Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 5

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

По тарифному плану «Бессонный» интернет-провайдер каждый вечер снимает со счёта абонента 26 рублей. Если на счету осталось меньше 26 рублей, то на следующее утро интернет блокируется до пополнения счёта. Сегодня утром у Алексея на счету 800 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) он сможет пользоваться интернетом, не пополняя счёт?

2
2

На рисунке 40 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Дождевске со 2 по 14 марта 1972 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

Вариант 5

3
3

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Вариант 5

4
4

Из множества чисел от 20 до 29 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 4?

5
5

Решите уравнение [math]\frac{28}{x^2-36}=1[/math]. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6
6

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите тупой угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Вариант 5

7
7

На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (—6; 9). Найдите промежутки возрастания f(x). В ответе укажете длину наибольшего из них.

Вариант 5

8
8

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12 π, а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{104\sin17^\circ\times\cos17^\circ}{\sin34^\circ}[/math]

10
10

При быстром вращении ведёрка с водой вода из него не будет выливаться. При этом сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет неотрицательной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления P может быть равной нулю и выражается формулой [math]P=m\left(\frac{\nu^2}L-g\right)[/math], где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (g = 10 м/с ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,729 м?

11
11

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 75 км/ч и 60 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 1000 м. Найдите длину товарного поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 9 минутам. Ответ дайте в метрах.

12
12

Найдите точку максимума функции [math]y=\log(-x^2+4x+5)+2[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]6\cos^2(x-\frac{3\mathrm\pi}2)-3\sqrt2\sin\;x=0[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

Решение:

а)[math]6\sin^2x-3\sqrt2\sin x=0[/math]

[math]6\sin x(\sin x-\frac{\sqrt2}2)=0[/math]

[math]\sin x=0[/math] или [math]\sin x=\frac{\sqrt2}2[/math]

[math]x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]; [math]x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4\mathrm k,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]x\in\left[\frac{-5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi\right][/math]

[math]\begin{array}{l}n=1;\;x=-\mathrm\pi\\\mathrm n=-2;\;\mathrm x=-2\mathrm\pi\\\mathrm k=-1;\;\mathrm x=-\frac{5\mathrm\pi}4\\\mathrm k=-2;\;\mathrm x=-\frac{7\mathrm\pi}4\end{array}[/math]

Ответ: а)[math]x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4\mathrm k,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}[/math], [math]x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]

б)[math]-\mathrm\pi;-2\mathrm\pi;-\frac{5\mathrm\pi}4;-\frac{7\mathrm\pi}4.[/math]

14

Радиус основания конуса с вершиной Р равен 8, а длина его образующей равна 12. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 2 : 4.

а) Найдите площадь сечения конуса плоскостью РАВ.

б) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно основанию конуса и плоскости АВР.

Показать ответ

Решение:

a) В [math]\bigtriangleup ABC\;OA=OB=8[/math] (см. рисунок)

[math]\begin{array}{l}\overset\frown{AB}:\overset\frown{ACB}=2:4\\\overset\frown{AB}=360^\circ:6\cdot2=120^\circ;\;\angle AOB=120^\circ\\AB^2=OB^2+OA^2-2OB\times OA\times\cos\angle AOB\\AB^2=192;\;AB=8\sqrt3\\S_{\bigtriangleup PAB}=\frac12PH\times AB\end{array}[/math]

Вариант 5

В [math]\bigtriangleup PHA\;\angle PHA=90^\circ,[/math][math]PH=12,\;AH=\frac12AB=4\sqrt3.[/math] [math]PH^2=PA^2-AH^2=144-48=96[/math][math];\;\;PH=4\sqrt6[/math]

[math]S_{\bigtriangleup PAB}=\frac12AB\times PH=48\sqrt2[/math]

б) Искомое сечение - плоскость [math]PHO.[/math] Действительно, [math]OH\perp AB[/math] и [math]PH\perp AB[/math], значит [math]AB\perp PHO[/math]. Так как плоскость основания и плоскость [math]PAB[/math] содержит прямую AB, то обе эти плоскости перпендикулярны плоскости [math]PHO[/math].

Ответ: [math]48\sqrt2[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}25^\frac x2+\frac{20}{5^x}\geq9,\\\log_{x+5}\left(\frac{x+2}5\right)\leq0.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1) [math]5^x+\frac{20}{5^x}-9\geq0.[/math]

[math]\frac{(5^x)^2-9\times5^x+20}{5^x}\geq0,\;5^x=t,\;t>0[/math]

[math]\frac{t^2-9t+20}t\geq0[/math]

[math]\frac{(t-4)(t-5)}t\geq0[/math]

Вариант 5

[math]0<t\leq4;\;t\geq5[/math]

[math]0<5^x\leq5^{\log_54};\;5^x\geq5^1[/math]

[math]x1[/math]

2) [math]\log_{x+5}(\frac{x+2}5)\leq\log_{x+5}1[/math]

а) [math]\left\{\begin{array}{l}x+5>1\\0-4\\0-4\\-2<x\leq3\end{array}\right.[/math] [math]-2<x\leq3[/math]

б) [math]\left\{\begin{array}{l}0<x+5<1\\\frac{x+2}5\geq1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-5<x<-4\\x+2\geq5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-5<x<-4\\x\geq3\end{array}\right.x\in\varnothing[/math]

3) Решим систему [math]\left\{\begin{array}{l}x\leq\log_54,\;x\geq1\\-2<x\leq3\end{array}\right.\;\;\left\{\begin{array}{l}-2<x\leq\log_54\\1\leq x\leq3\end{array}\right.[/math]

Ответ: [math]\;(-2;\log_54\rbrack,\lbrack1;3\rbrack.[/math]

16

Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • DO.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Найдите радиус описанной вокруг трапеции окружности, если основания трапеции равны 6 и 8.

Показать ответ

Решение:

а) В трапеции [math]ABCD[/math] треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] подобны, поскольку [math]\angle OAD=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OBC[/math] как накрест лежащие при параллельных прямых [math]AD[/math] и [math]BC[/math] и секущих [math]AC[/math] и [math]BD[/math] соответственно (см. рисунок)

Вариант 5

Значит, [math]\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}[/math]. Умножая почленно это равенство на равенство [math]AO\times CO=BO\times DO[/math] из условия задачи, получим [math]AO^2=DO^2[/math]. Отсюда [math]AO=DO[/math], [math]BO=CO[/math] и треугольники [math]AOB[/math] и [math]DOC[/math] равны по первому признаку. Следовательно [math]AB=CD[/math]

б) Т.к. Трапеция [math]ABCD[/math] равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. обозначим ее радиус через [math]R[/math].

Треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] - равнобедренные и прямоугольные. Значит [math]\angle OAD=45^\circ[/math] и [math]CO=\frac{BC}{\sqrt2}[/math], [math]DO=\frac{AD}{\sqrt2}[/math]. По теореме синусов для треугольника ACD имеем: [math]\frac{CD}{\sin\angle CAD}=2R,\;R=\frac{CD}{\sqrt2}[/math]

[math]CD^2=CO^2+DO^2=\frac12(AD^2+BC^2)=50[/math]

Отсюда [math]CD=5\sqrt2[/math] и R=5

Ответ: 5

17

Заводы в США и России за февраль выпустили более 39 танков. Число танков, выпущенных в России, уменьшенное на 3, более чем в 4 раза превышает число танков, выпущенных в США. Утроенное число танков, выпущенных в России, превышает удвоенное число танков, выпущенных за февраль в США, но не более, чем на 85. Сколько танков выпустили за февраль на заводе в России?

Показать ответ

Решение:

Пусть за февраль на заводе в России выпустили [math]x[/math] танков, а в США - [math]y[/math] танков. По условию можно составить систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+y>39\\x-3>4y\end{array}\\3x-2y\leq85\end{array}\right.[/math]

При этом [math]x[/math] и [math]y[/math] - натуральные числа. Выразим одну из переменных во всех трех неравенствах:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>39-y\\x>4y+3\end{array}\\x\leq\frac{85+2y}3\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}39-y<x\leq\frac{85+2y}3\\4y+3<x\leq\frac{85+2y}3\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}117-3y<85+2y\\12y+9<85+2y\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}y>6,4\\y<7,6\end{array}\right.[/math]

[math]y=7[/math] - единственное целое решение. Подставим его в начальную систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+7>39\\x-3>28\end{array}\\3x-14\leq85\end{array}\right.[/math]

Так как [math]x[/math] - целое, то [math]x=33[/math]. В России на заводе за февраль выпустили 33 танка.

Ответ: 33

18

Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения [math]6\sqrt{x-1}+5\log_3(2x-1)+11a=0[/math] принадлежит отрезку [2 ; 5]

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим функцию [math]f(x)=6\sqrt{x-1}+5\log_3(2x-1).[/math] Она определена при [math]x\geq1[/math] и возрастает на всей области определения. Значит уравнение [math]f(x)+11a=0[/math] может иметь единственное решение (при соответствующих значениях параметра a). Это решение принадлежит отрезку [math]\left[2;5\right][/math] тогда и только тогда , когда [math]f(2)+11a0[/math]. Получаем систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{l}6+5+11a\leq0\\12+10+11a\geq0\end{array}\right.[/math], откуда:

[math]-2\leq a\leq-1[/math]

Ответ: [math]\left[-2;-1\right][/math]

19

а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 100 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Показать ответ

Решение:

а) Да. Например, 2015=2011+4.

б) Нет. Число 100 дает остаток 1 при делении на 9. Чтобы сумма двух чисел с одинаковой суммой цифр давала остаток 1 при делении на 9, оба числа должны давать остаток 5 при делении на 9. От 1 до 100 всего 11 таких чисел: 5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95. Из них никакие два различных с одинаковой суммой цифр не дают в сумме 100(у чисел меньших или равных 50, сумма цифр равна 5; у чисел, больших 50, сумма цифр - 14)

в) Пусть четыре различных натуральных числа имеют одинаковую сумму цифр. Это означает, что все они дают и тот же остаток при делении на 9. Таким образом, разность любых двух из них будет кратна 9 (и не может быть равной 0), следовательно, эти числа будут членами некоторой арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math] (не обязательно последовательными)

Наименьшее значение сумма этих чисел будет принимать в том случае, если у каждого из чисел будет минимально возможная разрядность (7 предпочтительнее с этой точки зрения, чем 25, а 25 , в свою очередь, предпочтительнее, чем 106). Тогда наименьшую сумму будут давать те числа, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math], начиная с однозначного (равного соответствующему остатку при делении на 9.)

Сумма цифр равна 1: 1+10+100+1000=1111

Сумма цифр равна 2: 2+11+20+101=134

Сумма цифр равна 3: 3+12+21+30=66

Сумма цифр равна 4: 4+13+22+31=70

Очевидно, что дальше сумма будет только возрастать, т.к. если [math]r[/math] - наименьшее из данных чисел, то из сумма будет [math]r+(r+9)+(r+18)+(r+27)=4r+54>66[/math] при [math]r\geq4[/math]

Итак, наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, является [math]66[/math].

Ответ а) да; б) нет; в) 66.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

789 604
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель