Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 2

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Площадь участка Незнайки 76,5 ар. Согласно системе мер, 1 ар=0,01 га. Вычислите площадь данного участка (в га).

2
2

На диаграмме представлена сравнительная динамика популярности поисковых запросов, таких как "ЕГЭ" и "ОГЭ" в течение всего 2015-2016-го учебного года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — популярность (в баллах).

Сравните наибольшие значения "ЕГЭ" и "ОГЭ", и разницу (в баллах) запишите в ответ.

3
3

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой. Гипотенуза равна 12,6 см, катет CB равен 6,3 см. Найдите внешний угол (в градусах) при вершине B.

4
4

В приюте для бездомных животных "4 с хвостиком" — 84 собаки, из них 63 привиты. Семья Ивановых решила завести друга из приюта. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ими пёс окажется не привитый.

5
5

Решите уравнение: [math]2\sqrt{4x-15}=2x-6[/math]. В ответе укажите наибольший из корней.

6
6

В ромбе ABCD бóльший угол равен 120​°. Бóльшая его диагональ равна [math]14\sqrt3[/math] см. Вычислите сторону ромба (в см).

7
7

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции [math]f(x)=\frac{sinx}{1-cosx}+36,2[/math] в точке [math]x_0=\frac\pi3[/math].

8
8

В четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S основанием является ромб, сторона которого равна 20 см, а диагональ — 32 см. Найдите объем пирамиды (в см3), если ее высота равна 13 см.

9
9

Вычислите значение выражения [math]-14tg2\alpha[/math], если sin[math]\alpha=0,6[/math] и [math]\frac\pi2<\alpha<\pi[/math].

10
10

Человек массой m1 = 76 кг двигается со скоростью v1 = 4,5 м/с, догоняет тележку массой m2 (кг), которая едет со скоростью v2 = 3,8 м/c, и прыгает на нее. Скорость, с которой будет теперь двигаться тележка, вычисляется по формуле [math]v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}[/math]. Какова масса тележки (кг), если скорость, которую она приобрела после прыжка человека, равна 4,3 (м/c)?

11
11

Бегун из Кении и бегун из Австрии стартуют одновременно из диаметрально противоположных точек беговой дорожки, которая представляет собой трек овальной формы длиной 750 м. Скорость кенийца на 3 км/ч больше скорости австрийца. Через сколько минут кенийский бегун догонит австрийского бегуна в первый раз?

12
12

Найдите точку максимума функции [math]f(x)=3x^3-13,5x^2-36x+10,6[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение sin 2x = 3(sin x + cos x - 1).

А) Решите уравнение.

Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [1,5; 6].

Показать ответ

A) Пусть [math]sinx+cosx=t[/math] . Тогда [math]t^2=sin^2x+2sinx\cdot cosx+cos^2x[/math]

[math]t^2-2sinx\cdot cosx=1[/math]

Получаем:

[math]t^2-1=3(t-1)[/math]

[math]t^2-3t+2=0[/math]

Решим уравнение и получим: [math]t_1=1[/math] ,[math]t_2=2[/math]

Выполним обратную подстановку:

[math]sinx+cosx=1[/math]

[math]\sqrt2(\frac{\sqrt2}2sinx+\frac{\sqrt2}2cosx)=1[/math]

[math](cos\frac\pi4sinx+sin\frac\pi4cosx)=\frac1{\sqrt2}[/math]

[math]sin(\frac\pi4+x)=\frac{\sqrt2}2[/math]

[math]\frac\pi4+x=\left(-1\right)^n\frac\pi4+2\pi n[/math] [math];n\in Z[/math]

[math]2\pi k,\;k\in Z;\;\frac\pi2+2\pi n,\;n\in Z[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую:

Вариант 2

В нужный нам промежуток входит только один корень [math]\frac\pi2[/math]

Ответ:А) [math]2\pi k,\;k\in Z;\;\frac\pi2+2\pi n,\;n\in Z[/math]

Б) [math]\frac\pi2[/math]

14

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К лежит на ребре ВВ1 так, что КВ:КВ1=1:4. Плоскость α, проходящая через точки К и С1 параллельно прямой BD1, пересекает ребро АА1 в точке Р.

А) Докажите, что АР:А1Р=2:3.

Б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка В1, если известно, что АВ=3, ВС=4, ВВ1=5.

Показать ответ

Решение:

Вариант 2

А) Проведем [math]KM\vert\vert BD_1[/math], причем [math]M\in(BB_1D_1)[/math] , [math]M\in(A_1B_1C_1)[/math]

Проведем [math]CM\cap A_1D_1=T[/math]

[math](BB_1C)\vert\vert(ADD_1)\Rightarrow T\in AA_1[/math] [math]TP\vert\vert KC_1[/math]

Имеем, что [math](PTK)[/math]-плоскость, [math]PTC_1K[/math]-сечение параллелепипеда плоскостью [math]\alpha[/math]

Рассмотрим треугольники [math]\bigtriangleup B_1MK[/math] и [math]\bigtriangleup B_1D_1B[/math] , они подобны, т.к.[math]\angle B_1[/math]-j,общий, [math]KM\vert\vert BD_1\Rightarrow\angle B_1MK=\angle B_1D_1B[/math]. Следовательно [math]\frac{D_1M}{MB_1}=\frac{BK}{KB_1}=\frac14[/math]

Так же [math]\bigtriangleup C_1MB_1\sim\bigtriangleup TMD_1[/math] (все углы попарно равны).Следовательно [math]\frac{D_1T}{B_1C_1}=\frac{D_1M}{MB_1}=\frac14[/math]

[math]\frac{A_1T}{B_1C_1}=\frac34[/math]

[math]\bigtriangleup PA_1T\sim\bigtriangleup KB_1C_1[/math], т.е [math]\frac{A_1P}{B_1K}=\frac{A_1T}{B_1C_1}=\frac34[/math]

Из всего выше сказанного сделаем вывод,что [math]A_1P=\frac35BB_1[/math]. Тогда [math]AP=\frac25BB_1[/math]

Получаем, что [math]\frac{AP}{AP_1}=\frac23[/math], чтд

Б) [math](TB_1K)[/math] делит пирамиду [math]B_1TC_1KP[/math]на две пирамиды. Найдем их объем:

[math]V_{B_1TC_1K}=\frac13\cdot S_{B_1C_1K}\cdot С_1D_1=\frac13\cdot\frac12\cdot4\cdot4\cdot3=8[/math]

[math]V_{B_1TPK}=\frac13\cdot S_{B_1PK}\cdot A_1T=\frac13\cdot\frac12\cdot4\cdot3\cdot3=6[/math]

[math]V_{B_1TPKC_1}=8+6=14[/math]

Ответ: 14

15

Решите неравенство [math]\log_x^2\left(3x-1\right)-\log_x\left(3x-1\right)\geq0[/math].

Показать ответ

ОДЗ: [math]x>0[/math], [math]x\neq1[/math], [math]3x-1>0[/math]

Преобразуем левую часть неравенства:

[math]log_x(3x-1)(log_x(3x-1)-1)\geq0[/math]

[math]\frac{ln(3x-1)}{lnx}(\frac{ln(3x-1)-lnx}{lnx})\geq0[/math]

[math]\frac{ln(3x-1)}{ln^2x}(\frac{ln(3x-1)-lnx}1)\geq0[/math]

Нули числителя: [math]ln(3x-1)=0[/math]

[math]3x-1=1[/math]

[math]x=\frac23[/math]

[math]ln(3x-1)=lnx[/math]

[math]3x-1=x[/math]

[math]2x=1[/math]

[math]x=\frac12[/math]

Нули знаменателя:

[math]lnx=0[/math]

[math]x=1[/math] - корень кратности 2

Нанесем корни на числовую прямую, учитываю ОДЗ:

Вариант 2

Получаем следующие промежутки: [math](\frac13;\;\frac12\rbrack\cup\lbrack\frac23;\;1)\cup\left(1;\;+\infty\right)[/math]

Ответ: [math](\frac13;\;\frac12\rbrack\cup\lbrack\frac23;\;1)\cup\left(1;\;+\infty\right)[/math]

16

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.

А) Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС?

Б) Окружности, вписанные в треугольники АВМ и СВМ, касаются медианы ВМ в точках Р и К соответственно. Найдите расстояние между точками Р и К, если известно, что АВ=17, ВС=7, АС= [math]\sqrt{177}[/math].

Показать ответ

Решение:

Вариант 2

А)Найдем радиус вписанной окружности через следующую формулу: [math]S=pr[/math], где [math]p=\frac P2[/math]

Отсюда [math]r=\frac{2S}P[/math]

Радиус вписанной окружности в треугольник ABM: [math]r_{ABM}=\frac{2S_{ABM}}{AB+BM+AM}[/math]

Радиус вписанной окружности в треугольник ABC: [math]r_{ABC}=\frac{2S_{ABC}}{AB+BC+AC}[/math]

Пусть [math]r_{ABM}=\frac12r_{ABC}[/math]. Тогда

[math]\frac{2S_{ABM}}{AB+BM+AM}=\frac{2S_{ABC}}{AB+BC+AC}[/math]

[math]S_{ABC}=2S_{ABM}[/math] , т.к. BM-медиана

Следовательно, знаменатели равны, т.е [math]BM+AM=BC+2AM[/math][math]BC+AM=BM[/math]

Б) Исходя из свойства о том,что прямые, выходящие из одной точки и касающиеся окружности, образуют два равных по величине отрезка, получим следующие выражения [math]MP=p_{ABM}-AB=\frac{BM+AM}2-8.5=\frac{BM+MC}2-8.5[/math]

[math]MК=p_{СBM}-BC=\frac{BM+CM}2-3.5[/math]

Получим, что [math]PK=MK-MP=-3.5+8=5[/math]

Ответ: А) нет; Б) 5

17

Из сосуда, наполненного чистым глицерином, отлили 1 л, после этого в сосуд добавили 1 л воды. Затем отлили 1 л смеси и вновь долили 1 л воды. То же самое проделали в третий раз, в результате чего воды в сосуде стало в 7 раз больше, чем глицерина. Найдите объем сосуда. В каком отношении находились объемы глицерина и воды после второго доливания воды в сосуд?

Показать ответ

Пусть [math]x[/math]л - количество глицерина в сосуде изначально. После первого переливания получим глицерина [math](x-1)[/math]л. т.е доля глицерина в сосуде равна [math]\frac{x-1}x[/math]. После второго переливания доля глицерина в сосуде составила [math]\frac{\frac{x-1}x}{\frac{x-1}1}=\left(\frac{x-1}x\right)^2[/math]

Аналогично после третьего переливания: [math]\frac{\frac{x-1}x}{\left(\frac{x-1}1\right)^2}=\left(\frac{x-1}x\right)^3[/math]

По условию задачи воды в сосуде стало в 7 раз больше, чем глицерина,т.е глицерина в сосуде составило 1 долю, а вода – 7 долей, т.е глицерина в сосуде 1/8

Получаем следующее уравнение:

[math]\left(\frac{x-1}x\right)^3=\frac18[/math]

[math]\frac{x-1}x=\frac12[/math]

[math]x=2[/math]

Таким образом, объем сосуда( первоначальное количество глицерина в сосуде)-2л

Количество глицерина в частях после второго переливания: [math]\left(\frac{2-1}2\right)^2=\frac14[/math], а воды- [math]1-\frac14=\frac34[/math]

Ответ: 2 л; 1:3

18

Найдите все а, при каждом из которых уравнение [math]\log_{x-1}\left(4^{x-1}-3\cdot2^x-a\right)=0[/math] имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству |x - 2|≤ 1.

Показать ответ

Решение:

Преобразуем неравенство: [math]-1\leq x-2\leq1[/math]

[math]1\leq x\leq3[/math]

Пусть [math]2^x=t[/math]. Тогда получаем неравенство: [math]2\leq2^x\leq8[/math]

Преобразуем: [math]\frac14t^2-3t-a=1[/math]

График функции [math]\frac14t^2-3t-a-1=y(t)[/math] возрастает на промежутке [math]\lbrack6;+\infty)[/math], при условии, что [math]2\leq2^x\leq8[/math], функция имеет один единственный корень на отрезках [math]\lbrack2;6\rbrack[/math] [math]\lbrack6;8\rbrack[/math]

Подставим крайние значения отрезков в уравнение и найдем значения a:

[math]t=2[/math] [math]a=1-6-1=-6[/math]

[math]t=8[/math] [math]a=16-24-1=-9[/math]

Рассмотрим частный случай, когда квадратное уравнение-неполное, т.е. а=-1. Тогда получим уравнение:[math]2^x(\frac142^x-3)=0[/math]

Корень уравнения:[math]x=ln12[/math]- единственный и входит в промежуток

Ответ: [math]a=-1,\;-9\leq a<-6[/math]

19

На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22.

A) Из этих карточек взяли две (с числами а и b) и составили неправильную дробь [math]\frac ab[/math]. Какое наименьшее число могло получиться?

Б) Из этих карточек составили 11 дробей. Могла ли их сумма иметь целое значение?

B) Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могли иметь целое значение?

Показать ответ

Решение:

A) Чтобы получить наименьшую неправильную дробь, необходимо выполнить два условия: 1) (a-b)=1 2) b-максимальное число из возможных, так как чем больше знаменатель, тем меньше число. Под эти два условия подходит следующий набор чисел: a=22, b=21

Б) Мы имеем набор чисел таких, что составляя дроби, из одной получится точно целое число (так как любое целое число, разделив на 1, остается целым), и остальные пары чисел, такие как 2 и 14, 4 и 20, 5 и 15, 6 и 12, 7 и 21, 8 и 16, 9 и 18, 11 и 22 дают при деление второго на первое целое число. Остаются только числа 1, 3,10, 13,17,19,6,12.Чтобы остальные числа давали в итоге целое число, необходимо,чтобы дроби после приведения к общему знаменателю давали число,делящееся на знаменатель. т.е. имеем знаменатели 3, 6,12. Перебрав варианты,получим,что подходит вариант:[math]\frac{13}3[/math] [math]\frac{17}6[/math] [math]\frac{10}{12}[/math] [math]\frac{19}1[/math]

Таким образом получим: [math]\frac{13}3+\frac{17}6+\frac{10}{12}+\frac{22}{11}+\frac{21}7+\frac{20}4+\frac{19}1+\frac{18}9+\frac{16}8+\frac{15}5+\frac{14}2=51[/math]

В) Мы имеем набор чисел таких, что составляя дроби, из одной получится точно целое число (так как любое целое число, разделив на 1, остается целым), и остальные пары чисел, такие как 2 и 14, 3 и 15, 4 и 20, 5 и 10, 6 и 12, 7 и 21, 8 и 16, 9 и 18, 11 и 22, дают при деление второго на первое целое число. И еще составим одну любую дробь из оставшихся чисел со знаменателем 1, например 19 и 1. Получим 10 дробей

Ответ: A) [math]\frac{22}{21}[/math]

Б) да, например, [math]\frac{13}3+\frac{17}6+\frac{10}{12}+\frac{22}{11}+\frac{21}7+\frac{20}4+\frac{19}1+\frac{18}9+\frac{16}8+\frac{15}5+\frac{14}2=51[/math]

В) 10

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 318 736
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель