Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 1

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Джинсы до распродажи стоили 1500 рублей. Катя купила джинсы во время распродажи со скидкой 20%. Сколько рублей Катя заплатила за джинсы?

2
2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Саратове за каждый месяц 2006 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура не превышала 8 градусов Цельсия.

3
3

Периметр прямоугольника равен 17 см, а его площадь равна 15 см​2. Найдите диагональ этого прямоугольника (в см).

4
4

На мероприятие было закуплено 13 синих, 11 красных, 6 жёлтых и 20 белых футболок. Какова вероятность того, что Саше достанется красная футболка?

5
5

Решите уравнение [math]\sqrt{\frac{2x+7}4}=2[/math].

6
6

Найдите площадь ромба ABCD (в см2), если известно, что CD = 5, а BD = 8 см.

7
7

На рисунке изображён график функции y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Вариант 1

8
8

Конус имеет высоту, равную 16 см, и образующую, равную 20 см. Найдите объём конуса ( в см3), в ответе укажите объем, делённый на [math]\pi[/math].

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{log_\frac1427}{log_43}[/math]

10
10

На нагревание 5 кг воды потребовалось количество теплоты, равное 1 890 000 Дж, которое можно рассчитать по формуле [math]Q=cm(t_2-t_1)[/math], где Q — количество теплоты, c — удельная теплоемкость вещества, m — масса вещества, t1 — начальная температура, t2 — конечная температура вещества. До какой температуры (в °С) нагрелась вода, если удельная теплоемкость воды равна [math]4200\frac{Дж}{кг\cdot^\circ С}[/math], а ее начальная температура 1°С?

11
11

Из города А в город В в одно и то же время выехали два автомобиля. Расстояние между городами 350 км. Второй автомобиль проехал с постоянной скоростью и без остановок весь путь. Первый автомобиль проехал первую половину пути, затем сделал остановку на 1 час, после чего продолжил путь с прежней скоростью. В итоге первый автомобиль прибыл в город В на 3 часа позже, чем второй. Найдите скорость второго автомобиля, если известно, что она больше скорости первого на 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите точку минимума функции [math]y=(x-5)e^{x+2}[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение [math]\sqrt x=\sqrt{\left[x\right]}+\sqrt{\left\{x\right\}}[/math], где [a] — целая часть числа а, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее а; {a} — дробная часть числа а, т.е. {a} = а - [a].

А) Решите уравнение.

Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [math]\left[tg\frac\pi{12};\;tg\frac{5\pi}{12}\right][/math].

Показать ответ

А) Преобразуем уравнение:

[math]\sqrt x=\sqrt{\left[x\right]}+\sqrt{x-\left[x\right]}[/math]

Так как левая и правая части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат обе части уравнения. Получим :

[math]x=\left[x\right]+2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}+x-\left[x\right][/math]

[math]2\sqrt{\left[x\right]x-\left[x\right]^2}=0[/math]

[math]\left[x\right]x-\left[x\right]^2=0[/math]

[math]\left[x\right](x-\left[x\right])=0[/math]

Имеем два случая:

1 случай:

[math]\left[x\right]=0[/math]

т.е. целая часть равна 0. Имеем

[math]0\leq x<1[/math]

2 случай:

[math]x-\left[x\right]=0{}[/math]

[math]x=\left[x\right][/math]

т.е. число-целое,дробной части нет,[math]x\in N[/math]

Б) Преобразуем tg:

[math]tg\frac\pi{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac\pi6}{1+cos\frac\pi6}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{1+\frac{\sqrt3}2}}=\sqrt{\frac{(1-\frac{\sqrt3}2)^2}{1-\frac34}}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{\frac12}=2(1-\frac{\sqrt3}2)\approx0.3[/math]

[math]tg\frac{5\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-cos\frac{5\pi}6}{1+cos\frac{5\pi}6}}=\sqrt{\frac{1+cos\frac\pi6}{1-cos\frac\pi6}}=\frac{1+\frac{\sqrt3}2}{\frac12}=2(1+\frac{\sqrt3}2)\approx3.7[/math]

Имеем,что в промежуток [math]0\leq x<1[/math] входит [math]\lbrack tg\frac\pi{12};1)[/math]

В промежуток [math]x\in N[/math] входит x=1;2;3

Ответ: A) [math]0\leq x<1[/math] или [math]x\in N[/math]

Б) [math]\left[tg\frac\pi{12};\;1\right]\cup\left\{2;3\right\}[/math]

14

В пирамиде SABC угол ASB равен 60°, а углы BSC и CSA - по 45°.

А) Докажите, что плоскости BSC и ASC перпендикулярны.

Б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA=SB=2, SC=2√2.

Показать ответ

Дано:

SABC -пирамида, [math]\angle ASB=60^\circ,[/math],[math]\angle BSC=\angle CSA=45^\circ[/math], r-радиус вписанной в пирамиду сферы

SA=SB=2,SC=[math]2\sqrt2[/math]

Доказать: (BSC)[math]\perp[/math](ASC)

Найти: r

Вариант 1

Решение:

1) т.к. AS=SB, то треугольник ASB-равнобедренный.Следовательно, [math]\angle SAB=\angle SBA=\frac{180^\circ-60^\circ}2=60^\circ[/math]. Т.к. все углы треугольника равны 60,то треугольник ASB-равносторонний, т.е. AC=CB=AB

[math]\bigtriangleup ASC=\bigtriangleup BSC[/math] (по первому признаку равенства треугольников, т.к. AS=CB,[math]\angle ASC=\angle CSB[/math], SC-общая). Следовательно, AC=BC.

[math]\bigtriangleup SCB:[/math] по теореме косинусов имеем, что [math]BC^2=SC^2+BS^2-2\ast SC\ast BS\ast cos(\angle CSB)[/math]

[math]BC^2=8+4-2\ast2\sqrt2\ast2\ast\frac{\sqrt2}2[/math] [math]\Rightarrow BC^2=4\Rightarrow BC=2[/math]

т.е. BC=AC=2,SB=AS=2. Следовательно [math]\bigtriangleup ASC,\bigtriangleup SCB[/math]-равнобедренные[math]\Rightarrow\angle SCA=\angle SCB=45^\circ[/math][math]\Rightarrow\;\angle SAC=\angle SBC=90^\circ[/math]

Проведем BH[math]\perp[/math] SC, то есть высоту в треугольнике ASC. Имеем, что AH-высота треугольника BSC. т.е. BH[math]\perp[/math]SC,AH[math]\perp[/math]SC.Имеем по определению двугранный угол AHB,причем в треугольнике AKB AH=HB=[math]\sqrt2[/math]. По теореме косинусов найдем [math]\angle AHB[/math] и получим,что [math]\angle AHB=90^\circ[/math] . Следовательно и двугранный угол AHB=[math]90^\circ[/math], т.е. искомые плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать

2) Чтобы найти радиус вписанной сферы, воспользуемся следующей формулой: [math]r=\frac{V_{пир}}{S_{полн}}[/math]

Найдем объем пирамиды: [math]V_{пир}=\frac13S_{SBC}\times AH=\frac13\times(\frac12\times2\times2)\times\sqrt2=\frac{2\sqrt2}3[/math]

Найдем площадь всей поверхности пирамиды:[math]S_{полн}=2\times S_{ASB}+2\times S_{ASC}=2\times\frac{4\sqrt3}4+2\times\frac12\times2\times2=2\sqrt3+4[/math]

[math]r=\frac{3\times2\sqrt2}{3\times(2\sqrt3+4)}=\frac{\sqrt2(\sqrt3-2)}{3-4}=\sqrt8-\sqrt6[/math]

Ответ:[math]\sqrt8-\sqrt6[/math]

15

Решите неравенство [math]4^x+\frac{16}{x^2}\geq5\cdot\frac{2^{x+1}}x[/math].

Показать ответ

[math]4^x+\frac{16}{x^2}\geq5\times\frac{2^{x+1}}x[/math]

[math]2^{2x}+\frac{16}{x^2}\geq10\times\frac{2^x}x[/math]

Домножим обе части на [math]\frac x{2^x}[/math]Получим:

[math]2^x\times x+\frac{16}{2^x\times x}\geq10[/math]

Пусть [math]y=2^x\times x[/math]. Тогда

[math]y+\frac{16}y\geq10[/math]

[math]\frac{y^2+16-10y}y\geq0[/math]

Нули числителя: [math]y^2+16-10y=0[/math]

[math]D=100-16\cdot4=100-64=36[/math]

y1=8,y2=2

Нули знаменателя:y=0

Нанесем значения на числовую прямую и определим знаки:

Вариант 1

Найдем значения x в точках на концах полученных промежутков. Получим, при y=0 x=0, y=2, x=1, y=8,x=2. Получаем следующие промежутки:

Вариант 1

Ответ: (-∞;0)⋃(0;1]⋃[2;+∞)

16

А) На координатной плоскости Оху изобразите фигуру, заданную неравенством

[math]\log_{x^2+y^2}\left(x+y\right)>1[/math].

Б) Найдите площадь полученной фигуры.

Показать ответ

ОДЗ:

[math]x+y>0[/math]; [math]y>-x[/math]

[math]x^2+y^2>0[/math] всегда, кроме x=0; y=0

[math]x^2+y^2\neq1[/math]. Окружность с центром О1(0;0) и радиусом R=1. Изображаем пунктиром.

Преобразуем правую часть уравнения: [math]1=log_{x^2+y^2}(x^2+y^2)[/math]

Тогда получим:

[math]log_{x^2+y^2}(x+y)>log_{x^2+y^2}(x^2+y^2)[/math]

[math]\frac{x+y}{x^2+y^2}>1[/math]

[math]\frac{x+y-x^2-y^2}{x^2+y^2}>0[/math]

[math]\frac{-x-y+x^2+y^2}{x^2+y^2}<0[/math]

[math]-x-y+x^2+y^2<0[/math]

[math]\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2<\frac12[/math]

Окружность с центром в точке (1/2;1/2) и радиусом R=[math]\frac1{\sqrt2}[/math]

Изобразим на графике:

Вариант 1

Найдем площадь полученной фигуры:

[math]S_{green}=\frac12S_{большой\;окр}-(\frac12S_{малой\;окр}+(\frac14S_{большой}-S_{прямоуг\;треуг})=\frac\pi2-(\frac\pi4+(\frac\pi4-\frac12)=\frac12[/math]

[math]S_{red}=\frac12S_{малой\;окр}-(\frac14S_{большой}-S_{прямоуг\;треуг})=\frac\pi4-(\frac\pi4-\frac12)=\frac12[/math]

[math]S_{полн}=S_{green}+S_{red}=\frac12+\frac12=1[/math]

Ответ:1

17

Накануне Нового года Деды Морозы раскладывали равными количествами конфеты в подарочные пакеты, а эти пакеты складывали в мешки, по 2 пакета в один мешок. Те же самые конфеты они могли разложить в пакеты так, что в каждом из них было бы на 5 конфет меньше, чем раньше, но тогда в каждом мешке стало бы лежать по 3 пакета, а мешков при этом потребовалось бы на 2 меньше. Какое наибольшее количество конфет могли раскладывать Деды Морозы?

Показать ответ

Пусть x- количество конфет в одном пакете, а y- количество мешков.Тогда в первом случае 2xy, а во втором случае-3(x−5)(y−2). Так как было одинаковое количество конфет, то получим уравнение: 2xy=3(x−5)(y−2). Преобразуем: (x−15)(y−6)=60. Т.е множители должны быть натуральными числами и в произведении давать число 60. При переборе должны получить числа 1 и 60, 2 и 30, 3 и 20 и тд. После перебора, получим,что максимальное xy получаем при значениях множителей 1 и 60, то есть x=16, y=66. т.е. получаем общее количество конфет 2xy=2*16*66=2112.

Ответ: 2112

18

Для каждого значения параметра а найдите наибольшее значение функции [math]f\left(x\right)=\left(\left|x\right|-6\right)\cdot x^2+3\left|x\right|\cdot\left(3-a^2\right)+6ax[/math] на отрезке [-3; 3].

Показать ответ

Имеем два случая: [math]x<0[/math],[math]x\geq0[/math]

1 случай: [math]x\geq0[/math]. Преобразуем функцию:

[math]f(x)=x^3-6x^2+(9+6a-3a^2)x[/math]

Найдем производную функции:

[math]f^'(x)=3x^2-12x+(9+6a-3a^2)[/math]

[math]f^'(x)=0[/math]

[math]x^2-4x+3+2a-a^2=0[/math]

[math]D=16-4(3+2a-a^2)=4(a-1)^2[/math]

[math]x_1=3-a[/math], [math]x_2=1+a[/math]

Определим знак производной:

1) 0<a<1; 1<a+1<2; 2<3-a<3

Вариант 1

x=a+1- точка максимума;fmax=

[math]fmax=f(a+1)=-2(a+1)(a^2-a-2)[/math]

2) 1<a<2; 2<a+1<3;1<3-a<2

Вариант 1

x=3-a-точка максимума

[math]fmax=f(3-a)=2(3-a)(6-a)[/math]

3)2<a+1<3; 3<a+1<4; 0<3-a<1

Вариант 1

x=a+1 не принадлежит отрезку x=3-a- точка максимума

4)a>3

x=a+1,x=3-a не принадлежат отрезку значений x

т.к. функция убывает, то fmax=f(0)=0

2 случай: x<0. Преобразуем функцию:

[math]f(x)=-x^3-6x^2+(-9+6a+3a^2)x[/math]

Найдем производную функции:

[math]f^'(x)=-3x^2-12x+(-9+6a+3a^2)[/math]

[math]f^'(x)=0[/math]

[math]x^2+4x+3-2a-a^2=0[/math]

[math]D=16-4(3-2a-a^2)=4(a+1)^2[/math]

[math]x_1=-3-a[/math], [math]x_2=-1+a[/math]

Определим знак производной:

1) -1<a<0;-3<-3-a<-2; -2<a-1<-1

Вариант 1

x=a-1- точка максимума;fmax=

[math]fmax=f(a-1)=-2(a-1)(a^2+2a+2)[/math]

2) -2<a<-1; -3<a-1<-2;-2<-3-a<-1

Вариант 1

x=-3-a-точка максимума

[math]fmax=f(-3-a)=2a(-3-a)(a+3)[/math]

3)-3<a<-2; -4<a1<-3;

Вариант 1

x=-3-a точка максимума

[math]fmax=f(-3-a)=2a(-3-a)(a+3)[/math]

4)a<-3; a-10

т.к. функция убывает, то [math]fmax=f(-3)=-9a^2-18a[/math]

Ответ:

при a≤-3 fmax=–9a2–18a;

при -3<a≤-1 fmax=-2a(a+3)2;

при -1<a≤0 fmax=2·(a–1)·(a2+2a+2);

при 0<a≤1 fmax=(a+1)·(–2a2+2a+4));

при 1<a≤3 fmax=2·(3–a)·(6–a);

при a>3 fmax=0.

19

Чук и Гек поочередно извлекают из трех ящиков шары. Своим ходом каждый может взять из любого ящика (но только из одного) любое количество шаров. Выигрывает тот, кто заберет последний шар. Кто из мальчиков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника, если количество шаров в ящиках равно

A) 8, 9 и 9;

Б) 1, 2 и 3;

B) 8, 9 и 10?

Показать ответ

Существует несколько исходов игры, которые гарантируют победу первому участнику,это (вне зависимости от последовательности ящиков): 1 0 0,N 1 1,N 1 0, N 0 0 , где N- любое натуральное число,и гарантированное проигрышные ситуации-1 1 0, 2 2 0. Исходя из этого будет идти решение задачи.

А) Чтобы выиграл Чук, нам необходимо привести Гека к варианту 110. Если Чук возьмет 8 шаров из первого ящика, то есть сравняет количество шаров только во втором и третьем, тогда Чуку остается каждый раз уравнивать количество шаров до того момента,пока не станет вариант 1 1 0. т.е. выиграет Чук

Б) Исходя из базовых ситуаций найдем ситуации выигрыша: M 2 0 (M>=3), 2 2 1,3 2 0 (их можно привести к ситуации проигрыша , то есть к 2 2 0). Ситуацию 1 2 3 возможно привести только к выигрышу,следовательно ,она проигрышна для первого, т.е. выиграет Гек.

В) В таком варианте Чук сможет выиграть, если будет сравнивать две цифры каждый раз, в конце дойдет до варианта 011 и победит. Это возможно в любом случае

Ответ: А) Чук;Б) Гек;В) Чук

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 318 738
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель