Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 4

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Выпускники 9 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из трёх роз каждому учителю и из пяти роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 12 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 55 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

2
2

На диаграмме показано распределение продаж чайных кружек за месяц в 10 магазинах .Среди представленных магазинов первое место по продаже чайных кружек занимает магазин Е, а десятое — И. Какое место занимает магазин Д?

Вариант 4

3
3

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (3; 8), (10; 8), (12; 11)

Вариант 4

4
4

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,7°, равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,7° или выше.

5
5

Решите уравнение [math]x=\frac{12-6x}{x-5}[/math]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

6
6

АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 27°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

7
7

На рисунке изображен график y= f`(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-4,5; 5). Найдите точку максимума функции f(x)

8
8

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 20. Найдите его объём.

9
9

Найдите значение выражения [math]y=\frac{9\sqrt x-5}{\sqrt x}+\frac{5\sqrt x}x[/math] при [math]x>0[/math]

10
10

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 150 — 25р. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q ∗ p. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка r(р) составит не менее 104 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

11
11

Первая труба наполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4,8 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

12
12

Найдите точку минимума функции [math]y=\sqrt{x^2-12x+93}[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]3\times4^x-7\times10^x+2\times25^x=0[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3].

Показать ответ

Решение:

а) [math]3\times2^{2x}-7\times2^x\times5^x+2\times5^{2x}=0[/math]

[math]3\times\frac{2^{2x}}{5^{2x}}-7\times\frac{2^x}{5^x}+2=0,\;\left(\frac25\right)^x=t,\;t>0[/math]

[math]3t^2-7t+2=0,\;t_1=2,\;t_2=\frac13[/math]

[math]\left(\frac25\right)^x=\frac13,\;x=\log_\frac25\frac13;\;\;\;\;\;\left(\frac25\right)^x=2,\;x=\log_\frac252[/math]

б) [math]\;\log_\frac252<0[/math]

[math]\log_\frac25\frac13\;\;\;\in\left[0;3\right][/math]

Ответ: а) [math]\log_\frac25\frac13\;[/math], [math]\log_\frac252[/math]; б) [math]\log_\frac25\frac13[/math]

14

В основание цилиндра высотой 60 и радиусом основания 15 вписан остроугольный треугольник АВС, в котором ВС = 10, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы АВСА1В1С плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярную плоскостям СВВ1и ВА1С, если АА1, ВВ1и СС1 — образующие цилиндра.

б) Найдите величину угла между плоскостями СВВ1 и ВА1С.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть [math]O[/math] и [math]O_1[/math] - центры оснований цилиндра, тогда [math]F[/math] и [math]F_1[/math] - середины хорд [math]BC[/math] и [math]B_1C_1[/math] соответственно (см. рисунок) . Покажем, что [math]AFF_1[/math] - искомая плоскость. [math]A_1F[/math] - медиана, значит, и высота равнобедренного треугольника [math]A_1BC[/math]. [math]FF_1\parallel BB_1[/math], значит, [math]FF_1\perp(ABC)[/math] и, в частности, [math]FF_1\perp BC[/math]. Так как [math]FF_1\perp BC[/math] и [math]A_1F\perp BC,\;[/math] [math](AFF_1)\perp BC,\;[/math], откуда [math](AFF_1)\perp A_1BC\;[/math] и [math](AFF_1)\perp BB_1C_1C\;[/math]. Сечением призмы [math]ABCA_1B_1C_1[/math] плоскостью [math]AFF_1[/math] является прямоугольник [math]AFF_1A_1[/math]

б) Угол между плоскостями [math]CA_1B[/math] и [math]CBB_1[/math] - это угол [math]\angle A_1FF_1[/math]

[math]\bigtriangleup A_1FF_1[/math] - прямоугольный, [math]tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}[/math]

[math]\bigtriangleup ABC[/math] - равнобедренный (по условию), [math]CF=\frac{BC}2=5[/math]

[math]\bigtriangleup COF[/math] - прямоугольный, [math]OF=\sqrt{CO^2-CF^2}=\sqrt{15^2-5^2}=10\sqrt2[/math]

[math]AF=AO+OF=15+10\sqrt2=5(3+2\sqrt2)[/math][math]AF=A_1F_1[/math]

[math]tg\angle A_1FF_1=\frac{5(3+2\sqrt2)}{60}=\frac{3+2\sqrt2}{12}[/math]

Вариант 4

Ответ: [math]arctg\;\frac{3+2\sqrt2}{12}[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52,\\2\log_\frac12(x-2)-\log_\frac12(x^2-x-2)\geq1.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1)[math]4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52[/math]

[math]2^{2(x-1)}=4^{x-1}=\frac{4^x}4;[/math][math]8^{\frac23(x-2)}=4^{x-2}=\frac{4^x}{16};[/math]

[math]4^x-\frac{4^x}4+\frac{4^x}{16}>52,\frac{13}{16}4^x>52,\;x>3,\;x\in\left(3;+\infty\right)[/math]

2) ОДЗ: [math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\x^2-x-2>0\end{array}\right.x>2\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_\frac12\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\geq1\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)}{(x+1)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-5)}{2(x+1)}\leq0\\\end{array}[/math].

Вариант 4

[math]\begin{array}{l}x\in(-1;5\;\rbrack\\\end{array}[/math], с учетом ОДЗ [math]\begin{array}{l}x\in(2;5\;\rbrack\\\end{array}[/math]

3) [math]\begin{array}{l}(2;5\;\rbrack\cap(3,+\infty)=\;(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}x\in(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

16

К окружности с центром О проведены три касательные ,две из которых АС и BD-параллельны А и В -точки касания. Третья касательная пересекает их в точках C и D соответственно, а также касается окружности в точке F.


а) Докажите ,что произведение отрезков касательных ,отсекаемых третьей касательной на двух параллельных касательных ,равно квадрату радиуса т.е. AC ∗ BD = AO2

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BD=12, 
∠BDF=120°

Показать ответ

Решение:

а) Доказать, что [math]\begin{array}{l}AC\times BD=AO^{2\;}\\\end{array}[/math] (см. рисунок)

[math]\begin{array}{l}ABCD\;\\\end{array}[/math] - прямоугольная трапеция, так как[math]\begin{array}{l}AB\perp AC,\;AB\perp BD.\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}CO\\\end{array}[/math] - биссектриса [math]\begin{array}{l}\angle ACF\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}DO\\\end{array}[/math] - биссектриса [math]\begin{array}{l}\angle BDF\\\end{array}[/math]

Тогда [math]\angle COD=90^\circ[/math], на основании теоремы о биссектрисах внутренних односторонних углов при параллельных прямых [math]AC\parallel BD[/math] и секущей [math]CD[/math]. [math]OF\perp CD[/math]. Высота [math]OF[/math], проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, то есть [math]OF^2=CF\times FD[/math]. [math]OF=OA[/math] (как радиусы), [math]CF=AC[/math], [math]FD=BD[/math] (как отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки).

[math]OA^2=AC\times BD[/math], что и требовалось доказать.

[math]S_{ABDC}=\frac12(AC+BD)\times AB.[/math]. В силу того, что [math]AB=2AO,[/math][math]AC=BD=CF+FD=CD[/math], получаем [math]S_{ABDC}=AO\times CD[/math]

[math]\bigtriangleup BOD[/math]: [math]\angle OBD=90^\circ;[/math][math]\angle ODB=60^\circ;[/math][math]OB=12tg60^\circ=12\sqrt3[/math]

[math]\bigtriangleup AOC:[/math][math]\angle OAC=90^\circ[/math][math]\angle OCA=30^\circ[/math]

[math]AC=OA\times ctg(30^\circ)=12\sqrt3\sqrt3=36[/math]

[math]CF=AC=36,\;FD=BD=12[/math] [math]CD=36+12=48[/math]

[math]S_{ABDC}=12\sqrt3\times48=576\sqrt3[/math]

Ответ: [math]576\sqrt3[/math]

Вариант 4
17

Производительность первого цеха завода не более 730 произведённых телевизоров в сутки.

Производительность второго цеха завода до реконструкции составляла 75% от производительности первого цеха. После реконструкции второй цех увеличил производительность на 20% и стал выпускать более 640 телевизоров в сутки.

Найдите, сколько телевизоров в сутки выпускает второй цех после реконструкции, если оба цеха выпускают в сутки целое число телевизоров

Показать ответ

Решение:

Пусть первый цех в сутки выпускает [math]x[/math] телевизоров, тогда до реконструкции второй цех выпускал [math]0,75x[/math] телевизоров, при этом [math]0,75x\in\mathbb{N}[/math] и [math]x\in\mathbb{N}[/math], значит [math]x[/math] - кратно 4.

После реконструкции второй цех стал выпускать [math]0,75x\times1,2=0,9x[/math] телевизоров, при этом [math]0,9x\in\mathbb{N}[/math], значит [math]x[/math] кратно 10.

Таким образом [math]x[/math] кратно 20.

По условию [math]x\leq730[/math] и [math]0,9x>640[/math] или [math]x>711[/math]

Число, кратное 20 и [math]711<x\leq730[/math], это число [math]720[/math]. Второй цех после реконструкции стал выпускать [math]720\times0,9=648[/math] телевизоров в сутки.

Ответ: 648

18

При каких значениях а уравнение [math]\left(\frac{2a+1}2\right)\sin3x+\cos^23x-1=\frac a2[/math] имеет ровно 3 корня, расположенных на отрезке [math]\left[\frac{4\mathrm\pi}3;\frac{5\mathrm\pi}3\right][/math]?

Показать ответ

Решение:

[math]\frac{2a+1}2\sin3x-\frac a2-\sin^23x=0,[/math], пусть [math]\sin3x=t,\;\;-1\leq t\leq1[/math]

[math]t_1=\frac12,\;t_1=a.[/math]

1) [math]\sin3x=\frac12,[/math] 2) [math]\sin3x=a.[/math]

Вариант 4

При [math]a=1[/math] данное уравнение имеет ровно три корня на отрезке [math]\left[\frac{4\mathrm\pi}3;\frac{5\mathrm\pi}3\right].[/math]

Ответ: а=1

19

Бесконечную последовательность b1, b2, b3, ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n bn > b1 + b2 + ... +b n—1

а) Может ли арифметическая прогрессия быть особенной последовательностью?

б) Может ли сумма цифр каждого члена особенной последовательности быть меньше 5?

в) Может ли для всех n выполняться неравенство [math]\frac{b_1+b_2+_\cdots+b_n}n\leq2015[/math]

Показать ответ

Решение:

а) Нет, не может. Предположим противное. Тогда найдется особенная последовательность [math]\left\{b_n\right\}[/math], для которой [math]b_n=b_{n-1}+d[/math] для некоторого натурального [math]d[/math], то есть [math]b_n-b_{n-1}>b_1+...+b_{n-2}>(n-2)b_1[/math], так как любой [math]b_j>b_{j-1}>...>b_1[/math] при [math]j\neq1.[/math]

Таким образом [math]d\geq(n-2)b_1,\;n\leq\frac d{b_1}+2[/math], что неверно в силу того, что [math]n[/math] - любое натуральное число, а [math]d[/math] и [math]b_1[/math] фиксированы.

б) Да, может. Приведем привер. Пусть [math]b_n=10^n[/math]. Сумма цифр любого [math]b_n[/math] равна 1, а [math]b_1+b_2+...+b_{n-1}=10+100+...+10^{n-1}=\frac{10^n-10}9<10^n[/math]

Предположим, что такая особенная последовательность существует, тогда, по условию задачи, имеем [math]b_2>b_1,[/math][math]b_3>b_1+b_2>2b_1,[/math][math]b_n>(n-1)b_1.[/math]

Значит, должно выполняться неравенство: [math]\frac{b_n}n(1+\frac{(n-1)n}2)<2015[/math], [math]\frac1n+\frac{n-1}2<\frac{2015}{b_1}[/math], которое неверно, поскольку [math]b_1[/math] фиксировано, а [math]n[/math] - произвольное натуральное число. Получили противоречие. Следовательно, такой последовательности не существует.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

672 149
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель