Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 17

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля — 131 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 13 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях.

2
2

На рисунке жирными точками показана цена меди на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни в октябре 2010 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — цена меди в долларах США за тонну. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену меди за данный период. Ответ дайте в долларах США за тонну.

Вариант 17

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1× изображён квадрат. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Вариант 17

4
4

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

5
5

Найдите корень уравнения [math]log_7(1-x)=log_75[/math]

6
6

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 4. Найдите cos A.

Вариант 17

7
7

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Вариант 17
8
8

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 6 , BC = 5 , AA1 = 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.

Вариант 17

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{\sqrt[3]{121}\times\sqrt[4]{121}}{\sqrt[12]{121}}[/math]

10
10

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

[math]T(t)=T_0+bt+at^2[/math]

где t — время (в мин.), T0 =1380 К, a = −15 К/мин2, b = 165К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

11
11

Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=10cosx+\frac{36x}\pi-6[/math] на отрезке Вариант 17

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]8^x-9\times2^{x+1}+2^{5-x}=0[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log52; log520].

Показать ответ

[math]8^x-9\cdot2\cdot2^x+32\cdot\frac1{2^x}=0[/math]

[math]16^x-18\cdot4^x+32=0[/math]

Замена 4x=t: [math]1t^2-18\cdot t+32=0[/math]

Корни t1=2; t2=16

4x=2; 4x=16

x1=0,5; x2=2

Сопоставим корни с отрезком:

[math]\log_52<\log_5\sqrt5<\log_520<\log_525[/math]

Только 0,5 принадлежит отрезку.

Ответ: а) 0,5 и 2; б) 0,5

14

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью a, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями a и BCC1, если AA1=6, AB=4.

Показать ответ

а) Плоскость a проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость a пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда a пересекает плоскость боковых граней по прямым D1E и D1F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD1N — сечение параллелепипеда плоскостью.

Вариант 17

Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC1A1 и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.

По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому [math]D_1B\perp MN[/math] и [math]D_1B\perp AC[/math]. По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.

б) Пусть K — середина ребра BB1, а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла.

В прямоугольном треугольнике BKN имеем: [math]Error converting from MathML to LaTeX[/math]

откуда [math]\angle MHK=arctg\frac{MK}{KH}=arctg\frac53[/math].

Ответ: [math]arctg\frac53[/math]

15

Решите неравенство log22 (25—x2) — 7log2(25 — x2) + 12[math]\geq[/math]0

Показать ответ
ОДЗ: [math]25-x^2>0\Rightarrow-5<x<5[/math] Заменим log22 (25—x2) = t t2 — 7t + 12 [math]\geq[/math] 0 (t — 4)(t — 3) [math]\geq[/math] 0 t[math]\leq[/math]3 или t[math]\geq[/math]4 log22 (25—x2)[math]\leq[/math]3 25—x2[math]\leq[/math]8 [math]x\in(-\infty;-\sqrt{17}\rbrack\cup\lbrack\sqrt{17};+\infty)[/math] log22 (25—x2)[math]\geq[/math]4 25—x2\geq[/math]16 [math]x\in\lbrack-3;3\rbrack[/math] Общее решение с учетом ОДЗ: [math]x\in\lbrack-\sqrt{17};-3\rbrack\cup\lbrack3;\sqrt{17}\rbrack[/math] Ответ: [math]x\in\lbrack-\sqrt{17};-3\rbrack\cup\lbrack3;\sqrt{17}\rbrack[/math]
16

В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон ВС, AC и AB соответственно, AH — высота, [math]\angle BAC=60^\circ[/math], [math]\angle BCA=45^\circ[/math].

а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H, если [math]BC=2\sqrt3[/math]

Показать ответ

a) Заметим, что C1H — медиана прямоугольного треугольника ABH, значит, C1H=1/2•AB=AC1=BC1, но и A1B1=1/2•AB как средняя линия треугольника АВС.

Вариант 17

Поэтому четырёхугольник C1HA1B1 — равнобедренная трапеция, вокруг неё можно описать окружность, а значит, точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

б) Найдем сторону АВ треугольника ABC по теореме синусов:

[math]\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\Rightarrow AB=2\sqrt3\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=2\sqrt2.[/math]

Вариант 17

Найдем катет прямоугольного треугольника AHB:

BH=ABcos75°=2√2•cos75°.

Тогда длина искомого отрезка A1H:

A1H=BA1—BH=√3—2√2•cos75°

cos75°=cos(45°+30°)=cos45°•cos30°—sin45°•sin30°=(√6—√2)/4

A1H=√3—2√2•(√6—√2)/4=1

Ответ: б) 1.

17

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t =1; 2;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+ r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Показать ответ

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет S(k)=k2(1+r)25-k тыс. рублей.

Найдем производную полученного выражения: S'(k)=k(1+r)25-k(2-k•ln(1+r))

Производная равна нулю в точке kmax=2/(ln(1+r)) — точка максимума. Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 21 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 20-го года и в конце 22 года. Из выясненного выше характера монотонности функции S(k) можно заключить, что выполнение неравенств S(21)>S(20) и S(21)>S(22) гарантирует, что S(21)>S(k) для всех значений k, отличных от 21. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{c}S(21)>S(20)\\S(21)>S(22)\end{array}\right.[/math][math]\Rightarrow\left\{\begin{array}{c}441(1+r)^4>400(1+r)^5\\441(1+r)^4>484(1+r)^3\end{array}\right.\Rightarrow[/math][math]\left\{\begin{array}{c}1+r<\frac{441}{400}\\1+r>\frac{484}{441}\end{array}\right.[/math]

[math]\frac{43}{441}<r<\frac{41}{400}[/math]

Ответ: [math]\frac{43}{441}<r<\frac{41}{400}[/math]

18

Найдите все значения a , при каждом из которых система неравенств

[math]\left\{\begin{array}{c}ax\geq2\\\sqrt{x-1}>a\\3x\leq2a+11\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, на координатной плоскости XОA. Гипербола [math]a=\frac2x[/math] и график корня [math]a=\sqrt{x-1}[/math] пересекаются в точке A(2; 1). Гипербола и прямая [math]a=\frac32x-\frac{11}2[/math] пересекаются в точке B(4;1/2). График корня и прямая пересекаются в точке C(5; 2). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе (выделено штриховкой на рисунке), состоит из точек криволинейного треугольника ABC, не включая границу, лежащую на дуге АС.

Вариант 17

Поскольку система должна иметь хотя бы одно решение на отрезке [3; 4], осталось определить наименьшую и наибольшую ординаты проекции выделенного на рисунке четырехугольника на ось ординат. Проекции точек B и D(4;√3) дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4] при [math]\frac12\leq a\leq\sqrt3[/math]

Ответ: [math]\frac12\leq a\leq\sqrt3[/math]

19

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Показать ответ

а) Для выполнения условий задачи достаточно, чтобы произведение двух меньших чисел было больше 40, а произведение двух больших чисел было меньше 100. Пять чисел 6, 7, 8, 9, 10 удовлетворяют условию задачи.

б) Пусть числа на доске записаны в порядке возрастания: a < b < c < d < e < f . Заметим, что [math]b\geq7[/math], [math]e\geq9[/math] иначе произведение a•b будет меньше 40, а произведение e•f будет больше 100. Другими словами, на доске может быть только одно число a 10. Но тогда четырьмя различными числами b, c, d, e должны быть три числа 7, 8 и 9, что невозможно.

в) Пусть на доске написаны числа a, b, c и d, причём a < b < c < d. Как было показано в предыдущем пункте, соседние с крайними числа подчиняются условию [math]7\leq b\leq c\leq9[/math]. Следовательно, возможны только три случая.

Если записаны числа а, 7, 8, d, то наибольшие возможные числа a = 6, d = 12. Сумма четырех записанных чисел равна 33.

Если записаны числа а, 7, 9, d, то a = 6, d = 11, сумма 33.

Если записаны числа а, 8, 9, d, то a = 7, d = 11, сумма 35.

Таким образом, наибольшее значение суммы четырех чисел равно 35.

Ответ: а) да; б) нет; в) 35.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 082 456
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель