Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 15

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В школе есть пятиместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 28 человек?

2
2

На графике показан процесс нагревания чайника. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения чайника, на оси ординат — температура чайника в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут чайник нагреется от 45°С до 90°С

3
3

Диагонали ромба ABCD равны 9 и 14. Найдите длину вектора АВ + AD

4
4

На собеседовании при приёме на работу соискателю задают вопросы, касающиеся образования, опыта работы, полученных навыков и знаний, владения иностранными языками. Чтобы претендовать на должность руководителя отдела, соискатель должен набрать на собеседовании не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, опыт работы и полученные знания и навыки. Чтобы претендовать на должность референта, нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, полученные знания и навыки, владение иностранными языками. Вероятность того, что соискатель М. получит не менее 70 баллов по блоку «образование», равна 0,6, по блоку «опыт работы» — 0,8, по блоку «знания и навыки» — 0,7 и по блоку «иностранные языки» — 0,5. Найдите вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\log_4(17-2x)=\log_47[/math]

6
6

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, а основание равно 8. Найдите радиус r вписанной окружности. В ответ запишите r √21.

7
7

На рисунке изображен график y= f`(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-4,5; 5). Найдите точку максимума функции f(x)

8
8

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует углы 30°, 30°, 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Объём параллелепипеда равен 27√2. Найдите длину диагонали.

9
9

Найдите значение выражения logx(xy7), если logy х = 1/5.

10
10

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pVk = const, где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (k = 4/3) из начального состояния, в котором const = 287500 Па ∗ m4, начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 4,6 ∗ 106 Па? Ответ выразите в кубических метрах.

11
11

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

12
12

Найдите наибольшее значение функции у = 4 cos x - 2x - 2 на отрезке [0; π/2].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]2^{x+3}-3^{x^2+2x-6}=3^{x^2+2x-5}-2^x[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (0; 3].


Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}2^{x+3}+2^x=3^{x^2+2x-5}+3^{x^2+2x-6}\\2^x(2^3+1)=3^{x^2+2x-6}(1+3)\\2^x\times9=3^{x^2+2x-6}\times4\\2^{x-2}=3^{(x-2)(x+4)}\end{array}[/math]

Прологарифмируем обе части уравнения при основании, равном 2.

[math]\begin{array}{l}\log_22^{x-2}=\log_23^{(x-2)(x+4)}\\(x-2)\log_22=(x-2)(x+4)\log_23\\(x-2)(1-(x+4)\log_23)=0\\x=2;\;x=\log_32-4\end{array}[/math]

б) [math]2\in(0;3\rbrack[/math] [math]0<\log_32;\;\log_32-4\not\in\;(0;3\rbrack[/math]

Ответ: а) 2; [math]\log_32-4[/math] б) 2.

14

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S расстояние между прямыми BD и AS равно 2.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки А и S перпендикулярно прямой BD.

б) Найдите объём данной пирамиды, если её боковое ребро равно 5.

Показать ответ

Решение:

а) Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому [math]\mathrm{AC}\perp\mathrm{BD}[/math] (см. рисунок) С другой стороны, так как пирамида правильная вершина [math]\mathrm S[/math] проецируется в центр основания, поэтому основание высоты и точка пересечения диагоналей квадрата [math]\mathrm{ABCD}[/math] совпадают. Обозначим эту точку [math]\mathrm O[/math], плоскость [math](\mathrm{SAO})\perp\mathrm{BD}[/math], так как содержит 2 пересекающиеся прямые, перпендикулярные BD. Сечение плоскостью [math]\mathrm{AOS}[/math] образует [math]\bigtriangleup SAC[/math], так как точки [math]A,O,C[/math] лежат на одной прямой.

б) Обозначим через [math]O[/math] точку пересечения диагоналей квадрата. Диагональ [math]AC\perp BD[/math] и высота пирамиды [math]SO\perp BD[/math], поэтому [math]BD\perp AOS[/math]. Пусть [math]E[/math] - основание перпендикуляра, опущенного из точки [math]O[/math] на ребро SA. Так как [math]BD\perp AOS[/math], то [math]BD\perp OE[/math]

Таким образом, [math]OE[/math] - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым [math]BD[/math] и [math]SA[/math]. Заметим, что [math]OE[/math] - высота прямоугольного треугольника [math]AOS[/math], опущенная на гипотенузу [math]AS[/math]. Пусть [math]AO=a[/math] , тогда [math]SO=\sqrt{25-a^2}[/math]. Площадь треугольника [math]AOS[/math] равна [math]\frac12SA\times OE=5[/math], с другой стороны равна [math]\frac12AO\times SO=\frac12a\sqrt{25-a^2}[/math]. Решим уравнение [math]\frac12a\sqrt{25-a^2}=5[/math]. Оно имеет положительные корни [math]a=\sqrt5,\;a=2\sqrt5[/math]

Пусть [math]a=\sqrt5[/math], тогда [math]SO=2\sqrt5[/math] и площадь основания данной пирамиды равна [math]\frac12(2a)^2=10[/math]. Объем пирамиды [math]SABCD[/math] равен [math]\frac13\times10\times2\sqrt5=\frac{20\sqrt5}3[/math]

Пусть [math]a=2\sqrt5[/math], тогда [math]SO=\sqrt5[/math] и площадь основания данной пирамиды равна [math]\frac12(4\sqrt5)^2=40[/math]. Объем пирамиды [math]SABCD[/math] равен [math]\frac13\times40\times\sqrt5=\frac{40\sqrt5}3[/math]

Ответ: [math]\frac{20\sqrt5}3[/math] и [math]\frac{40\sqrt5}3[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-4\right)\log_x\left(5-x\right)\geqslant0,\\30^x-27\cdot6^x-25\cdot5^{x-2}+27\leqslant0.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Решим первое неравенство.

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>0\\x\neq1\end{array}\\5-x>0\end{array}\right.x\in(0;1)\cup(1;5)[/math]

На ОДЗ неравенство равносильно неравенству:

[math](x^2-4)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]; [math](x-2)(x+2)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]

С учетом ОДЗ, [math]x\in(0;1)\cup\left[2;4\right][/math]

Решим второе неравенство

[math]\begin{array}{l}5^x(6^x-1)+27(1-6^x)\leq0\\(5^x-27)(6^x-1)\leq0\\5^x=27\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6^x=1\\x=\log_527\;\;\;\;\;x=0\\x\in\left[0;\;\log_527\right]\end{array}[/math]

Ответ: [math]\left(0;\;1\right)\cup\left[2;\;\log_527\right][/math]

16

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, а продолжение стороны АС эта прямая пересекает в точке Р.

а) Докажите, что [math]\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PA}=1.[/math]

б) Найдите, в каком отношении точка М делит сторону АВ, если ВС : BN = 7 : 5 и АС : СР = 8 : 3.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть прямая [math]MN[/math] пересекает продолжение стороны [math]AC[/math] за точку [math]C[/math]. (Случай за точку [math]A[/math] абсолютно аналогичен). Проведем через точку [math]C[/math] прямую, параллельную [math]AB[/math]. Прямая пересекает [math]AC[/math] в точке [math]K[/math].

[math]\bigtriangleup AMP\sim\bigtriangleup CKP[/math] по первому признаку. Следовательно [math]\frac{AM}{CK}=\frac{PA}{PC}[/math], [math]CK=\frac{AM\times PC}{PA}[/math]

[math]\bigtriangleup BMN\sim\bigtriangleup CKN[/math]. Следовательно [math]\frac{MB}{CK}=\frac{BN}{NC}[/math], [math]CK=\frac{MB\times NC}{BN}[/math]

Тогда [math]\frac{AM\times PC}{PA}=\frac{MB\times NC}{BN}[/math] и [math]\frac{AM}{MB}\times\frac{BN}{NC}\times\frac{PC}{PA}=1[/math]

б) [math]BC:BN=7:5[/math]. Пусть [math]BC=7x,\;BN=5x[/math], тогда [math]NC=7x-5x=2x[/math] и [math]\frac{BN}{NC}=\frac52[/math]. [math]AC:CP=8:3[/math]. Пусть [math]AC=8y;\;CP=3y[/math], [math]AP=11y[/math]. [math]\frac{CP}{PA}=\frac3{11};\;\frac{AM}{MB}\times\frac52\times\frac3{11}=1[/math], [math]\frac{AM}{MB}=\frac{22}{15}[/math]

Ответ: [math]\frac{22}{15}[/math]

17

Клиент взял в банке 12 000 000 рублей в кредит под 20% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до целого числа).

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]a[/math] рублей - сумма кредита, [math]x[/math] рублей - ежегодный платеж, [math]m\%[/math] - годовой процент. Тогда каждый год оставшаяся сумма умножается на [math]t=(1+\frac m{100})[/math]

После первой выплаты сумма долга составит [math]a_1=at-x[/math]

После второй выплаты [math]a_2=a_1t-x=(at-x)t-x=at^2-(t+1)x[/math]

Аналогичным образом после третьей выплаты останется [math]a_3=at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x[/math]

По условию за три выплаты клиент оплатил кредит полностью.

[math]\begin{array}{l}at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x=0\\x=\frac{at^3(t-1)}{t^3-1}\\a=12000000,\;m=20,\;t=1,2\\x=\frac{12000000\times1,2^3\times0,2}{1,2^3-1}\approx5696703\end{array}[/math]

Ответ: 5 696 703

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение [math]\frac a{9^x}+a=-1-\frac{9^{-2x}}3[/math] имеет ровно два корня, больший из которых не меньше 0,5.

Показать ответ

Пусть в данном уравнении 2 корня, [math]x_1<x_2,\;x_2\geq0,5[/math]

Сделаем замену [math]9^{-x}=t,\;t\in(0;+\infty)[/math]

Тогда уравнение примет вид [math]at+a+1+\frac{t^2}3=0[/math]. Пусть это квадратное уравнение имеет два корня [math]t_1>t_2>0[/math]. Тогда условие будет выполняться, если [math]x_2\geq0,5[/math], для переменной [math]t[/math] [math]t_2\leq\frac13[/math]

Перепишем уравнение в виде [math]a(t+1)=-1-\frac{t^2}3;\;[/math][math]a(t+1)=\frac{-3-t^2}3;\;[/math][math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

Исследуем функцию [math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

ОДЗ: [math]t\neq-1[/math], Функция не имеет предела при [math]t->\infty[/math]

[math]a`(t)=-\frac13\times\frac{2t(t+1)-(t^2+3)\times1}{(t+1)^2}=\frac{(t-1)(t+3)}{-3(t+1)^2}[/math]

[math]a`(t)=0[/math] при [math]t=1,\;t=-3[/math] (см. рисунок )

[math]a(1)=-\frac23;\;a(-3)=2[/math]; [math]a(0)=-1;\;\;a(\frac13)=-\frac79[/math]

построим график [math]y=a(t)[/math]

По рисунку видно, что условие [math]t_1>t_2>0,\;t_2\leq\frac13[/math] выполняется при [math]a\in(-1;-\frac23\rbrack[/math]

Ответ: (-1; -7/9]

19

Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?

б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Показать ответ

Решение:

Обозначим число лис в зоопарке буквой c, львов - l, тигров - t. Тогда им ежедневно дают [math]2c+14t+21l[/math] кг мяса, а посетителей бывает [math]20c+160t+230l=P[/math]

а) По условию [math]2c+14t+21l=70[/math], где [math]\{c,t,l\}\subset\mathbb{Z}[/math]. 70 делится на 7 и [math]14t+21l[/math] делится на 7, значит 2с, а следовательно, и с делится на 7. Если [math]с=7[/math], то [math]14+7(2t+3l)=70[/math], [math]2t+3l=8[/math]. При [math]t\in\mathbb{N}\;l<\frac83[/math] и делится на 2, значит [math]l=2,t=1[/math] и число посетителей равно [math]20\times7+160\times1+230\times2=760[/math]

б) По условию, [math]2c+14t+21l=420[/math]. Может ли [math]20c+160t+230l[/math] быть меньше 4000?

[math]20c+160t+230l=10(2c+16t+23l)>10(2c+14t+21l)=10\times420=4200[/math]. Получилось, что [math]20c+160t+230l>4200[/math], значит, при таких условиях не может ежедневно распределяться 420кг мяса

в) Нам дано, что [math]2c+14t+21l=111[/math]. Так как количество животных натуральные числа, [math]l[/math] нечетно и [math]21l\leq111-(2+14),\;[/math][math]21l\leq95,\;[/math][math]l\leq4,\;[/math] то есть [math]l=3[/math] или [math]l=1[/math]

1) [math]l=1[/math], тогда [math]2с+14t+21=111;[/math][math]2с+14t=90;[/math][math]с+7t=45;[/math][math]с=45-7t;[/math][math]t\leqslant6\frac27[/math]. Число посетителей:

[math]P=20c+160t+230l=20(45-7t)+160t+230=1130+20t[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е.при [math]t=6[/math], [math]P=1130+20\times6=1250[/math].

2) [math]l=3[/math], тогда [math]2с+14t+21\times3=111;[/math][math]2с+14t=48;[/math][math]c=24-7t\geqslant1;[/math][math]t\leqslant3\frac27[/math]

[math]P=20c+160t+230\times3=20t+1170[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е. при [math]t=3[/math]. [math]P=20\times3+1170=1230[/math]

Наибольшее число посетителей 1250.

Ответ: а) 760 б) не может в) 1250

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 821 648
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель