Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 6

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Астры стоят 25 рублей за штуку. У Вани есть 170 рублей. Из какого наибольшего числа астр он может купить букет маме на день рождения?

2
2

В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал багажа по транспортёрной ленте. При проектировании транспортёра необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортёра. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортёра к горизонту при расчётной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъёма в градусах, на оси ординат — сила натяжения транспортёрной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 160 кгс? Ответ дайте в градусах.

3
3

Прямая а проходит через точки с координатами (0; 3) и (10; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; 12) и параллельно прямой а. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ох

4
4

При изготовлении подшипников диаметром 82 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм равна 0,972. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 81,99 мм, или больше, чем 82,01 мм.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\sqrt{\frac8{6x-96}}=\frac19[/math]

6
6

В треугольнике ABC дано: AB = BC = 10, [math]AC=2\sqrt{19}[/math]. Найдите sin A.

7
7

На рисунке 47 изображен график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1, x2, ... x9. Сколько из этих точек лежат на промежутках возрастания функции f(x)?

8
8

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 18. Найдите объём цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения: [math]\sqrt{182^2-70^2}[/math]

10
10

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 48 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 Ом и R2 Ом их общее сопротивление задаётся формулой [math]R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}[/math](Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 16 Ом. Ответ выразите в омах.

11
11

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 20 км/ч меньшей, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=\frac34x^\frac43-2x+2[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\frac1{\cos^2x}+\frac1{\cos x}-2=0[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-5\mathrm\pi;-\frac{7\mathrm\pi}3\right][/math]

Показать ответ

Решение:

а) Обозначим [math]\cos x=t,\;-1\leq t\leq1,\;t\neq0[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac1{t^2}+\frac1t-2=0\\\left\{\begin{array}{l}-2t^2+t+1=0\\t\neq0\end{array}\right.\\t_1=-\frac12;\;t_2=1.\\\cos x=-\frac12;\;\cos x=1.\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}x=\pm\frac{2\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\\mathrm x=2\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}[/math]

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-5\mathrm\pi;-\frac{7\mathrm\pi}3\right][/math]

[math]\begin{array}{l}n=-1,\;x_1=-\frac{8\mathrm\pi}3;\\n=-2,\;x_2=-\frac{10\mathrm\pi}3;\\n=-2,\;x_3=-\frac{14\mathrm\pi}3;\\k=-2,\;x_4=-4\mathrm\pi.\end{array}[/math]

14

В треугольной пирамиде FABC основанием является правильный треугольник АВС, ребро FB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро FA равно 10. На ребре АС находится точка К, на ребре АВ — точка N, а на ребре AF — точка L. Известно, что FL = 4 и СК = BN = 2.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки К, N и L

б) Найдите площадь этого сечения

Показать ответ

Решение:

Так как [math]FB\;\perp\;(ABC)[/math], то [math]FB\;\perp\;AB[/math] и [math]FB\;\perp\;BC[/math] (см. рисунок).

Из прямоугольных треугольников [math]FAB[/math] и [math]FBC[/math] получим [math]FB=\sqrt{AF^2-AB^2}=8,\;FC=\sqrt{FB^2+BC^2}=10[/math]

[math]\cos\angle FAB=\frac{AB}{AF}=0,6[/math], тогда из [math]\bigtriangleup ANL[/math] по теореме косинусов [math]NL^2=AN^2+AL^2-2AN\times NL\times\cos\angle FAB=\frac{29}5\times4[/math]

Вариант 6

[math]NL=2\times\frac{\sqrt{29}}{\sqrt5}[/math]

Из [math]\bigtriangleup FAC[/math][math]\cos\angle FAC=\frac{AF^2+AC^2-FC^2}{2\times AF\times AC}=0,3[/math]

Из [math]\bigtriangleup ALK[/math] по теореме косинусов [math]LK^2=AL^2+AK^2-2AL\times AK\times\cos\angle FAC=\frac{47}5\times4[/math]

[math]LK=\frac{\sqrt{47}}{\sqrt5}\times2,\;NK=4.[/math]

[math]\cos\angle LNK=\frac{{\displaystyle\frac{4\times29}5}+16-{\displaystyle\frac{4\times47}5}}{2\times{\displaystyle\frac{2\sqrt{29}}{\sqrt5}}\times4}=\frac1{2\sqrt{145}}[/math]

[math]sin\angle LNK=\sqrt{1-\frac1{580}}=\frac{\sqrt{579}}{2\sqrt{145}}[/math]

[math]S_{KLN}=\frac12LN\times NK\times sin\angle LNK=0,4\sqrt{579}[/math]

Ответ: [math]0,4\sqrt{579}[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}2^x+\frac{22}{2^x}\geq13,\\x\log_{x+2}(5-2x)\leq0\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1) [math]2^x+\frac{22}{2^x}\geq13[/math]

Пусть[math]2^x=t,\;t>0[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}t+\frac{22}t-13\geq0\\t\geq0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}t^2-13t+22\geq0\\t>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}(t-11)(t-2)\geq0\\t>0\end{array}\right.[/math]

Вариант 6

[math]\begin{array}{l}0<t\leq2,\;t\geq11\\0<2^x\leq2,\;2^xt\geq11\\x\leq1,\;x\geq\log_211\end{array}[/math]

2) [math]\begin{array}{l}x\log_{x+2}(5-2x)\leq0\\x(\log_{x+2}(5-2x)-\log_{x+2}1)\leq0\end{array}[/math]

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+2>0\\x+2\neq1\end{array}\\5-2x>0\end{array}\right.[/math]

[math]x\in(-2;-1)\cup(-1;2,5)[/math]

На ОДЗ выражение [math]\log_{x+2}(5-2x)-\log_{x+2}1[/math] совпадает по знаку с выражением [math](x+2-1)(5-2x-1).[/math]

Получим [math]x(x+1)(4-2x)\leq0[/math], [math]x(x+1)(x-2)\geq0[/math], [math]x\in\lbrack-1;0\rbrack\cup\lbrack2;+\infty)[/math]

Учитывая ОДЗ, получим [math]x\in(-1;0\rbrack\cup\lbrack2;2,5)[/math]

Объединим полученные решения в систему.

[math]\left\{\begin{array}{l}x\in(-1;0\rbrack\cup\lbrack2;2,5);\\x\leq1,\;x\geq\log_211.\end{array}\right.[/math]

Так как [math]\log_211>\log_28=3[/math], то решением системы является промежуток [math](-1;0\rbrack[/math]

Ответ: [math](-1;0\rbrack[/math]

16

Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • DO.

а) Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте,

б) Найдите боковую сторону трапеции, если радиус описанной вокруг трапеции окружности равен 3√2

Показать ответ

Решение:

Из условия задачи следует, что [math]\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}[/math]. Следовательно, треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] подобны. (см. рисунок)

Вариант 6

С другой стороны, поскольку [math]ABCD[/math] - трапеция, то [math]\angle OAD=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OBC[/math] как накрест лежащие при параллельных прямых [math]AD[/math] и [math]BC[/math] и секущих [math]AC[/math] и [math]BD[/math]. Это значит, что [math]\angle OBC=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OAD[/math]. Таким образом, треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] - равнобедренные и прямоугольные.Следовательно [math]\angle OBC=\angle OCB=\angle OAD=\angle ODA=45^\circ[/math] и [math]AC=BD[/math]

[math]S_{ABCD}=\frac12AC\times BD=\frac12AC^2[/math]. Но [math]S_{ABCD}=\frac{BC+AD}2\times h[/math], где [math]h[/math] - высота трапеции. Поскольку [math]\angle CAD=45^\circ[/math], то [math]AC=h\sqrt2[/math]. Это означает, что [math]S_{ABCD}=h^2=\frac{BC+AD}2\times h[/math], отсюда [math]h=\frac{BC+AD}2[/math], что и требовалось доказать.

б) Так как [math]AO=DO[/math] и [math]BO=CO[/math], то треугольники [math]AOB[/math] и [math]DOC[/math] равны. Следовательно, [math]AB=CD[/math]. Таким образом, трапеция [math]ABCD[/math] - равнобедренная, а значит, вокруг нее можно описать окружность.

По теореме синусов для треугольника [math]ACD[/math]

[math]\frac{CD}{\sin\angle CAD}=2R,\;CD=R\sqrt2=6[/math]

Ответ: [math]6[/math]

17

Холдинг «Вертолёты России» планирует выпустить в первом квартале 20% годового плана, во втором — увеличить производство в 1,5 раза, в четвёртом выпустить 102 вертолёта. В третьем квартале, во время отпусков, как показывает статистика, выпускается половина от среднего арифметического количества выпускаемых вертолётов во втором и четвёртом кварталах. Какое количество вертолётов планируется выпустить холдингом в третьем квартале?

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]x[/math] вертолетов планируется выпустить за год. Тогда в первом квартале выпустят [math]0,2x[/math] вертолетов, во втором квартале [math]0,3x[/math], в третьем [math]\frac12\times\frac{0,3x+102}2[/math]. Составим и решим уравнение:

[math]\begin{array}{l}0,2x+0,3x+\frac{0,3x+102}4+102=x\\x=300\end{array}[/math]

[math]\frac{0,3\times300+102}4=48[/math] вертолетов планируется выпустить в третьем квартале.

Ответ: [math]48[/math]

18

Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения [math]2\sqrt{9-4x}-7\log_\frac12(2-\frac12x)-4a=0[/math] принадлежит отрезку [-4; 0].

Показать ответ

Рассмотрим функцию [math]f(x)=2\sqrt{9-4x}-7\log_\frac12(2-\frac12x)[/math]. Она определена при [math]x\leq\frac94[/math] и убывает на всей области определения. Значит, уравнение [math]f(x)-4a=0[/math] может иметь только единственное решение (при соответствующих значениях параметра [math]a[/math]). Это решение принадлежит отрезку [math]\lbrack-4;0\rbrack[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(-4)-4a\geq0;\;f(0)-4a\leq0[/math]. Получаем систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{l}10+14-4a\geq0\\6+7-4a\leq0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4a-24\leq0\\4a-13\geq0\end{array}\right.[/math]

Откуда [math]\frac{13}4\leq a\leq6[/math]

Ответ: [math]\left[\frac{13}4;6\right][/math]

19

а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 288 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Показать ответ

Решение:

а) Нет. Справедлив обобщенный признак делимости на 3, а именно: "Натуральное число дает при делении на 3 тот же остаток, что и сумма его цифр." Тогда сумма трех чисел с одинаковой суммой цифр будет обязательно делиться на 3, поскольку все эти числа будут давать один и тот же остаток при делении на 3. Но 2015 на 3 нацело не делится.

б) Да. Например, 288=240+33+15

в) Пусть шесть различных натуральных чисел имеют одинаковую сумму цифр. Тогда все они дают один и тот же остаток при делании на 9 и разность любых двух из них будет кратна 9 (и не может равняться 0). Это значит, что эти числа будут членами некоторой арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math] (не обязательно последовательными)

наименьшее значение сумма данных чисел будет принимать в том случае, если у каждого из чисел будет минимально возможная разрядность (5 предпочтительнее с этой точки зрения, например, чем 14, а 14, в свою очередь, предпочтительнее, например, чем 302). Тогда наименьшею сумму будут давать те числа, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math], начиная с однозначного (равного соответствующему остатку при делении на 9).

Сумма цифр равна 1:1+10 +100+1000+10000+100000=111111.

Сумма цифр равна 2: 2+11+20+101+110+200=444

Сумма цифр равна 3: 3+12+21+30+102+111=279

Сумма цифр равна 4: 4+13+22+31+40+103=213

Сумма цифр равна 5: 5+14+23+32+41+20=165

Сумма цифр равна 6: 6+15+24+33+42+51=171

Дальше сумма будет только возрастать, т.к. [math]r[/math] - наименьшее из данных чисел, то сумма всех шести будет не меньше

[math]r+(r+9)+(r+18)+(r+27)+(r+36)+(r+45)=6r+135>165[/math] при [math]r\geq6[/math]

Итак, наименьшим числом, которое можно представить в виде шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр является 165

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

647 463
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель