Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 1

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В летнем лагере отдыхают 214 детей и работают 25 воспитателей. В автобус вмещается не более 30 пассажиров. Сколько потребуется автобусов, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

2
2

На рисунке жирными точками показана цена некоторой акции на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 4 по 22 августа 2020 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в рублях. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена акции на момент закрытия торгов была наибольшей за этот период.

Вариант 1

3
3

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вариант 1

4
4

На улице неправильно припарковано 48 автомобилей, среди которых автомобиль Маши. Эвакуатор выбрал случайным образом и вывез на штрафстоянку 12 автомобилей. Какова вероятность, что автомобиль Маши не вывезли на штрафстоянку?

5
5

Найдите корень уравнения: [math]-\frac4{11}x=1\frac9{11}[/math]

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A = 0,3. Найдите cos В.

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Вариант 1

8
8

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём цилиндра равен 90. Найдите объём конуса.

Вариант 1

9
9

Найдите значение выражения: [math]y=\frac{49x^2-25}{7x+5}-7x[/math]

10
10

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности In, оперативности Ор, объективности Тr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 7.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо, информативность публикаций втрое, а оперативность вдвое дороже, чем качество сайта. Таким образом, формула приняла вид:

[math]y=\frac{3In+2Op+4Tr+Q}A[/math]

Найдите, каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 2.

11
11

Первые четыре часа автобус шёл со скоростью 65 км/ч, следующие три часа — со скоростью 70 км/ч, а затем два часа — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса на протяжении всего пути (в км/ч).

12
12

Найдите точку максимума функции у = (х — 6)2(х + 9) + 3.

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]27^{tg^2x}+81\times27^{-tg^2x}=30[/math]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}2;3\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac{7\mathrm\pi}4,\;\frac{11\mathrm\pi}6,\;\frac{13\mathrm\pi}6,\;\frac{9\mathrm\pi}4,\;\frac{11\mathrm\pi}4,\;\frac{17\mathrm\pi}6[/math]

[math]\begin{array}{l}а)27^{tg^2x}+81\times27^{-tg^2x}=30\\27^{tg^2x}+\frac{81}{27^{tg^2x}}=30,\\Обозначим\;27^{tg^2x}=t,\;t\geq1\\Уравнение\;примет\;вид\;t+\frac{81}t=30,\\Умножим\;каждый\;член\;на\;t:\;t^2-30t+81=0.\\\left\{\begin{array}{l}t=27\\t=3\end{array}\right.\\Вернемся\;к\;исходной\;переменной.\\\end{array}[/math] [math]\begin{array}{cc}1)\;27^{tg^2x}=27&2)27^{tg^2x}=3\\tg^{2\;}x=1&3^{3tg^2x}=3\\tg\;x=\pm1&3tg^2x=1\\x=\pm\frac\pi4+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}&tg\;x\;=\pm\frac1{\sqrt3}\\&x=\pm\frac\pi6+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\&\end{array}[/math] [math]б)\;С\;помощью\;числовой\;окружности\;отберем\;корни\;уравнения,\;принадлежащие\;промежутку\left[\frac{3\mathrm\pi}2;3\mathrm\pi\right].[/math] Вариант 1 [math]\begin{array}{l}x_1=2\mathrm\pi+\frac{\mathrm\pi}4=\frac{9\mathrm\pi}4\\{\mathrm x}_2=2\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}4=\frac{7\mathrm\pi}4\\{\mathrm x}_3=2\mathrm\pi+\frac{\mathrm\pi}6=\frac{13\mathrm\pi}6\\{\mathrm x}_4=2\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}6=\frac{11\mathrm\pi}6\\{\mathrm x}_5=3\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}4=\frac{11\mathrm\pi}4\\{\mathrm x}_6=3\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}6=\frac{17\mathrm\pi}6\end{array}[/math]
14

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 через центр основания треугольника АВС и центры симметрий боковых граней АА1В1В и BB1С1C проведена плоскость, которая составляет с плоскостью основания 30°.

а) Постройте сечение, образованное этой плоскостью.

б) Найдите площадь этого сечения, если сторона основания равна 6.

Показать ответ
6
15

Решите систему неравенств: [math]\left\{\begin{array}{l}\left(\frac19\right)^\frac{4-x^2}2\geq27\\\log_{x+2}(2x^2+x)>2\end{array}\right.[/math]

Показать ответ
(4; + ∞)
16

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, [math]\angle ABC=\alpha[/math]. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках P и K.

а) Докажите, что высота ВН треугольника АВС [math]BH=2R\cos^2\frac\alpha2[/math]

б) Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника КВР, если [math]\angle ABC=120^\circ[/math].

Показать ответ

[math]\frac{4\sqrt{21}}7[/math]

17

Для перевозки большого числа ящиков по 130 кг и по 110 кг выделены двухтонные машины. Можно ли загрузить такими ящиками машину полностью? Укажите все варианты того, сколько ящиков каждого вида при этом можно взять.

Показать ответ
12 по 130 кг и 4 по 110 кг или 1 по 130 кг и 17 по 110 кг
18

Найдите все значения параметра α, при которых уравнение [math]\log_\frac1a(\sqrt{x^2+ax+10}+1)lg(x^2+ax+11)+2\log_a2=0[/math]имеет ровно одно решение.

Показать ответ
2
19

Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует пятизначных палиндромов?

б) Существует ли 2015-значное число, квадрат которого является палиндромом?

в) Сколько существует палиндромов, квадраты которых не превышают 100000 и так же являются палиндромами?

Показать ответ
а) 900; б) да; в) 10
0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.