, так как точки размещены всех 10ти цветов. Значит ответ:да, можно

В) Можно выбрать 4 вершины (вершины одной грани, они не образуют равносторонний треугольник). Если берем пять вершин, то можно составить равносторонний треугольник. На рисунке приведено решение:

Ответ: А) да; Б) да; В) 4.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 785 398
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель