Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 4

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Оля приобрела куртку за 1600 руб. Цена была указана со скидкой 60 %. Вычислите начальную стоимость товара (в руб.).

2
2

На диаграмме представлены данные мировых затрат на строительство в 2004 г. По горизонтали указаны страны, по вертикали — затраты (в млрд долл.).

Вариант 4

Определите, какая страна занимает второе место на рынке строительных работ. В ответе укажите затраты данной страны (в млрд долл.).

3
3

Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Найдите высоту (в см), проведенную к основанию.

4
4

Магазин проводит лотерею среди покупателей. На 100 билетов приходится 16 единиц бытовой техники, 25 предметов посуды, все остальные призы — сувениры с символикой. Какова вероятность того, что случайно зашедшему в этот день посетителю достанется сувенир?

5
5

Решите уравнение [math]7^{5x^2-20}=7^{15x}[/math]. В ответе укажите бо́льший его корень.

6
6

В окружности проведен диаметр DC и хорда AD. Угол ADC равен 15°. Найдите угол ACD (в градусах).

Вариант 4
7
7

На рисунке изображен график производной функции f(x). Определите количество целых точек, в которых касательная к графику f(x) будет иметь тангенс угла наклона, равный 1.

Вариант 4

8
8

Алюминиевый шар радиусом 3 см переплавили в цилиндр, сохранив величину площади поверхности. Найдите высоту полученной фигуры (в см), если радиус основания цилиндра равен 3 см.

9
9

Вычислите [math]\frac{sin^2765^\circ}{1-cos420^\circ}[/math]

10
10

Для выполнения трюка мотоциклист движется по внутренней поверхности цилиндра по окружности, перпендикулярной оси цилиндра. Необходимая минимальная скорость для движения по данной траектории вычисляется по формуле: [math]v_{min}=\sqrt{g\left(r-l\right)\mu}[/math]. Определите, при каком коэффициенте трения покрышек μ о поверхность цилиндра скорость мотоцикла будет равна [math]v_{min}=7,8[/math] м/с. Радиус цилиндра r = 11 м, расстояние от центра тяжести мотоцикла с человеком до поверхности цилиндра l = 0,86 м, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/c2.

11
11

Для освещения магазина необходимо установить 286 светильников. Рабочие в первый день установили 10 шт. За сколько дней работа будет выполнена, если каждый следующий день они устанавливали на 2 светильника больше?

12
12

Найдите точку минимума функции [math]f(x)=-12ln(x^2-12)+6x[/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

Дано уравнение [math]\frac{\sin x+\sin3x}{\cos x}=1[/math].

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[\frac14;\;\frac{13}4\right][/math].

Показать ответ

А) Преобразуем левую часть уравнения и получим следующее:

[math]\frac{2sin(2x)cosx}{cosx}=1[/math]

ОДЗ: [math]cosx\neq0[/math] , [math]x\neq\frac\pi2+\pi n,n\in Z[/math]

[math]2sin2x=1[/math]

[math]sin2x=\frac12[/math]

[math]x_1=\frac\pi{12}+\pi k,\;k\in Z[/math]

[math]x_2=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;n\in Z[/math]

Б) Нанесем корни на числовую прямую и определим, какие из них войдут в отрезок

Вариант 4

Ответ: А) [math]\frac\pi{12}+\pi k,\;\frac{5\pi}{12}+\pi n,\;k,n\in Z;[/math]

Б) [math]\frac\pi{12};\;\frac{5\pi}{12}[/math]

14

В правильной треугольной призме АВСА1B1C1 все ребра равны между собой. Точка К - середина ребра СС1.

А) Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВК, если ребро призмы равно 6.

Показать ответ

Решение:

Вариант 4

Все ребра равны, правильная призма, [math]C_1K=CK[/math]

А) Доказать, что [math]AB_1\perp KB[/math]

Совершим параллельный перенос прямой КВ так, чтобы она проходила через точку [math]B_1[/math], пересекает [math]С_1С[/math] в т. [math]К_1[/math]

[math]\bigtriangleup СВК=\bigtriangleup С_1В_1К_1[/math] (по катет и острому углу):

[math]С_1В_1=СВ[/math], [math]\angle С_1В_1К_1=\angle СВК\Rightarrow К_1С_1=КС[/math]

Имеем, что [math]\angle(АВ_1;КВ)=\angle(АВ_1;К_1В_1)[/math]

Пусть а - длина ребра

Из [math]\bigtriangleup С_1К_1В_1[/math], [math]\angle С_1=90^\circ[/math], по теореме Пифагора : [math]К_1В_1=\sqrt{а^2+\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt5}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup АК_1С_1[/math], [math]\angle С=90^\circ[/math], по теореме Пифагора : [math]АК_1=\sqrt{а^2+\frac{9а^2}4}=\frac{а\sqrt13}2[/math]

Из [math]\bigtriangleup АК_1С_1[/math]: [math]\angle В=90^\circ[/math] по теореме Пифагора: [math]АВ_1=\sqrt{а^2+а^2}=а\sqrt2[/math]

Проверим, является ли [math]\bigtriangleup АК_1В_1[/math] прямоугольным по теореме, обратной теореме Пифагора

[math]АК_1^2=АВ_1^2+К_1В_1^2[/math]

[math]\frac{а^2\cdot13}4=а^2\cdot2+\frac{а^2\cdot5}4[/math] - верно

Следовательно,[math]\bigtriangleup АВ_1К_1=90^\circ\Rightarrow\angle(АВ_1;К_1В_1)=\angle(АВ_1;КВ)\Rightarrow АВ_1\perp КВ[/math]

Б) Построим [math]С_1Н\perp А_1В_1[/math], [math]К_1H'\perp(AA_1B_1)[/math]

[math]C_1H\parallel K_1H'[/math] , [math]C_1K_1\parallel HH'\Rightarrow C_1H=K_1H'[/math]

Рассмотрим [math]\bigtriangleup С_1В_1H[/math] [math]\angle H=90^\circ[/math], [math]C_1H=\sqrt{C_1B_1^2-HB_1^2}[/math], по теореме Пифагора [math]HB_1=\frac12a[/math] ( по свойству равнобедренного треугольника)

[math]С_1Н=\sqrt{а^2-\frac{а^2}4}=\frac{а\sqrt3}2=К_1Н'[/math]

Рассмотрим пирамиду [math]K_1B_1BA[/math]:

С одной стороны [math]V_п=\frac13К_1Н'[/math] * [math]S_{\bigtriangleup ABB_1}[/math]

С другой стороны [math]V_п=\frac13h[/math] * [math]S_{\bigtriangleup AK_1B_1}[/math]

[math]\frac13К_1Н'[/math] * [math]S_{\bigtriangleup ABB_1}[/math] = [math]\frac13h\ast S_{\bigtriangleup AK_1B_1}\Rightarrow h=\frac{K_1H'\ast S_{\bigtriangleup ABB_1}}{S_{\bigtriangleup AK_1B_1}}[/math]

[math]S_{\bigtriangleup ABB_1}=\frac12a^2[/math], [math]S_{\bigtriangleup AK_1B_1}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2[/math]

[math]h=\frac{\frac{a\sqrt3}2\cdot\frac{a^2}2}{\frac12\cdot\frac{a\sqrt5}2\cdot a\sqrt2}=a\frac{\sqrt3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{30}}5[/math]

Ответ: [math]\frac{3\sqrt{30}}5[/math]

15

Решите неравенство [math]\frac{\sqrt{\log_2\left(x^2-3\right)}-\sqrt{\log_2\left(x+9\right)}}{\log_2\left(x^2-6x+9\right)}\geq0[/math].

Показать ответ

ОДЗ:

Вариант 4

Решение системы: [math]x\in\left[-8;2\right]\cup\lbrack-2;3)\cup(3;+\infty)[/math]

Найдем нули числителя:

[math]\sqrt{log_2(x^2-3)}-\sqrt{log_2(x+9)}=0[/math]

[math]log_2(x^2-3)=log_2(x+9)[/math]

[math]x^2-3=x+9[/math]

[math]x^2-x-12=0[/math]

[math]x_1=-3[/math], [math]x_2=2[/math]

Нули знаменателя: [math]log_2(x^2-6x+9)=0[/math]

[math]x^2-6x+9-1=0[/math]

[math](x-4)(x-2)=0[/math]

[math]x_1=4[/math] – корень кратности 2

[math]x_2=2[/math]

Нанесем нули на числовую прямую и расставим знаки:

Вариант 4

Учитывая ОДЗ, получим: [math]x\in[/math] [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

Ответ: [-8; -3]⋃(2; 3)⋃(3; 4)⋃(4; +∞)

16

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках М и Р соответственно.

А) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

Б) Прямая МР пересекает прямую CD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение ВЕ:ВМ, если АМ:МВ=1:3.

Показать ответ

Решение:

Вариант 4

A) [math]P_{\bigtriangleup AMP}=AM+MP+AP[/math]

PS=PZ, NM=MZ. Следовательно по свойств касательных к окружности из одной точки MP=MZ+PZ=MN+PS

AM=AN-MN, AP=AS-PS

[math]P_{\bigtriangleup AMP}=MN+S+AN-MN+AS-PS=AN+AS=2AN=AB[/math] (т.к. NB=AN)

Б) [math]\bigtriangleup ONE=\bigtriangleup OLK[/math] ( по катету и острому углу): ON=OL как радиус окружности, [math]\angle LOK=\angle NOE[/math]

Следовательно, KP=BE (т.к. KP=LK-LD и BE=NE-NB, LK=NE, NB=LD

[math]\bigtriangleup PAM\sim\bigtriangleup PDK[/math] (по двум углам) [math]\angle DPK=\angle APM[/math] как вертикальные , [math]\angle A=\angle D=90^\circ\Rightarrow\frac{DK}{AM}=\frac{DP}{AP}=\frac{BE}{AM}[/math]

AM+MB=AB? MB=3AM. Следовательно 4AM=AB. Значит AM=1/4*AB

[math]P_{\bigtriangleup AMP}=AP+\frac14AB+\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}=AB[/math]

[math]\frac34AB-AP=\sqrt{AP^2+\frac{AB^2}{16}}[/math], [math]\frac9{16}AB^2-\frac32AB\cdot AP+AP^2=AP^2+\frac{AB^2}{16}\Rightarrow\frac32AP=\frac12AB[/math], [math]AP=\frac13AB[/math], [math]PD=\frac23AB[/math]

[math]AM=\frac13BM\Rightarrow\frac{BE}{\frac13BM}=\frac{\frac23AB}{\frac13AB}[/math], [math]\frac{BE}{BM}=\frac23[/math]

Ответ: 2:3

17

В магазин поступил товар I и II сортов на общую сумму 4,5 млн. руб. Если весь товар продать по цене II сорта, то убытки составят 0,5 млн. руб., а если весь товар реализовать по цене I сорта, то будет полечена прибыль 0,3 млн. руб. На какую сумму был приобретен товар I и II сортов в отдельности?

Показать ответ

Пусть x– цена первого сорта, y – цена второго сорта, a – количество первого сорта, b – количество второго сорта. Получим, что в магазин поступило xa+yb=4,5. В первом случае получим следующее уравнение: y(a+b)=4,5-0,5 , во втором случае: x(a+b)=4,5+0,3

В итоге получим систему из трех уравнений:

Вариант 4

1) Из первого отнимем второе, и из первого отнимем третье.Получится система из двух новых уравнений

Вариант 4

Разделим первое на второе: [math]b=\frac35a[/math]

2) Разделим в исхдной системе второе уравнение на первое:[math]y=\frac4{4.8}x[/math]

3) Подставим найденные соотношения в первое уравнение:

[math]xa+\frac4{4.8}x\cdot\frac35a=4.5[/math]

[math]\frac32xa=4.5[/math]

[math]xa=\frac{45\cdot2}{10\cdot3}=3[/math]

4) [math]xa+xb=4.5\Rightarrow xb=4.5-xa=4.5-3=1.5[/math]

Ответ: 3 млн. руб. и 1,5 млн. руб.

18

Найдите все а, при каждом из которых система уравнений

Вариант 4

имеет ровно три различных решения.

Показать ответ

Решение: преобразуем первое уравнение: [math](\left|x\right|-1)^2+(\left|y\right|-1)^2=2[/math]

Имеем окружность с радиусом [math]R=\sqrt2[/math] и центром О(1,1). Пример применим свойства модулей на графике и получим следующее:

Вариант 4

Точка (0;0) тоже входит в график окружности. Чтобы получить гарантированно три решения, должна быть одна точка-фиксированная,т. е получим следующие варианты :

Вариант 4

Уравнение прямой: [math]y=ax+(3-3a)[/math]

1 сл: y=0, x=2. Тогда а=3

2 сл: x=0, y=2. Тогда а= 1/3

3 сл: y=0, x=0. тогда а=1

4 и 5 сл: прямая касается одного сектора и пересекает второй в двух точках. Найдем уравнение касательной: [math]x^2-2x+y^2-2y=0[/math]

[math]a_4=-2;a_5=-2;a_6=0[/math]

Получаем уравнение касательной: [math](x_0+\frac{-2}2)x+(\frac{-2}2+y_0)y+(\frac{-2x_0-2y_0}2+0)=0[/math]

[math](x_0+-1)x+(-1+y_0)y+(-x_0-y_0)=0[/math]

Все прямые проходят через точку (3;3), то есть имеем уравнение [math]3(x_0+-1)+3(-1+y_0)+(-x_0-y_0)=0[/math] и исходное уравнение [math]-y_0+ax_0+(-3a+3)[/math]

Решим систему из этих двух уравнение и получим следующие значения:[math]x_0=\frac{3a}{1+a}[/math] [math]y_0=3-\frac{3a}{1+a}[/math]

Подставим в уравнение окружности первого сектора и получим квадратное уравнение: [math]3a^2-12a+3=0[/math]

Решение уравнения: [math]a_{1,2}=2\pm\sqrt3[/math]

Ответ: [math]2-\sqrt3;\;\frac13;\;1;\;3;\;2+\sqrt3[/math]

19

Назовем натуральное число интересным, если в его разложении на простые множители каждый множитель имеет нечетную степень (например, число 120=23⋅31⋅51 - интересное).

A) Может ли интересное число оканчиваться ровно четырьмя нулями?

Б) Существуют ли три последовательных натуральных числа, среди которых нет ни одного интересного?

B) Чему равно наибольшее количество последовательных натуральных интересных чисел?

Показать ответ

А) Если число заканчивается четырьмя нулями, то мы его можем записать в виде [math]10000\cdot x=10^4x=x\cdot5^4\cdot2^4[/math]

т.е. 2 и 5 имеют четные показатели. Чтобы эти показатели стали нечетными, то есть число стало интересным, необходимо иметь в делителях числа еще одну двойку и пятерку, то есть имеет делитель на 10, это значит число имеет 5 нулей, что противоречит условию. Следовательно такого быть не может

Б) Будем отталкиваться от чисел, которые точно являются неинтересными, это числа 4, 9, 25, 49 и т.д.( т.е произведение двух одинаковых простых чисел)

Рассмотрим соседей этих чисел и исследуем все возможные варианты:

3, 4, 5 – из них 3 и 5 – интересные. Следовательно 4 – не подходит.

8, 9, 10 – из них 8 и 10 – интересные. Следовательно 9 – не подходи

48, 49, 50 – 48,50- неинтересные числа. Подходит вариант.

В) Предположим, что таких чисел 8. Одно из них будет иметь остаток от деления на 8- 4- следовательно не будет интересным. Значит имеем максимально количество последовательно интересных чисел- 7. Произведем перебор. Неинтересные числа: 4, 9, 12, 16, 18, 20 , 25, 28, 36 и т.д. Видим, что числа 29-36-интересные и их 7. Задача решена

Ответ: А) нет; Б) да, например, 48, 49, 50; В) 7 (например, числа от 29 до 35)

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 468 751
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель