Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 8

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Магазин покупает средство от комаров по 140 рублей за флакон и продаёт с наценкой 25%. Какое наибольшее число флаконов можно купить в этом магазине на 3000 рублей?

2
2

На рисунке показано изменение температуры воздуха с 1 по 23 мая. По горизонтали отмечены числа месяца, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку, какого числа в период с 3 по 12 мая температура достигла наибольшего значения.

3
3

Найдите биссектрису треугольника АВС, проведённую из вершины В, если стороны квадратных клеток равны 1 см

4
4

Конференция проводится в течение 6 дней. Всего запланировано 80 докладов, в первый день — 10 докладов, во второй и третий дни — по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым, пятым и шестыми днями. Какова вероятность того, что доклад профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?

5
5

Найдите корень уравнения [math]\log_4(17-2x)=\log_x7[/math]

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, АВ = 144, [math]\sin A=\frac56[/math] . Найдите BH.

7
7

На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 4). В какой точке отрезка [— 1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

8
8

Объём куба равен 60. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

9
9

Найдите значение выражения [math]16\cos(\mathrm\pi+\mathrm\beta)\times\sin(\frac{7\mathrm\pi}2+\mathrm\beta)[/math], если [math]\mathrm{cosβ}=\frac12[/math]

10
10

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой [math]y=ax^2+bx+c,\;[/math] где [math]a=-\frac1{450}m^{-1},\;b=\frac13,\;c=1[/math] — постоянные параметры, х (m) — смещение камня по горизонтали, у (m) — высота камня над землёй. Найдите, на каком наибольшем расстоянии в метрах от крепостной стены высотой 12,5 м нужно установить камнеметательную машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 0,5 метра.

11
11

Грузовик перевозит партию песка массой 392 тонны, ежедневно увеличивая норму на одно и то же число тонн. За первый день было вывезено 2 тонны песка, а весь груз был перевезён за 16 дней. Сколько тонн было перевезено за двенадцатый день?

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=x\sqrt x-5x+5[/math] на отрезке [math]\left[1;25\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sin^2Зx-2\;\sin\;6x\;+\;3\cos^2\;Зx=0[/math].

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[-1;1\right][/math].

Показать ответ

Решение:

[math]\sin^23x-4\sin3x\cos3x+3\cos^23x=0[/math]

а) Заметим, что при [math]\cos3x=0[/math] из основного тригонометрического тождества следует, что [math]\sin^23x=1[/math] и потому [math]\sin3x=\pm1[/math], а значит, уравнение превратится в неверное равенство. Разделим обе части на [math]\cos^23x[/math], получим [math]tg^2x-4tg3x+3=0[/math]. Сделаем замену [math]tg3x=t[/math], тогда [math]t^2-4t+3=0,\;t=1,t=3[/math]

[math]tg3x=1,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac{\mathrm{πk}}3,\;k\in\mathbb{Z}[/math]

[math]tg3x=3,\;x=\frac{arctg3}3+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]\begin{array}{l}k=0,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}\\k=-1,\;x=\frac{\mathrm\pi}{12}-\frac{\mathrm\pi}3=-\frac{\mathrm\pi}4\\n=0,\;x=\frac{arctg3}3\\n=1,\;x=\frac{arctg3}3-\frac{\mathrm\pi}3\end{array}[/math]

Ответ: а) [math]\frac{arctg3}3+\frac{\mathrm{πn}}3,\;n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac{\mathrm{πk}}3,\;k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{\mathrm\pi}4,\;\frac{arctg3}3-\frac{\mathrm\pi}3,\;\frac{arctg3}3,\;\frac{\mathrm\pi}{12}[/math]

14

Высота усечённого конуса равна [math]\sqrt3[/math]. Прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 60°, и углом С, равным 90°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите АВ, если угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса равен 60°.

Показать ответ

Решение:

Угол между плоскостью [math]ABC[/math] и плоскостью основания усеченного конуса равен углу [math]CAC_1[/math], где [math]CC_1[/math] - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок)

Вариант 8

Действительно, плоскость [math]ABC[/math] пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой [math]BC[/math], а нижнего основания конуса по прямой [math]l[/math], значит [math]l\parallel BC[/math]. Так как [math]AC\perp BC[/math], то [math]AC\perp l[/math]. [math]AC_1[/math] - проекция [math]AC[/math] на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, [math]AC_1\perp l[/math] по теореме о трех перпендикулярах. В прямоугольном треугольнике [math]ACC_1[/math] [math]\frac{CC_1}{AC}=\sin\angle CAC_1[/math], откуда [math]AC=\frac{CC_1}{\sin\angle CAC_1}=\frac{\sqrt3}{\sin60^\circ}=2[/math]

В прямоугольном треугольнике [math]ABC[/math] катет [math]AC[/math] лежит напротив угла в [math]30^\circ[/math], следовательно гипотенуза [math]AB=2AC=4[/math]

Ответ: [math]AB=4[/math]

15

Решите неравенство [math]\frac{\log_{3^{x+4}}9}{\log_{3^{x+4}}(-27x)}\geq\frac1{\log_{\displaystyle\frac13}\log_3\left({\displaystyle\frac13}\right)^x}[/math]

Показать ответ

Решение:

Решим исходное неравенство:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}3^{x+2}>0\\3^{x+4}\neq1\\-27x>0\\\log_{3^{x+4}}(-27x)\neq0\\\left(\frac13\right)^x>0\\\log_3\left(\frac13\right)^x>0\end{array}\;\;\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+4\neq0\\x0\end{array}\\\log_33^{-x}\neq1\end{array}\right.\\\log_\frac13\log\left(\frac13\right)^x\neq0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x\neq-4\\x<0\\x\neq-\frac1{27}\end{array}\\x\neq-1\end{array}\right.[/math]

[math]x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-1)\cup(-1;-\frac1{27})\cup(-\frac1{27};0)[/math]

на ОДЗ преобразуем исходное неравенство, перейдя к основанию 3 в обеих его частях.

[math]\frac{\left({\displaystyle\frac{\log_39}{\log_33^{x+4}}}\right)}{\left({\displaystyle\frac{\log_3(-27x)}[math]\frac{\log_39}{\log_3(-27x)}\geq\frac1{\log_{\displaystyle\frac13}(-x)};[/math] [math]\frac2{\log_3(-x)+3}+\frac1{\log_3(-x)}\geq0;[/math]{\log_33^{x+4}}}\right)}\geq\frac1{\log_{\displaystyle\frac13}\log_33^{-x}};[/math]

Сделаем замену [math]t=\log_3(-x)[/math], тогда [math]\frac2{t+3}+\frac1t\geq0[/math]. Решив это неравенство методом интервалов получим [math]t\in(-3;-1\rbrack\cup(0;+\infty)[/math]. Вернемся к исходной переменной и рассмотрим 2 случая:

1) [math]-3<\log_3(-x)\leq-1,\;x\in\lbrack-\frac13;-\frac1{27})[/math]

2) [math]\log_3(-x)>0,\;x\in(-\infty;-1)[/math]

С учетом ОДЗ запишем ответ: [math]x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-1)\cup\lbrack-\frac13;-\frac1{27})[/math]

Ответ: [math](-\infty;-4)\cup(-4;-1)\cup\lbrack-\frac13;-\frac1{27})[/math]

16

Две окружности с центрами О и О1 радиусы которых 2 и 6, касаются внешним образом, АС — их общая внешняя касательная.

а) Докажите, что угол СО1О равен 60°, где О1С — радиус, проведённый в точку касания.

б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.

Показать ответ

Решение:

а) Заметим, что [math]OA\perp AC[/math] и [math]O_1C\perp AC[/math] по свойству радиусов, проведеных в точку касания (см. рисунок). Опустим [math]OK\perp O_1C[/math], тогда [math]OACK[/math] - прямоугольник, [math]CK=OA=2,[/math][math]O_1K=O_1C-CK=6-2=4.[/math] Обозначим буквой [math]M[/math] точку касания окружностей, тогда [math]OM=2,\;O_1M=6,\;OO_1=8.\;[/math] В прямоугольном треугольнике [math]O_1OK[/math] выполняется соотношение [math]\frac{O_1K}{OO_1}=\frac12[/math], следовательно, [math]\angle O_1OK=30^\circ.[/math] Тогда [math]\angle OO_1K=90^\circ-\angle O_1OK=60^\circ,[/math][math]\angle CO_1O=60^\circ,[/math], что и требовалось доказать.

Вариант 8

б) [math]\angle O_1OA=180^\circ-60^0=120^\circ.[/math] Градусная мера внешней дуги внешней окружности равна[math]360^\circ-120^\circ-120^\circ=120^\circ[/math]. Градусная мера внешней дуги большей окружности равна [math]360^\circ-60^\circ-60^\circ=240^\circ[/math]. Значит, длина внешней внешней дуги меньшей окружности равна [math]\begin{array}{l}2\mathrm\pi\times2\times\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{4\mathrm\pi}3\\\end{array}[/math]. Длина внешней дуги большей окружности равна [math]\begin{array}{l}2\mathrm\pi\times6\times\frac{240^\circ}{360^\circ}=8\mathrm\pi\\\end{array}[/math]. Из треугольника [math]\begin{array}{l}{\mathrm O}_1\mathrm{OK}\\\end{array}[/math] по теореме Пифагора [math]\begin{array}{l}\mathrm{OK}=\sqrt{{\mathrm{OO}}_1^2-{\mathrm O}_1\mathrm K^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\\\end{array}[/math]. [math]\begin{array}{l}\mathrm{AC}={\mathrm A}_1{\mathrm C}_1=4\sqrt3\\\end{array}[/math]

Вариант 8

Искомый периметр равен: [math]\begin{array}{l}\frac{4\mathrm\pi}3+4\sqrt3+8\mathrm\pi+4\sqrt3=8\sqrt3+\frac{28\mathrm\pi}3\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\frac{28\mathrm\pi}3+8\sqrt3[/math]

17

Незнайка несколько лет назад вложил деньги в акции некоторого предприятия. Ежегодно он получал прибыль по акциям сначала 9 1/11% в год, потом 37,5% в год и наконец 6 2/3% в год и сразу же вкладывал деньги в те же акции. Известно, что одинаковые процентные ставки были равное число лет, а в конце первоначальная сумма его вклада увеличилась на 156%. Определите срок хранения вклада.

Показать ответ

Решение:

Увеличение вклада на [math]9\frac1{11}\%[/math] увеличивает его в [math](100+9\frac1{11})\div100[/math] раз, или в [math]\frac{12}{11}[/math] раза. Аналогично увеличение на [math]37,5\%[/math] увеличивает вклад в [math]\frac{550}{400}[/math] раза, увеличение на [math]6\frac23\%[/math] - в [math]\frac{16}{15}[/math] раза. Если каждая процентная ставка была [math]k[/math] лет, то вклад увеличился в [math]\left(\frac{12}{11}\times\frac{55}{40}\times\frac{16}{15}\right)^k[/math] раз, что по условию равно [math]\frac{100+156}{100}[/math] или [math]\frac{64}{25}[/math] раза.

[math]\left(\frac{12}{11}\times\frac{55}{40}\times\frac{16}{15}\right)^k=\frac{64}{25},\;\left(\frac85\right)^k=\frac{64}{25};\;k=2[/math]

Всего вклад хранился [math]3\times2=6\;лет[/math]

Ответ: 6 лет.

18

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение [math](3-\;2\;tgx)^2\;(a^2+2a-4)(3-2tgx)\;+\;(a^2-1)(2a-3)\;=\;0[/math] имеет на отрезке [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] ровно 2 решения.

Показать ответ

Сделаем замену [math]3-2tgx=t,[/math] уравнение примет вид [math]t^2-(a^2+2a-4)t+(a^2-1)(2a-3)=0.[/math] пользуясь обратной теоремой Виета, запишем корни уравнения [math]t_1=a^2-1,\;t_2=2a-3[/math], откуда:

[math]\left\{\begin{array}{l}3-2tgx=a^2-1\\3-tgx=2a-3\end{array}\right.\;\left\{\begin{array}{l}tgx=\frac{4-a^2}2\\tgx=3-a\end{array}\right.[/math]

Изобразим эскиз графика функции [math]y=tgx[/math] при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] (см. рисунок)

Вариант 8

Очевидно, что при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math], уравнение [math]tgx=b[/math] имеет 2 решения при [math]b\leq0[/math] и 1 решение при [math]b>0[/math]. Значит исходное уравнение на отрезке [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] имеет ровно 2 решения в одном из 2 случаев.

1) [math]\frac{4-a^2}2=3-a\leq0[/math]

2) [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\frac{4-a^2}2>0\\3-a>0\end{array}\\\frac{4-a^2}2\neq3-a\end{array}\right.[/math]

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

1) Решим вспомогательное уравнение [math]\frac{4-a^2}2=3-a;\;a^2-2a+2=0[/math] - нет корней.

2) Решим систему: [math]\left\{\begin{array}{lc}\begin{array}{c}\frac{4-a^2}2>0\\3-a>0\end{array}&\\\frac{4-a^2}2\neq3-a&\end{array}\right.[/math]

Из предыдущего пункта воспользуемся тем фактом, что уравнение [math]\frac{4-a^2}2=3-a[/math] не имеет решений. Получим систему [math]\left\{\begin{array}{l}4-a^2>0\\3-a>0\end{array}\right.[/math]. [math]a\in(-2;2)[/math]

Ответ: [math](-2;2)[/math]

19

На n деревьях, расположенных по окружности, сидели n весёлых чижей (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по часовой стрелке, другой — против). Могут ли все n чижей собраться на одном дереве, если

а) n = 5?

б) n = 2019?

в) n = 12?

Показать ответ

Решение:

а) Занумеруем деревья числами 1,2,3,4,5 (по порядку). Пусть один чиж сидит неподвижно, например, на дереве 3, тогда чижи с деревьев 2 и 4, совершив по одному перелету, окажутся на дереве 3, а чижи с деревьев 1 и 5, совершив по два перелета, окажутся на дереве 3. Итак, все пять чижей могут собраться на одном дереве.

б) Пусть один чиж сидит неподвижно на дереве. Разобьем остальных чижей на пары сидящих на одинаковом расстоянии [math]r[/math] перелетов от неподвижного в ту и другую сторону ( [math]r=1,2,...,1009[/math]). Ясно, что каждая такая пара может за [math]r[/math] перелетов попасть на то дерево, где сидит неподвижный чиж.

в) Занумеруем деревья по порядку, например, по часовой стрелке числами от 1 до 12. Пусть количество чижей на [math]k[/math]-м дереве в какой то момент времени равно [math]a_k[/math]. Рассмотрим выражение [math]S=1\times a_1+2\times a_2+...+12\times a_{12}[/math]

Покажем, что когда два чижа перелетают на соседние деревья, то [math]S[/math] либо не меняется, либо изменяется на 12. Действительно, пусть какой-то чиж перелетает с [math]k[/math]-го дерева на следующее по часовой стрелке. Тогда в сумме [math]S[/math] меняются 2 слагаемых. Если [math]k<12[/math], то меняются [math]k[/math]-е и [math]k+1[/math]-е слагаемые, и их сумма становится равной [math]k(a_k-1)+(k+1)(a_{k+1}+1)=ka_k+(k+1)a_{k+1}+1[/math], т.е. увеличивается на 1.

При перелете двух чижей на соседние деревья, очевидно, что сумма или не меняется или меняется на 12. В начальный момент времени на каждом дереве сидело по 1 чижу.

[math]S=1\times1+2\times1+...12\times1=78[/math]

Таким образом, после любого целого числа перелетов сумма будет равна [math]78+12p[/math], где [math]p[/math] - целое число. Если бы все чижи собрались на [math]q[/math]-м дереве, то [math]S=12q[/math], то есть выполнялось бы равенство [math]78+12p=12q[/math], а потому 78 должно делиться на 12, что неверно. Значит, требуемое невозможно.

Ответ: а)да; б) да; в) нет.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

783 073
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель