Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 6

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Флакон герметика для автомобиля стоит 180 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

2
2

В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал багажа по транспортёрной ленте. При проектировании транспортёра необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортёра. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортёра к горизонту при расчётной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъёма в градусах, на оси ординат — сила натяжения транспортёрной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 160 кгс? Ответ дайте в градусах.

Вариант 6

3
3

Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вариант 6

4
4

В люстре две одинаковые лампы. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,6. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\sqrt{\frac8{6x-96}}=\frac19[/math]

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, tg ВАС = [math]\frac{7\sqrt{15}}{15}[/math]. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

7
7

На рисунке изображён график у = f'(х) — производной функции f(х), определённой на интервале (—8; 15). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [1; 13].

Вариант 6

8
8

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 18. Найдите объём цилиндра.

9
9

Найдите значение выражения: [math]y=\frac{49x^2-25}{7x+5}-7x[/math]

10
10

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально, и на исследуемом интервале температура определяется по формуле T(t) = То + at + bt2, где t — время в минутах, То = 120 К, b = -1/4 K/мин2, а = 39,5 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1080 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

11
11

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 20 км/ч меньшей, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=x\sqrt x-5x+5[/math] на отрезке [math]\left[1;25\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sin^2Зx-2\;\sin\;6x\;+\;3\cos^2\;Зx=0[/math].

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[-1;1\right][/math].

Показать ответ

Решение:

[math]\sin^23x-4\sin3x\cos3x+3\cos^23x=0[/math]

а) Заметим, что при [math]\cos3x=0[/math] из основного тригонометрического тождества следует, что [math]\sin^23x=1[/math] и потому [math]\sin3x=\pm1[/math], а значит, уравнение превратится в неверное равенство. Разделим обе части на [math]\cos^23x[/math], получим [math]tg^2x-4tg3x+3=0[/math]. Сделаем замену [math]tg3x=t[/math], тогда [math]t^2-4t+3=0,\;t=1,t=3[/math]

[math]tg3x=1,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac{\mathrm{πk}}3,\;k\in\mathbb{Z}[/math]

[math]tg3x=3,\;x=\frac{arctg3}3+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]\begin{array}{l}k=0,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}\\k=-1,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}-\frac{\mathrm\pi}3=-\frac{\mathrm\pi}4\\n=0,\;x=\frac{arctg3}3\\n=1,\;x=\frac{arctg3}3-\frac{\mathrm\pi}3\end{array}[/math]

Ответ: а) [math]\frac{arctg3}3+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac{\mathrm{πk}}3,\;k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{\mathrm\pi}4,\;\frac{arctg3}3-\frac{\mathrm\pi}3,\;\frac{arctg3}3,\;\frac{\mathrm\pi}{12}[/math]

14

Высота усечённого конуса равна [math]\sqrt3[/math]. Прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 60°, и углом С, равным 90°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите АВ, если угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса равен 60°.

Показать ответ

Решение:

Угол между плоскостью [math]ABC[/math] и плоскостью основания усеченного конуса равен углу [math]CAC_1[/math], где [math]CC_1[/math] - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок)

Вариант 6

Действительно, плоскость [math]ABC[/math] пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой [math]BC[/math], а нижнего основания конуса по прямой [math]l[/math], значит [math]l\parallel BC[/math]. Так как [math]AC\perp BC[/math], то [math]AC\perp l[/math]. [math]AC_1[/math] - проекция [math]AC[/math] на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, [math]AC_1\perp l[/math] по теореме о трех перпендикулярах. В прямоугольном треугольнике [math]ACC_1[/math] [math]\frac{CC_1}{AC}=\sin\angle CAC_1[/math], откуда [math]AC=\frac{CC_1}{\sin\angle CAC_1}=\frac{\sqrt3}{\sin60^\circ}=2[/math]

В прямоугольном треугольнике [math]ABC[/math] катет [math]AC[/math] лежит напротив угла в [math]30^\circ[/math], следовательно гипотенуза [math]AB=2AC=4[/math]

Ответ: [math]AB=4[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\frac3{x-1}+\frac1{x+2}\leqslant\frac1{x-1}+\frac3{x+2},\\2\log_x3-3\log_3x\geqslant1.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

[math]\begin{array}{l}\frac3{x-1}+\frac1{x+2}\leq\frac1{x-1}+\frac3{x+2};\\\frac{3(x+2)+x-1}{(x-1)(x+2)}\leq\frac{x+2+3(x-1)}{(x-1)(x+2)};\\\frac6{(x-1)(x+2)}\leq0\\x\in(-2;1)\end{array}[/math]

Решим второе неравенство системы.

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}x>0\\x\neq1\end{array}\right.[/math]

Пусть [math]\log_3x=t[/math], тогда [math]\frac2t-3t\geq1[/math]; [math]\frac{-3t^2-t+2}t\geq0[/math]

решив уравнение [math]3t^2+t-2=0[/math], получим [math]t_1=-1;\;t_2=\frac23[/math], тогда рассматриваемое неравенство примет вид [math]\frac{3(t-{\displaystyle\frac23})(t+1)}t\leq0[/math]. [math]t\in(-\infty;\;-1\rbrack\;\cup(0;\;\frac23\rbrack[/math]. Из условия [math]\log_3x\leq-1[/math] получим [math]x\leq\frac13[/math] и из условия [math]0\leq\log_3x\leq\frac23[/math] получим [math]x\in(1;\sqrt[3]9\rbrack[/math]. Учитывая ОДЗ, получим [math]x\in(0;\frac13\rbrack\cup(1;\sqrt[3]9\rbrack[/math]

Определим пересечение полученных решений первого и второго неравенства системы: [math]x\in(0;\frac13\rbrack[/math]

Ответ: (0; 1/3]

16

Две окружности с центрами О и О1 радиусы которых 2 и 6, касаются внешним образом, АС — их общая внешняя касательная.

а) Докажите, что угол СО1О равен 60°, где О1С — радиус, проведённый в точку касания.

б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.

Показать ответ

Решение:

а) Заметим, что [math]OA\perp AC[/math] и [math]O_1C\perp AC[/math] по свойству радиусов, проведеных в точку касания (см. рисунок). Опустим [math]OK\perp O_1C[/math], тогда [math]OACK[/math] - прямоугольник, [math]CK=OA=2,[/math][math]O_1K=O_1C-CK=6-2=4.[/math] Обозначим буквой [math]M[/math] точку касания окружностей, тогда [math]OM=2,\;O_1M=6,\;OO_1=8.\;[/math] В прямоугольном треугольнике [math]O_1OK[/math] выполняется соотношение [math]\frac{O_1K}{OO_1}=\frac12[/math], следовательно, [math]\angle O_1OK=30^\circ.[/math] Тогда [math]\angle OO_1K=90^\circ-\angle O_1OK=60^\circ,[/math][math]\angle CO_1O=60^\circ,[/math] что и требовалось доказать.

Вариант 6

б) [math]\angle O_1OA=180^\circ-60^0=120^\circ.[/math] Градусная мера внешней дуги внешней окружности равна[math]360^\circ-120^\circ-120^\circ=120^\circ[/math]. Градусная мера внешней дуги большей окружности равна [math]360^\circ-60^\circ-60^\circ=240^\circ[/math]. Значит, длина внешней внешней дуги меньшей окружности равна [math]\begin{array}{l}2\mathrm\pi\times2\times\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{4\mathrm\pi}3\\\end{array}[/math]. Длина внешней дуги большей окружности равна [math]\begin{array}{l}2\mathrm\pi\times6\times\frac{240^\circ}{360^\circ}=8\mathrm\pi\\\end{array}[/math]. Из треугольника [math]\begin{array}{l}{\mathrm O}_1\mathrm{OK}\\\end{array}[/math] по теореме Пифагора [math]\begin{array}{l}\mathrm{OK}=\sqrt{{\mathrm{OO}}_1^2-{\mathrm O}_1\mathrm K^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\\\end{array}[/math]. [math]\begin{array}{l}\mathrm{AC}={\mathrm A}_1{\mathrm C}_1=4\sqrt3\\\end{array}[/math]

Вариант 6

Искомый периметр равен: [math]\begin{array}{l}\frac{4\mathrm\pi}3+4\sqrt3+8\mathrm\pi+4\sqrt3=8\sqrt3+\frac{28\mathrm\pi}3\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\frac{28\mathrm\pi}3+8\sqrt3[/math]

17

Холдинг «Вертолёты России» планирует выпустить в первом квартале 20% годового плана, во втором — увеличить производство в 1,5 раза, в четвёртом выпустить 102 вертолёта. В третьем квартале, во время отпусков, как показывает статистика, выпускается половина от среднего арифметического количества выпускаемых вертолётов во втором и четвёртом кварталах. Какое количество вертолётов планируется выпустить холдингом в третьем квартале?

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]x[/math] вертолетов планируется выпустить за год. Тогда в первом квартале выпустят [math]0,2x[/math] вертолетов, во втором квартале [math]0,3x[/math], в третьем [math]\frac12\times\frac{0,3x+102}2[/math]. Составим и решим уравнение:

[math]\begin{array}{l}0,2x+0,3x+\frac{0,3x+102}4+102=x\\x=300\end{array}[/math]

[math]\frac{0,3\times300+102}4=48[/math] вертолетов планируется выпустить в третьем квартале.

Ответ: [math]48[/math]

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение [math]\log_\frac1a(\sqrt{x^2+ax+10}+1)\lg\left(x^2+ax+11\right)+2log_a2=0[/math] имеет нечетное количество решений.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\\x^2+ax+11>0\end{array}\end{array}\right.[/math][math]\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\end{array}\end{array}\right.[/math]

Обозначим [math]x+\frac\alpha2=t.[/math]

Уравнение примет вид

[math]log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0.[/math]

Функция [math]f(t)=log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2[/math] - четная

Исходное уравнение имеет ровно одно решение при [math]t=0[/math], в противном случае будет четное число решений,что противоречит условию задачи.

Имеем [math]f(0)=0.[/math]

[math]\log_\frac1a(\sqrt{10-\frac{a^2}4}+1)lg(11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0. (1)[/math]

Пусть [math]\sqrt{10-\frac{a^2}2}=b,\;b\geq0.[/math] Тогда уравнение (1) принимает вид: [math]\begin{array}{l}-\log_a(b+1)lg(b^2+1)+\log_a4=0,\\\log_2(b+1)\times log_2(b^2+1)=\log_24\times\log_210.\;(2)\end{array}[/math]

Если [math]b=0[/math], то получаем противоречие, поэтому [math]b>0,\;b+1>1[/math] и [math]b^2+1>1[/math]. Отсюда следует, что функции [math]g(b)=\log_2(b+1)[/math] и [math]f(b)=\log_2(b^2+1)[/math] являются возрастающими положительными функциями. Их произведение является тоже возрастающей функцией.

Если [math]b+1=4[/math] и [math]b^2+1=10[/math], то [math]b=3[/math] удовлетворяет (2).

Других решений уравнение (2) не имеет, так как права часть уравнения (2) является константой.

Ответ: [math]a=2[/math]

19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Показать ответ

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому [math]4k-8l+0\times m=-3(k+l+m).[/math]

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому

[math]k+l+m[/math] — количество целых чисел — делится на 4. По условию [math]40<k+l+m<48,[/math], поэтому [math]k+l+m=44[/math]. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем равенство [math]4k-8l=-3(k+l+m)[/math] к виду [math]5l=7k+3m[/math]. Так как [math]m\geq0[/math], получаем, что [math]5l\geq7k[/math], откуда [math]l>k[/math]. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим [math]k+l+m=44[/math] в правую часть равенства [math]4k-8l=-3(k+l+m):\;4k-8l=-132,[/math] откуда [math]k=2l-33[/math]. Так как [math]k+l\leq44[/math], получаем: [math]3l-33\leq44;\;3l\leq77;\;l\leq25;\;k=2l-33\leq17[/math], то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число -8 и 2 раза написан 0. Тогда [math]\frac{4\times17-8\times25}{44}=-3[/math], указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 191 760
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель