Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 2

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В школе есть пятиместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 28 человек?

2
2

На рисунке 25 показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру 6 августа после 6:00. Ответ дайте в градусах Цельсия

Вариант 2

3
3

Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вариант 2

4
4

В папке у Димы Гущина лежат четыре пронумерованных цифрами 1, 2, 3, 4 файла с документами, а также заявление на отпуск. Доставая заявление на отпуск, Дмитрий Дмитриевич случайно вытащил и файл с документами. Найдите вероятность того, что он достал файл 3.

5
5

Решите уравнение [math]x^2-2x-24=0[/math]. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

6
6

Сторона правильного треугольника равна [math]73\sqrt3[/math]. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Вариант 2

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке х0 = 5.

Вариант 2

8
8

Длина окружности основания цилиндра равна 2. Площадь боковой поверхности равна 14. Найдите высоту цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения

[math]\frac{(18a^8b^9)^3\times(3a^9b^4)^2}{(3a^6b^5)^7}[/math]

10
10

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет- изданий на основе оценок информативности In, оперативности Ор, объективности Тr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 6.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится всемеро, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид


[math]R=\frac{4In+Op+7Tr+Q}A[/math]

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.

11
11

Смешали 5 л 27%-ного водного раствора некоторого вещества с 8 л 40%-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация-получившегося раствора?

12
12

Найдите точку минимума функции [math]y=(x+17)e^{x-12}[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]16^{\sin^2x}+16^{\cos^2x}=10[/math]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

Решение:

a) [math]16^{\sin^2x}+16^{\cos^2x}=10[/math]

[math]16^{\sin^2x}+16^{1-\sin^2x}=10[/math]

[math]16^{\sin^2x}+\frac{16}{16^{\sin^2x}}=10[/math]

Обозначим [math]16^{\sin^2x}=t,\;t\geq0[/math]

Уравнение примет вид [math]t+\frac{16}t=10,\;t^2-10t+16=0[/math]

[math]t_1=2,\;t_2=8.[/math]

[math]\begin{array}{l}16^{\sin^2x}=2,\\2^{4\sin^2x}=2,\\4\sin^2x=1,\\\sin^2x=\frac14,\\\sin x=\pm\frac12,\\x=\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}.\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}16^{\sin^2x}=8,\\2^{4\sin^2x}=2^3,\\4\sin^2x=3,\\\sin^2x=\frac34,\\\sin x=\pm\frac{\sqrt3}2,\\x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}.\end{array}[/math]

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие промежутку[math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math]

Вариант 2

[math]x_{1,2}=\pm\frac{\mathrm\pi}6,x_{3,4}=\pm\frac{\mathrm\pi}3,x_5=\frac{2\mathrm\pi}3,x_6=\frac{5\mathrm\pi}6.[/math]

Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{\mathrm\pi}3;\;-\frac{\mathrm\pi}6;\;\frac{\mathrm\pi}6;\;\frac{\mathrm\pi}3;\;\frac{2\mathrm\pi}3;\;\frac{5\mathrm\pi}6[/math]

14

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка О — центр основания треугольника АВС, точки O1 и О2 — центры симметрий боковых граней АА1В1В и АА1С1С соответственно.

а) Постройте сечение призмы плоскостью OO1O2.

б) Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью OO1O2, если сторона основания призмы равна 9, а площадь сечения призмы плоскостью OO1O2 равна [math]13,5\sqrt3[/math].

Показать ответ

a) Сечение, проходящее через точку[math]O[/math], - центр [math]\bigtriangleup ABC[/math], точки [math]O_1[/math] и [math]O_2[/math] - центры симметрии боковых граней [math]AA_1B_1B[/math] и [math]AA_1C_1C[/math].

Вариант 2

Пусть [math]D_1D_2[/math] проекция отрезка [math]O_1O_2[/math] на плоскость [math]ABC[/math]. По условию призма правильная, значит, [math]AA_1B_1B[/math] и [math]AA_1C_1C[/math] равные прямоугольники, поэтому расстояния от точек [math]O_1[/math] и [math]O_2[/math] до сторон [math]AB[/math] и [math]AC[/math] равны, то есть [math]O_1D_1=O_2D_2[/math]. Получаем прямоугольник [math]D_1O_1O_2D_2[/math], у которого [math]O_1O_2\;\parallel D_1D_2[/math], следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости прямая [math]O_1O_2[/math] параллельна плоскости [math]ABC[/math]

Сечение[math]OO_1O_2[/math] проходит через прямую [math]O_1O_2[/math], значит, пересекает плоскость [math]ABC[/math] по прямой, параллельной [math]O_1O_2[/math]. Проведем через точку [math]O[/math] прямую [math]PQ[/math], параллельную [math]D_1D_2[/math]. Прямые [math]PO_1[/math] и [math]QO_2[/math] пересекают плоскость [math]A_1B_1C_1[/math] в точках [math]K[/math] и [math]F[/math] соответственно. Четырехугольник [math]PKFQ[/math] - искомое сечение

б) По свойству параллельных плоскостей [math]PQ\parallel KF[/math], следовательно, четырехугольник [math]PKFQ[/math] - трапеция

Так как [math]O_1D_1\parallel AA_1\parallel BB_1[/math] и расстояния от точки [math]O_1[/math] до ребер [math]AA_1[/math] [math]BB_1[/math] равны, то равны расстояния [math]AD[/math] и [math]BD_1[/math], аналогично равны [math]AD_2[/math] и [math]CD_2[/math], значит, [math]D_1D_2[/math] - средняя линия треугольника [math]ABC[/math]. [math]D_1D_2\parallel O_1O_2\parallel PQ\parallel BC[/math]

Проведем [math]KM\perp AB[/math] и [math]FN\perp AC[/math], тогда трапеция [math]MPQN[/math] - проекция трапеции [math]KPQF[/math] на плоскость [math]ABC[/math]

Пусть [math]AH[/math] - высота [math]\bigtriangleup ABC[/math], [math]SO[/math] - высота трапеции [math]KPQF[/math], значит [math]\angle SOA[/math] - линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания

[math]\cos\angle SOA=\frac{S_{MPQN}}{S_{KPQF}}[/math]

Из равенства треугольников [math]A_1O_1K[/math] и [math]BO_1P[/math] по II признаку следует, что [math]A_1K=BP,\;A_1K=AM[/math] как противоположные стороны прямоугольника[math]AA_1KM[/math]. Имеем [math]AM=PB[/math]. Так как [math]PQ\parallel BC[/math] и проходит через центр равностороннего треугольника, то [math]AM=MP=PB=3[/math]. Проведем [math]SE\perp MN[/math]

Высота [math]AH[/math] точками [math]E[/math] и [math]O[/math] делится на три равные части. [math]EO=\frac13AH=\frac13\frac{9\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2[/math], а проекции [math]PQ[/math] и [math]MN[/math] соответственно равны [math]PQ=\frac23BC=\frac23\times9=6,\;MN=\frac13BC=3.[/math]

[math]S_{MPQN}=\frac{MN+PQ}2\times EO=\frac{3+6}2\times\frac{3\sqrt3}2=\frac{27\sqrt3}4[/math]

[math]\begin{array}{l}\cos\angle SOA=\frac{27\sqrt3}{4\times13,5\sqrt3}=\frac12\\\angle SOA=60^\circ\end{array}[/math]

Ответ: [math]60^\circ[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\left(\frac14\right)^\frac{10-x^2}2\geq8^x,\\\log_{2x+5}(x^2-28x-7)>0\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

решим первое неравенство системы.

1. [math]\left(\frac14\right)^\frac{10-x^2}2\geq8^x;\;\;\;\;2^{x^2-10}\geq2^{3x};\;\;\;x^2-10\geq3x;[/math]

[math]\begin{array}{l}\;\;x^2-3x-10\geq0;\;(x+2)(x-5)\geq0;\\x\in(-\infty;-2\rbrack\cup\lbrack5;+\infty)\end{array}[/math]

2. Решим второе неравенство системы

[math]\log_{2x+5}(x^2-28x-7)>0[/math]

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x^2-28x-7>0;\\2x+5>0;\end{array}\\\;\;\;\;\;\;2x+5\neq1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x14+\sqrt{203}\\x>-2,5\end{array}\\\;\;\;\;\;\;x\neq-2\end{array}\right.[/math]

[math]\begin{array}{l}x\in(-2,5-2)\cup(-2;14-\sqrt{203})\cup(14+\sqrt{203};+\infty)\\(2x+5-1)(x^2-28x-7-1)>0\\(x+2)(x^2-28x-8)>0\\(x+2)(x-(14-2\sqrt{51}))(x-(14+2\sqrt{51}))>0\end{array}[/math]

Вариант 2

Учитывая множество решений первого неравенства, получим, что [math]x\in(14+2\sqrt{51};+\infty)[/math]

Ответ [math](14+2\sqrt{51};+\infty)[/math]

16

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, ∠АВС = α. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках М и N.

а) Докажите, что [math]AB=2R\cos\frac\alpha2[/math]

б) Найдите отношение площади треугольника MBN к площади треугольника АВС, если ∠АВС = 60°

Показать ответ

а) В [math]\bigtriangleup ABC[/math] по теореме синусов [math]\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R,\;AC=2R\sin\alpha[/math]

Проведем [math]BH\perp AC[/math]

По условию [math]\bigtriangleup ABC[/math] - равнобедренный, значит высота [math]BH[/math] является медианой и биссектрисой [math]AH=\frac12AC=R\sin\alpha[/math] (см. рисунок)

[math]AB=\frac{AH}{\sin{\displaystyle\frac\alpha2}}=\frac{R\sin\alpha}{\sin{\displaystyle\frac\alpha2}}=2R\cos\frac\alpha2[/math], что и требовалось доказать.

Вариант 2

б) В [math]\bigtriangleup ABH\;tg\angle ABH=\frac{AH}{BH}[/math], [math]\;BH=\frac{AH}{tg\angle ABH}=\frac{R\sin\alpha}{tg{\displaystyle\frac\alpha2}}=2R\cos^2\frac\alpha2=2R\cos^230^\circ=\frac32R[/math]

По условию [math]KP[/math] - средняя линия [math]\bigtriangleup ABC[/math], значит, [math]BF=\frac12BH=\frac34R.[/math]

[math]\angle BNE=90^\circ[/math], как вписанный опирающийся на диаметр, следовательно [math]\bigtriangleup BNE[/math] - прямоугольный.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла, [math]NF^2=BF\times FE=\frac34R\times(2R-\frac34R)=\frac{15}{16}R^2[/math]

[math]NF=\frac{\sqrt{15}R^2}4[/math], [math]MN=2NF=\frac{R\sqrt{15}}2[/math]

[math]\begin{array}{l}S_{MBN}=\frac12MN\times BF=\frac12\times\frac{R\sqrt{15}}2\times\frac34R=\frac{3\sqrt{15}}{16}R^2\\S_{ABC}=\frac12AB\times BC\times\sin\angle ABC=\frac12\times(2R\cos\frac\alpha2)^2\times\sin\alpha=\frac{3\sqrt3}4R^2\\\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}}=\frac{3\sqrt{15}R^2}{16}\div\frac{3\sqrt3}4R^2=\frac{\sqrt5}4\end{array}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt5}4[/math]

17

Цену на гречку подняли на 75%. Для того чтобы поменять ценник, продавец поменял местами цифры прежней стоимости 1 кг гречки. Цена гречки выражалась двузначным числом рублей, кратным 9. Сколько стоил 1 кг гречки до подорожания?

Показать ответ

Решение:

По условию до подорожания цена гречки - двузначное число [math]\overline{xy}=10x+y[/math] . Здесь [math]x[/math] - цифра десятков, [math]y[/math] - цифра единиц. При этом [math]x\neq0,\;y\neq0.[/math]

После повышения цены на [math]75\%[/math] стоимость гречки стала [math](10x+y)\times1,75[/math], в то же время по условию цена стала [math]\overline{yx}=10y+x.[/math].

Получим уравнение [math](10x+y)\times1,75=10y+x[/math], [math]2x=y[/math]

Видим, что цифра единиц числа [math]\overline{xy}[/math] в два раза больше цифры десятков. Среди двузначных чисел таких четыре: 12,24,36,48. На 9 делится только число 36

Ответ: Начальная цена гречки 36 рублей.

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение [math]\log_\frac1a(\sqrt{x^2+ax+10}+1)\lg\left(x^2+ax+11\right)+2log_a2=0[/math] имеет нечетное количество решений.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\\x^2+ax+11>0\end{array}\end{array}\right.[/math][math]\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\end{array}\end{array}\right.[/math]

Обозначим [math]x+\frac\alpha2=t.[/math]

Уравнение примет вид

[math]log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0.[/math]

Функция [math]f(t)=log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2[/math] - четная

Исходное уравнение имеет ровно одно решение при [math]t=0[/math], в противном случае будет четное число решений,что противоречит условию задачи.

Имеем [math]f(0)=0.[/math]

[math]\log_\frac1a(\sqrt{10-\frac{a^2}4}+1)lg(11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0. (1)[/math]

Пусть [math]\sqrt{10-\frac{a^2}2}=b,\;b\geq0.[/math] Тогда уравнение (1) принимает вид: [math]\begin{array}{l}-\log_a(b+1)lg(b^2+1)+\log_a4=0,\\\log_2(b+1)\times log_2(b^2+1)=\log_24\times\log_210.\;(2)\end{array}[/math]

Если [math]b=0[/math], то получаем противоречие, поэтому [math]b>0,\;b+1>1[/math] и [math]b^2+1>1[/math]. Отсюда следует, что функции [math]g(b)=\log_2(b+1)[/math] и [math]f(b)=\log_2(b^2+1)[/math] являются возрастающими положительными функциями. Их произведение является тоже возрастающей функцией.

Если [math]b+1=4[/math] и [math]b^2+1=10[/math], то [math]b=3[/math] удовлетворяет (2).

Других решений уравнение (2) не имеет, так как права часть уравнения (2) является константой.

Ответ: [math]a=2[/math]

19

Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует шестизначных палиндромов, каждая цифра в которых встречается не больше двух раз?

б) Существует ли пара натуральных чисел (а;b), таких, что никакая натуральная степень числа а не является палиндромом, а любая степень числа b является?

в) Сколько существует упорядоченных пар (х; у), где х,у — двузначные палиндромы, х≠y, x + у — палиндром, причём нечётный?

Показать ответ

Решение:

a) Шестизначный палиндром имеет вид [math]\overline{xyzzyx}[/math]. Цифру [math]x[/math] можно выбрать 9 способами (x[math](x\neq0)[/math]), после этого [math]y[/math] - тоже 9 способами [math](y\neq x)[/math], затем [math]z[/math] - 8 способами. Всего [math]9\times9\times8=648[/math] таких палиндромов.

б) Да, приведем примеры: [math]a=10,\;b=1.[/math] [math]a^n=10^n[/math] - не является палиндромом, [math]b^n=1[/math] - палиндром.

в) Все двузначные палиндромы, очевидно, имеют вид [math]11a[/math], [math]1\leq a\leq9[/math]. Пусть первый палиндром равен [math]11\alpha[/math] , второй [math]11\beta[/math], тогда их сумма - [math]11(\alpha+\beta)<200[/math] . Среди трехзначных чисел, меньших 200, все палиндромы имеют вид [math]1y1[/math], где [math]y[/math] - цифра. На 11 из них делится только 121. Значит суммой двузначных палиндромов, являющейся палиндромом, может быть одно из чисел 33,55,.....,121, то есть одно из чисел [math]11t.\;3\leq t\leq11,\;t[/math] - нечетно. Для каждого [math]t[/math] найдем количество его представлений в виде суммы [math]\begin{array}{l}t=\alpha+\beta,\;(\alpha\neq\beta).\\\end{array}[/math]

Если [math]\begin{array}{l}t=\alpha+\beta\\\end{array}[/math], то [math]\begin{array}{l}\alpha=1,...,t-1\\\end{array}[/math], при этом [math]\begin{array}{l}\alpha\neq\beta\\\end{array}[/math], так как [math]t\;[/math] нечетно. То есть для каждого [math]t\;-(t-1)[/math] способов. Тогда искомое число вариантов равно [math]2+4+6+8+10=30[/math].

Однако при таком подсчете для [math]t=11[/math] мы посчитали два лишних представления [math](121=110+11=11+110)[/math], так как число [math]110[/math] не является палиндромом. Значит, всего 30-2=28 вариантов.

Ответ: а) 648; б) да; в) 28.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

509 108
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель