Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 3

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю расходуется 3350 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на одну неделю?

2
2

На рисунке 30 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших на Незнайке со 2 по 14 марта 1972 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 4 мм осадков.

Вариант 3

3
3

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Вариант 3

4
4

Вероятность того, что электронная книга прослужит больше трёх лет, равна 0,86. Вероятность того, что она прослужит больше пяти лет, равна 0,72. Найдите вероятность того, что она прослужит меньше пяти лет, но больше трёх.

5
5

Найдите корень уравнения

[math]\sqrt[3]{x-7}=-2[/math]

6
6

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

7
7

На рисунке 32 изображён график у = f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (—3;3). Найдите точку минимума функции f(x).


Вариант 3

8
8

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все рёбра увеличить в 1,5 раза?

9
9

Найдите значение выражения [math]\log_5125\times\log_3243[/math]

10
10

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение у = 0,008x2 — 0,96x + 45, где x и у измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 40 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Вариант 3

11
11

Заказ на 450 деталей один рабочий выполняет на 15 часов быстрее второго. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 15 деталей больше?

12
12

Найдите точку максимума функции [math]y=13^{1+8x-2x^2}[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]2^{x+3}-3^{x^2+2x-6}=3^{x^2+2x-5}-2^x[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (0; 3].


Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}2^{x+3}+2^x=3^{x^2+2x-5}+3^{x^2+2x-6}\\2^x(2^3+1)=3^{x^2+2x-6}(1+3)\\2^x\times9=3^{x^2+2x-6}\times4\\2^{x-2}=3^{(x-2)(x+4)}\end{array}[/math]

Прологарифмируем обе части уравнения при основании, равном 2.

[math]\begin{array}{l}\log_22^{x-2}=\log_23^{(x-2)(x+4)}\\(x-2)\log_22=(x-2)(x+4)\log_23\\(x-2)(1-(x+4))\log_23)=0\\x=2;\;x=\log_32-4\end{array}[/math]

б) [math]2\in(0;3\rbrack[/math] [math]0<\log_22\;\log_32-4\not\in\;(0;3\rbrack[/math]

Ответ: а) 2; [math]\log_32-4[/math] б) 2.

14

В основание цилиндра высотой 24 и радиусом основания 8 вписан тупоугольный треугольник АВС, в котором ВС = 12, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, перпендикулярной плоскостям BB1C1C и А1ВС и проходящей через точку А, если АА1, BB1 и CC1 — образующие цилиндра

б) Найдите величину угла между плоскость B1BC и A1BC.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть [math]O[/math] и [math]O_1[/math] - центры оснований цилиндра, тогда [math]F[/math] и [math]F_1[/math] - середины хорд [math]BC[/math] и [math]B_1C_1[/math] соответственно (см. рисунок). Покажем, что [math]AFF_1[/math] - искомая плоскость. [math]A_1F[/math] - медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника [math]A_1BC[/math]. [math]FF_{1\;}\parallel\;BB_1[/math], значит, [math]FF_{1\;}\perp\;(ABC)[/math] и, в частности, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math]. Итак, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math] и [math]A_1F\;\perp\;BC[/math], тогда [math](AFF_1)\perp BC[/math], откуда [math](AFF_1)\perp A_1BC[/math] и [math](AFF_1)\perp BB_1C_1C[/math]. Сечением призмы [math]ABCA_1B_1C_1[/math] плоскостью [math]AFF_1[/math] является прямоугольник [math]ADD_1A_1[/math]

б) Угол между плоскостями [math]B_1BC[/math] и [math]A_1BC[/math] - это угол [math]A_1FF_1:[/math]

Вариант 3

[math]A_1F\;\in\;(A_1BC)[/math], [math]FF_1\;\in\;(B_1BC)[/math]. [math]\bigtriangleup A_1CB\;[/math] - равнобедренный, [math]\;A_1F\perp BC,[/math], [math]B_1BCC_1[/math] - прямоугольник, [math]FF_1\;\parallel\;BB_1[/math] и [math]FF_1\;\perp\;BC[/math], отсюда [math]\angle A_1FF_1[/math] - линейный угол двугранного угла между плоскостями [math]A_1CB[/math] и [math]B_1BC[/math].

Из [math]\bigtriangleup A_1FF_1[/math] [math]\angle A_1F_1F=90^\circ[/math] [math]tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}[/math]; [math]A_1F_1=AF;\;AF=AO-FO.[/math]

Из [math]\bigtriangleup OFC[/math], где [math]\angle OFC=90^\circ[/math], [math]FC=6,[/math], найдем [math]FO=\sqrt{OC^2-FC^2}=2\sqrt7[/math]. [math]AF=8-2\sqrt7.[/math]

[math]tg\angle A_1FF_1=\frac{8-2\sqrt7}{24}=\frac{4-\sqrt7}{12}[/math]

[math]\angle A_1FF_1=arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

Ответ: [math]arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\log_\frac13\frac{x-4}{x+4}-\log_\frac{x+4}{x-4}3>0,\\4\times5^{\sqrt[4]x+\sqrt x}\geq25^\sqrt x-25^{\sqrt[4]x+\frac12}\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\frac{x-4}{x+4}>0\\x\geq0\end{array}\\\frac{x+4}{x-4}\neq1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x4\\x\geq0\end{array}\\x\neq4\end{array}\right.x>4[/math]

Решим каждое неравенство отдельно.

1) [math]\begin{array}{l}\log_\frac13\frac{x-4}{x+4}-\log_\frac{x+4}{x-4}3>0,\\\log_3\frac{x+4}{x-4}-\frac1{\log_3{\displaystyle\frac{x+4}{x-4}}}>0,\\\frac{\log_3^2\frac{x+4}{x-4}-1}{\log_3\frac{x+4}{x-4}}>0\end{array}[/math]

Обозначим [math]\log_3\frac{x+4}{x-4}=t[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac{t^2-1}t>0\\\frac{(t-1)(t+1)}t>0\\\left\{\begin{array}{l}t>0\\-1<t1\\-1<\log_3\frac{x+4}{x-4}4\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{x+4}{x-4}>3\\\frac13<\frac{x+4}{x-4}4\end{array}\right.4<x<8.[/math]

2) [math]4\times5^\sqrt[4]x\times5^\sqrt x\geq(5^\sqrt x)^2-5^{2\sqrt[4]x+1}[/math], обозначим [math]5^\sqrt[4]x=n,\;\;5^\sqrt x=m.[/math]

[math]4mn\geq m^2-5n^2,\;5n^2+4mn-m^2\geq0[/math] [math](5n-m)(n+m)\geq0[/math]. [math]n+m>0[/math], тогда[math]5n-m\geq0[/math] или [math]5\times5^\sqrt[4]x-5^\sqrt x\geq0,\;\frac{1-\sqrt5}2\leq\sqrt[4]x\leq\frac{1+\sqrt5}2[/math]

Так как [math]x\geq0[/math], то [math]0\leq\sqrt[4]x\leq\frac{1+\sqrt5}2[/math]. [math]0\leq x\leq\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}[/math]

3) [math]\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}\in(4;8)[/math]

[math]x\in\;(4;\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}\rbrack[/math]

Ответ: [math](4;\frac{\left(1+\sqrt5\right)^4}{16}\rbrack[/math]

16

В равнобедренную трапецию вписана окружность.

а) Докажите, что диаметр окружности есть среднее пропорциональное между параллельными сторонами.

б) Найдите радиус этой окружности, если площадь трапеции равна 52, а параллельные стороны относятся как 3 : 5.

Показать ответ

Решение:

а) Требуется доказать, что [math]EM^2=BC\times AD.[/math]

[math]ABCD[/math] - равнобедренная трапеция, [math]AB=DC[/math]

[math]CK\perp AD;\;CK=EM.[/math]

[math]\bigtriangleup CDK:\;\angle CDK=90^\circ,\;CK^2=CD^2-KD^2.[/math]

Учитывая, что четырехугольник [math]ABCD[/math] - описан, имеем [math]AB+CD=BC+AD,\;2AB=BC+AD[/math][math]AB=\frac{BC+AD}2[/math]

[math]CK^2=\left(\frac{AD+BC}2\right)^2-\left(\frac{AD-BC}2\right)^2;[/math]

Вариант 3

[math]CK^2=\left(\frac{AD+BC}2-\frac{AD-BC}2\right)\times\left(\frac{AD+BC}2+\frac{AD-BC}2\right)=BC\times AD.[/math]

[math]CK^2=BC\times AD,\;EM^2=BC\times AD.[/math] Что и требовалось доказать.

б) [math]\begin{array}{l}S_{TP}=\frac{AD+BC}2\times CK=\frac{AD+BC}2\times EM\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac{BC}{AD}=\frac35\\\end{array}[/math]. Пусть [math]\begin{array}{l}BC=3x\\\end{array}[/math], тогда [math]\begin{array}{l}AD=5x\\\end{array}[/math] [math]\begin{array}{l}BC+AD=8x\\\end{array}[/math],[math]\begin{array}{l}EM^2=3x\times15x=15x^2\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}EM=x\sqrt{15}\\\end{array}[/math]

Поставим в формулу площади трапеции:

[math]\begin{array}{l}52=\frac{8x\times x\sqrt{15}}2\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}x^2=\frac{13\sqrt{15}}{15}\\\end{array}[/math].

[math]\begin{array}{l}EM^2=15\times\frac{13\sqrt{15}}{15}=13\sqrt{15}\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}EM=\sqrt{13\sqrt{15}}=2OM\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}OM=\frac{\sqrt{13\sqrt{15}}}2\\\end{array}[/math]

17

Цех сборки может выпускать 50 мотоциклов и 150 скутеров в день. Отдел технического контроля в день может проверить не более 75 изделий. Мотоцикл в полтора раза дороже скутера. Сколько мотоциклов и сколько скутеров нужно выпускать в сутки, чтобы общая стоимость продукции была наибольшей и все изделия были проверены отделом технического контроля?

Показать ответ

Обозначим цену мотоцикла [math]M[/math] рублей, цену скутера [math]C[/math] рублей. Пусть выпустили [math]x[/math] мотоциклов, тогда скутеров выпустили [math]75-x[/math] штук. Известно, что [math]M=1,5C.[/math]

Общая стоимость продукции равна [math]x\times M+(75-x)C[/math] или [math]x\times1,5C+(75-x)C=0,5xC+75C[/math]. Видим, что стоимость линейно зависит от числа выпущенных мотоциклов, она наибольшая, если [math]x[/math] наибольшее. Цех сборки может выпустить максимум 50 мотоциклов, тогда скутеров он выпустит 25.

Ответ: 50 мотоциклов и 25 скутеров.

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение [math]\left(\frac{3a-2}3\right)\sin4x+\frac{2a}3-1+\cos^24x=0[/math]имеет ровно три корня, расположенных на отрезке [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}4;\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

Решение:

[math]\left(\frac{3a-2}3\right)\sin4x+\frac{2a}3-1+\cos^24x=0;[/math]

[math]\left(\frac{3a-2}3\right)\sin4x+\frac{2a}3-\sin^24x=0;[/math]

[math]\sin4x=t,\;\;\;\;\;-t^2+\frac{3a-2}3t+\frac{2a}3=0;[/math]

[math]t^2-\frac{3a-2}3t-\frac{2a}3=0;[/math] [math]t=\frac{(3a-2)\pm(3a+2)}6[/math]

[math]t_1=-\frac23,\;t_2=a[/math]

Вариант 3

1) [math]\sin4x=-\frac23[/math]; 2) [math]\sin4x=a[/math].

Уравнение [math]\sin4x=a[/math] имеет на отрезке [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}4;\mathrm\pi\right][/math] один корень при [math]a=-1[/math] и уравнение [math]\sin4x=-\frac23[/math] имеет на [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}4;\mathrm\pi\right]\;[/math] два корня (см. рисунок)

Ответ: -1

19

Бесконечную последовательность b1, b2, b3 , ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n b1 + b2 + ...+ bn—1 < bn.

а) Существует ли особенная последовательность, у которой все члены меньше 2015?

б) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая геометрическая прогрессия {сn}, что bn — сn < 2015 для всех n?

в) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая арифметическая прогрессия {аn}, что bn — аn < 2015 для всех n?

Показать ответ

Решение:

а) Нет, не существует. Предположим противное: пусть [math]\left\{b_n\right\}[/math] - искомая особенная последовательность. Ясно, что [math]b_2>b_1,\;b_3>b_1+b_2>2b_1[/math], [math]\;b_4>b_1+b_2+b_3>3b_1[/math], так как любой [math]b_j>b_1[/math] при [math]j\neq1[/math]. Таким образом [math]b_n>b_1+...+b_{n-1}>(n-1)b_1[/math] при [math]n>1[/math]. Тогда [math](n-1)b_1<2015,\;n<\frac{2015}{b_1}+1,[/math] что неверно, так как [math]n[/math] - произвольное натуральное число.

б) Да, существуют. Приведем пример.

Пусть [math]b_n=c_n=2^n.[/math]. Тогда [math]b_1+...+b_{n-1}=1+...+2^{n-1}=2^n-1<b_n[/math], [math]b_n-c_n=0<2015[/math]

в) Нет, не существуют. Предположим противное. Пусть [math]\left\{b_n\right\}[/math] и [math]\left\{a_n\right\}[/math] - последовательности, удовлетворяющие условию.

Пусть [math]d[/math] - разность арифметической прогрессии [math]\left\{a_n\right\}[/math]. Тогда [math]b_n-a_n>b_1+b_2+...+b_{n-1}-a_1-(n-1)d=[/math] [math]-a_1+(b_1-d)+(b_2-d)+...+(b_{n-1}-d).[/math]

Так как [math]b_n>nb_1[/math], то найдется такое [math]n_0[/math], что при [math]n>n_0\;b_n>d+1.[/math]

Обозначим [math]-a_1+(b_1-d)+...+(b_{n_0}-d)=k[/math] - фиксированное число. Пусть [math]n>n_0+1[/math]. Тогда [math]b_n-a_n>k+n-n_0-1[/math] и [math]k+n-n_0-1<2015[/math], то есть [math]n<2016+n_0-k[/math], что неверно, так как [math]n[/math] - произвольное натуральное число.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

794 574
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель