Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 10

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

На покраску одного м2 поверхности одним слоем расходуется 0,2 литра краски. Найдите, какое количество краски необходимо (в л), чтобы покрасить забор площадью 21 м2 в три слоя.

2
2

На рисунке представлен график нагревания некоторого количества воды. По горизонтали указано время (в мин.), прошедшее с момента начала нагревания, по вертикали — температура воды в соответствующее время (в °С). Определите по графику, за сколько минут температура воды выросла с 40 °C до 80 °С.

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображена окружность. Вычислите площадь закрашенной фигуры в см2. В ответ укажите [math]\frac S\pi[/math].

4
4

В состязании по математике в команде «Незнайка в твоих штанах» 12 человек, из них три девочки. Отвечающего на вопрос члены жюри выбирают случайным образом. Найдите вероятность того, что выбранный участник — мальчик.

5
5

Решите уравнение [math]log_2(x^2+6x+9)=4[/math]. В ответе укажите меньший корень.

6
6

AD — основание равнобедренной трапеции ABCD. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом в точке O, угол A равен 75 °. Найдите длину боковой стороны (в см), если OD = [math]6\sqrt3[/math] см.

7
7

Изменение координаты точки выражается функцией [math]f(t)=\frac25\sqrt[2]{t^2}+\frac{t^2}2+6\sqrt t[/math], где t (в с) — время движения. Определите, какова была мгновенная скорость (в м/с) при t = 9 c.

8
8

Площадь полной поверхности цилиндра равна 628 см. Найдите объём вписанного в него конуса, если радиус основания равен 5 см. Число [math]\pi[/math] следует считать равным 3,14.

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{cos^2\left(\frac\pi2+x\right)}{1-sin^2x}-\frac1{cos^2x}[/math], если tg x = 1,6.

10
10

Для вычисления коэффициента эффективности миграции (в %) используется формула [math]K=\frac{P-B}{P+B}\cdot100[/math], где P — численность прибывших (в тыс. человек), B — численность выбывших (в тыс. человек). Сколько тысяч человек должно выехать из страны, чтобы коэффициент эффективности миграции достиг 10 % при 11 тыс. чел. прибывших?

11
11

Алексею необходимо выполнить грузоперевозку продукции массой 41,6 т. В первый день он перевез 200 кг товара. Найдите, на сколько тонн он ежедневно увеличивал массу привезённого товара по сравнению с предыдущим днём, если известно, что всю работу он выполнил за 13 дней.

12
12

Найдите точку минимума функции [math]f(x)=2^x-128x\;ln2[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение [math]\sqrt{-ctgx}\cdot\left(2\cos^2x-\cos x-1\right)=0[/math].

А) Решите уравнение.

Б) Укажите его корни из промежутка [math]\left[\frac{15\pi}2;\;9\pi\right][/math].

Показать ответ

А) ОДЗ: [math]sinx\neq0;ctgx<0[/math]

[math]\sqrt{-ctgx}=0[/math]

[math]cosx=0[/math]

[math]x=\frac\pi2+\pi n[/math], [math]n\in Z[/math]

[math]2cos^2x-cosx-1=0[/math]

[math]a=2;b=-1;c=-1;a+b+c=0\Rightarrow x_1=1;x_2=\frac ca[/math]

[math]\Rightarrow cosx=1;cosx=-\frac12[/math]

[math]x=2\pi n[/math] - не соответствует ОДЗ, [math]x=-\frac{2\pi}3+2\pi k;\;x=\frac{2\pi}3+2\pi k[/math], [math]k\in N[/math]

[math]x=-\frac{2\pi}3+2\pi k[/math] - не соответствует ОДЗ

Б) Нанесем на числовую прямую и определим, какие корни входят в промежуток:

А) [math]\frac{2\pi}3+2\pi n;\;\frac\pi2+\pi k,\;n,\;k\in Z[/math]

Б) [math]\frac{15\pi}2;\;\frac{17\pi}2;\;\frac{26\pi}3[/math]

14

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

Б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и АСВ1, если известно, что АВ=2, АА1=2.

Показать ответ

А) Доказать, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

т. [math]A\in(ABC_1)[/math]. т. [math]A\in(ACB_1)[/math]

[math]C_1B\in(ABC_1)[/math], [math]B_1C\in(ACB_1)[/math]

[math]C_1B\cap CB_1=D\Rightarrow D\in(ABC_1);D\in(ACB_1)[/math]

и [math]AD\in(ABC_1);AD\in(ACB_1)\Rightarrow AD[/math] - линия пересечения [math](ABC_1)[/math] и [math](ACB_1)[/math]

Имеем: необходимо доказать [math]B_1C_1\perp AD[/math]

Опустим из D перпендикуляр DH на CB ([math]DH\perp CB[/math])

т.D - не только высота треугольника, но и медиана,т.е.[math]CH=HB[/math]

т.к. [math]\bigtriangleup ABC[/math] - правильный, то AH - не только медиана, но и высота [math]\Rightarrow AH\perp CB[/math]

Тогда [math]AD\perp CB[/math] (по теореме о трех перпендикулярах)

А т.к. [math]CB\parallel C_1B_1[/math], то [math]AD\perp C_1B_1[/math], что и требовалось доказать

Б) [math]AB=2;AA_1=2;\angle((ABC_1);(ACB_1)-?[/math]

Опустим из C и B перпендикуляры на AD. Исходя из равенства [math]\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ADB[/math] (по трем сторонам) они упадут на одну точку, пусть т.Т

Имеем [math]CT\perp AD,BT\perp AD[/math], [math]\angle CTB[/math] - линейный угол искомого двугранного угла

[math]\bigtriangleup CTB[/math] - равносторонний [math]\Rightarrow TH\perp CB[/math]

Тогда [math]sin(\frac12\angle CTB)=\frac{HC}{CT}[/math]

Из [math]\bigtriangleup CHD[/math] по теореме Пифагора: [math]CD=\sqrt{CH^2+HD^2}[/math] ([math]HD=\frac12BB_1[/math]) [math]CD=\sqrt{1+1}=\sqrt2[/math]

Из [math]\bigtriangleup CHA[/math] по теореме Пифагора: [math]AH=\sqrt{AC^2-CH^2}[/math] [math]AH=\sqrt{4-1}=\sqrt3[/math]

Из [math]\bigtriangleup AHD[/math] по теореме Пифагора: [math]AD=\sqrt{AH^2+HD^2}[/math] [math]AH=\sqrt{3+1}=2[/math]

Имеем [math]AC=AD\Rightarrow\bigtriangleup CAD[/math] - равнобедренный . Опустим из А [math]AF\perp CD[/math]

При этом [math]CF=FD=\frac12CD=\frac{\sqrt2}2[/math]

Тогда из [math]\bigtriangleup AFC[/math] по теореме Пифагора [math]AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{4-\frac12}=\sqrt{\frac72}[/math]

С одной стороны, [math]S_{\bigtriangleup ADC}=\frac12CT\cdot AD[/math], с другой стороны[math]S_{\bigtriangleup ADC}=\frac12AF\cdot CD\Rightarrow CT\cdot AD=AF\cdot CD\Rightarrow2CT=\sqrt{\frac72}\cdot\sqrt2\Rightarrow CT=\frac{\sqrt7}2[/math]

[math]sin(\frac12\angle CTB)=\frac1{\frac{\sqrt7}2}=\frac2{\sqrt7}\Rightarrow cos(\frac12\angle CTB)=\sqrt{1-\frac47}=\sqrt{\frac37}[/math], [math]sin(\angle((ABC_1);(ACB_1)))=2\cdot\frac2{\sqrt7}\cdot\sqrt{\frac37}=\frac{4\sqrt3}7[/math] и [math]cos(\angle((ABC_1);(ACB_1)))=\sqrt{1-\frac{16\cdot3}{49}}=\frac17[/math]

[math]\Rightarrow\angle((ABC_1);(ACB_1))=arccos(\frac17)[/math]

Ответ: [math]arccos\frac17[/math]

15

Решите неравенство [math]\log_{2+x}\frac13+\log_{2-x}3\leq0[/math].

Показать ответ

ОДЗ: [math]2+x>0\Rightarrow x>-2; 2-x>0\Rightarrow x<2; 2+x\neq1; 2-x\neq1[/math]

[math]\frac{log_3\frac13}{log_3(2+x)}+\frac{log_33}{log_3(2-x)}\leq0[/math]

[math]-\frac1{log_3(2+x)}+\frac1{log_3(2-x)}\leq0[/math]

[math]\frac{-log_3(2-x)+log_3(2+x)}{log_3(2+x)\cdot log_3(2-x)}\leq0[/math]

Нули числителя: [math]log_3\frac{2+x}{2-x}=0[/math]

[math]\frac{2+x}{2-x}=1[/math]

[math]2+x=2-x[/math]

[math]x=0[/math]

Нули знаменателя: [math]log_3(2-x)=0\Rightarrow2-x=1\Rightarrow x=1[/math]

[math]log_3(2+x)=0\Rightarrow2+x=1\Rightarrow x=-1[/math]

Нанесем на числовую прямую нули числителя и знаменателя и расставим знаки:

Ответ: (-1;0]⋃(1; 2)

16

В неравнобедренном треугольнике АВС ∠BAC = 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность υ1 в точке Е. Окружность υ2, описанная около треугольника ADE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.

А) Докажите, что DE — биссектриса угла FDB.

Б) Найдите радиус окружности υ2, если известно, что АС=6, AF=2.

Показать ответ

А) [math]\angle CEB=\angle BAC=45^\circ[/math] (опираются на одну и ту же дугу)

[math]\angle ABE=\angle ECA[/math] (опираются на одну и ту же дугу)

[math]\Rightarrow\angle EDB=180^\circ-\angle CEB-\angle ABE=180^\circ-45^\circ-\angle ECA=135^\circ-\angle ECA[/math]

[math]\angle ECB=\angle ECA[/math] (из условия)

Тогда [math]\angle EDB=\angle ECB+\angle CBD[/math] (как внешний) или[math]\angle EDB=\angle ECA+\angle CBD[/math]

[math]\angle AEC=\angle CBD[/math] (опираются на одну и ту же дугу)

[math]\angle AFD=\angle AED[/math] (опираются на одну и ту же дугу в окружности [math]v_2[/math])[math]\Rightarrow\angle AFD=\angle CBD[/math]

[math]\angle EDA=180^\circ-\angle EDB[/math] (как смежные)

Найдем [math]\angle FDE[/math]: [math]\angle FDE=\angle EDA-\angle FDA[/math];[math]\angle FDA=180^\circ-\angle FAD-\angle FDA[/math] (из [math]\bigtriangleup FAD[/math]), где [math]\angle DFA=\angle CBD[/math] (смотреть выше) и [math]\angle FAD=180^\circ-\angle DAC=180^\circ-45^\circ=135^\circ[/math] (как смежные)

[math]\Rightarrow\angle FDA=180^\circ-\angle CBD-45^\circ+\angle CBD=[/math][math]135^\circ-\angle EDB+\angle CBD=135^\circ-\angle ECA-\angle CBD+\angle CBD=[/math][math]135^\circ-\angle ECA=\angle EDB[/math]

Имеем, что [math]\angle FDE=\angle EDB\Rightarrow DE[/math] - биссектриса [math]\angle FDB[/math]

Б) Из [math]\bigtriangleup AFD[/math] по теореме синусов: [math]\frac{FD}{sin(\angle FAD)}=\frac{AF}{sin(\angle ADF)}=\frac{AD}{sin(\angle DFA)}=2R_{v_2}\Rightarrow\frac{AF}{sin(\angle ADF)}=R_{v_2}[/math]

[math]\frac2{sin(\angle ADF)}=2R_{v_2}\Rightarrow R_{v_2}=\frac1{sin(\angle ADF)}[/math]

[math]\bigtriangleup FDA=\bigtriangleup BDC[/math] (по стороне и двум прилежащим углам, CD - общая)

[math]\Rightarrow BC=FC;DC=AF+AC=2+6=8[/math]

Из [math]\bigtriangleup ABC[/math] по теореме синусов: [math]\frac{AC}{sin(\angle CBD)}=\frac{CB}{sin(\angle BAC)}=\frac{AB}{sin(\angle ACB)}=2R_{v_1}[/math][math]\Rightarrow\frac{AC}{sin(\angle CBD)}=\frac{CB}{sin(\angle BAC)}[/math]; [math]\Rightarrow\frac6{sin(\angle CBD)}=\frac{28}{\sqrt2}[/math][math]\Rightarrow sin(\angle CBD)=\frac{3\sqrt2}8[/math]

[math]\Rightarrow cos(\angle CBD)=\sqrt{1-\frac{9\cdot2}{64}}=\frac{\sqrt{48}}8[/math]

В пункте а) показывалось, что [math]\angle ADF=45^\circ-\angle CBD[/math]

[math]\Rightarrow sin(\angle ADF)=sin(45^\circ-\angle CBD)[/math][math]=sin(45^\circ)cos(\angle CBD)-cos(45^\circ)sin(\angle CBD)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt{46}}8-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{3\sqrt2}8[/math][math]=\frac{2\sqrt{23}-6}{2\cdot8}=\frac{\sqrt{23}-3}8[/math]

и [math]R_{v_2}=\frac8{\sqrt{23}-3}=\frac{8(\sqrt{23}+3)}{23-9}=\frac{24+8\sqrt{23}}{14}=\frac{12+4\sqrt{23}}7[/math]

Ответ: [math]\frac{12+4\sqrt{23}}7[/math]

17

В начале января 2017 года планируется взять кредит в банке на S млн. рублей, где S — целое число, на 4 года. Условия его возврата таковы:

- каждый июль долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего года;

- с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в январе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Начало года 2017 2018 2019 2020 2021
Долг (в млн. рублей) S 0,7S 0,4S 0,2S 0

Найдите наибольшее значение S, при котором разность между наибольшей и наименьшей выплатами не будет превышать 2 млн. руб.

Показать ответ

Найдем выплаты за каждый год и составим таблицу

Год 2017 2018 2019 2020
Выплаты (в млн. рублей) 1,1S-0,7S=0,4S 1,1*0,7S-0,4S=0,37S 1,1*0,4S-0,2S=0,24S 1,1*0,2S-0S=0,22S

Найдем наибольшее значение S, при котором разность между наибольшей и наименьшей выплатами не будет превышать 2 млн. руб. Для этого определим, что наибольшая выплата сделана в 2017г., а наименьшая- в 2020г. Получим следующее неравенство:

[math]0.4S-0.22S\leq2[/math]

[math]S\leq11.11[/math]

Следовательно, т.к. по условию S - целое число, то наибольшее значение S=11

Ответ: 11

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение [math]2^{\sin x}+4\sin x+\sqrt{\sin x}+2=a\cdot\log_2\left(\frac{16}{1+\sin x}\right)[/math] не имеет корней.

Показать ответ

Пусть [math]t=sinx[/math], [math]-1\leq t\leq1[/math]

[math]2^t+4t+\sqrt t+2=a\cdot log_2(\frac{16}{1+t})[/math], ОДЗ: [math]t\geq0\Rightarrow0\leq t\leq1[/math]

Рассмотрим на участке [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math]:

[math]f(t)=2^t+4t+\sqrt t+2[/math] - монотонно возрастает при [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math]

[math]f_{min}=f(0)=1+0+0+2=3[/math]

[math]f_{max}=f(1)=2+4+1+2=9[/math]

Рассмотрим [math]h(t)=alog_2\left(\frac{16}{1+t}\right)[/math] на участке [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math]

При [math]a\geq0[/math] [math]h(t)[/math] неотрицательна при [math]t\in\lbrack0;1\rbrack[/math] и монотонно убывающая

Тогда

[math]h_{min}=h(0)=alog_2\left(\frac{16}{1+0}\right)=4a[/math]

[math]h_{max}=h(1)=alog_2\left(\frac{16}{1+1}\right)=3a[/math]

При [math]a<0[/math] график [math]h(x)[/math] полностью лежит в нижней полуплоскости.

Рассмотрим уравнение при [math]a<0[/math], тогда графическое решение:

Откуда следует, что при [math]a<0[/math] уравнение не имеет решений!

Рассмотрим уравнение при [math]a\geq0[/math], тогда его графическое решение:

Откуда следует, что

Объединение решений: [math]a\in(-\infty;\frac34)\cup(3;+\infty)[/math]

Ответ: (-∞; 0,75)⋃(3; +∞)

19

а) Найдите остаток от деления 20132014 на 5.

б) Найдите остаток от деления 20152016 на 3.

в) Найдите остаток от деления 20102011 на 17.

Показать ответ

При решении задач учтем, что:

1) Ecли какое–то число a при делении на число b дает остаток d, то это можно записать в виде равенстваa=br+d, где r– частное, d– остаток

2) [math](A+\\\\\\\\\\\\\\\\alpha)^B=A\\\\\\\\\\\\\\\\cdot m+\\\\\\\\\\\\\\\\alpha^B[/math], где [math]\\\\\\\\\\\\\\\\alpha[/math] - малая величина по сравнению с А

А) [math]2013^{2014}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(2010+3\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2014}=2010m+3^{2014}[/math]

[math]3^{2014}=9^{1007}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(10-1\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1007}=10m-1^{1007}=10k+10-1=(10k+5)+4[/math], следовательно [math]d=4[/math]

Б) [math]2015^{2016}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(2013+2\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2016}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(671*3+2\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2016}=3m+2^{2016}[/math]

[math]2^{2016}=4^{1008}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(3+1\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1008}=10m-1^{1007}=3k+1[/math], следовательно [math]d=1[/math]

В) [math]2010^{2011}=\\\\\\\\\\\\\\\\left(118*17+4\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{2011}=17m+4^{2011}[/math]

[math]4^{2011}=4*\\\\\\\\\\\\\\\\left(16\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1005}=4*\\\\\\\\\\\\\\\\left(17-1\\\\\\\\\\\\\\\\right)^{1005}=4(17m-1^{1007})=17k+64[/math], следовательно [math]d=13[/math] ( остаток от деления 64 на 17)

\\\\n

Ответ: а) 4; б) 1; в) 13

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 776 308
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель