Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 9

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В подарок девушке юноша купил розы разного цвета: красные, белые, жёлтые — в количестве 15 штук. Найдите количество жёлтых роз, если красные составляли 20% от общего количества, а белые —25% от оставшихся.

2
2

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток, начиная с 0:00 часов 18 августа. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику разность между наибольшей и наименьшей температурами 19 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Вариант 9

3
3

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника РМТ, если стороны квадратных клеток равны 1 см.

Вариант 9

4
4

В люстре две одинаковые лампы. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,6. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\sqrt{3x^2+6x+1}=7-x[/math] если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите больший.

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, tg ВАС = [math]\frac{7\sqrt{15}}{15}[/math]. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

7
7

Материальная точка движется прямолинейно по закону [math]x(t)=-\frac12t^4+15t^3+9t+17[/math] где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 4 с.

8
8

Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки 36 см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в 3 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.

9
9

Найдите значение выражения [math]y=11^{1,26}\times121^{0,37}[/math]

10
10

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально, и на исследуемом интервале температура определяется по формуле T(t) = То + at + bt2, где t — время в минутах, То = 120 К, b = -1/4 K/мин2, а = 39,5 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1080 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

11
11

Один токарь может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 15 часов, а третий — за 20 часов. За сколько часов три токаря выполнят заказ, работая совместно?

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=\frac{16}x+x[/math] на отрезке [4; 8].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math](\sqrt{x^2+2x-7}-1)\log_3(9+2x-x^2)=0[/math]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[\log_35;2^\sqrt2\right][/math].

Показать ответ

Решение:

а) Данное уравнение определено при условиях [math]\left\{\begin{array}{l}x^2+2x-7\geq0\\9+2x-x^2>0\end{array}\right.[/math] и расщепляется на 2 уравнения [math]\sqrt{x^2+2x-7}-1=0[/math] и [math]\log_3(9+2x-x^2=0)[/math]. Первое уравнение после возведения в квадрат обеих частей уравнения приводится к квадратному [math]x^2+2x-8=0[/math] с корнями [math]x_1=-4,\;x_2=2.[/math] Корень [math]x_1=-4[/math] не удовлетворяет условию ОДЗ. Применяя определение логарифма ко второму уравнению, получаем квадратное уравнение [math]x^2-2x-8=0[/math] с корнями [math]x_1=-2;\;x_2=4.[/math]. Корень [math]x_1=-2[/math] не удовлетворяет условию ОДЗ. Таким образом исходное уравнение имеет 2 корня 2 и 4.

б) Сравним числа [math]2[/math] и [math]\log_35[/math]. [math]2=\log_39[/math] соответственно [math]2>\log_35[/math]

[math]21[/math]

[math]4>2^\sqrt2[/math], т.к. [math]4=2^2,\;[/math] а [math]2>\sqrt2\;[/math]

Следовательно [math]2\in\left[\log_35;2^\sqrt2\right]\;[/math], a [math]4\not\in\left[\log_35;2^\sqrt2\right]\;[/math]

Ответ: а) 2,4 б) 2

14

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 косинус угла между прямыми АС1 и В1С равен 1/25.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки А и С1 параллельно прямой B1C.

б) Найдите площадь поверхности данной призмы, если её высота равна 6.

Показать ответ

Решение:

а) Построим призму [math]ABCA_1B_1C_1[/math] и на продолжении стороны [math]BB_1[/math] возьмем точку [math]B_2[/math], как показано на рисунке, при этом [math]B_1B_2=BB_1[/math].

Вариант 9

Заметим, что [math]B_1B_2С_1С[/math] - параллелограмм, поэтому [math]B_2С_1\parallel СС_1[/math]. Ясно, что точки [math]A_1,\;B_1,\;B,A,B_2[/math] лежат в одной плоскости. Рассмотрим плоскость [math](B_2C_1A)[/math]. Обозначим через [math]K[/math] точку пересечения прямых [math]A_1B_1[/math] и [math]B_2A[/math]. [math]\bigtriangleup AKC_1\;[/math] образует искомое сечение.

б) Пусть [math]AB=BC=AC=a\;[/math], тогда из прямоугольного треугольника [math]ACC_1[/math] получим [math]AC_1^2=a^2+36[/math]. Аналогично, из [math]\bigtriangleup B_1B_2C_1[/math] получим [math]B_2C_1^2=a^2+36[/math]. Ясно, что [math]BB_2=BB_1+B_1B_2=12[/math]. Из прямоугольного треугольника [math]AB_2B[/math] получим [math]AB_2^2=144+a^2[/math]. Заметим, что [math]\cos\angle B_2C_1A=-\frac1{25},[/math] так как угол [math]B_2C_1A[/math] - это угол между [math]\overrightarrow{С_1B_2}[/math] и [math]\overrightarrow{С_1A}[/math], а [math]\overrightarrow{С_1B_{2\;}}\DownArrowUpArrow\overrightarrow{B_1C},[/math] [math]\cos(\widehat{\overrightarrow{B_1C}\DownArrowUpArrow\overrightarrow{C_1A}})=\frac1{25}[/math], [math]\cos(\widehat{\overrightarrow{C_1B_2}\DownArrowUpArrow\overrightarrow{C_1A}})=-\frac1{25}[/math]

Из [math]\bigtriangleup B_2AC_1[/math] по теореме косинусов:

[math]B_2A^2=B_2C_1^2+AC_1^2-2B_2C_1\times AC_1\times\cos\angle B_2C_1A[/math]

[math]a^2+144=a^2+36+a^2+36+2(a^2+36)\frac1{25}[/math]

[math]a=8[/math]

Последовательно найдем площадь боковой поверхности призмы ([math]3\times8\times6=144[/math]), площадь основания призмы [math]\frac{8^2\sqrt3}4=16\sqrt3[/math], площадь полной поверхности призмы [math]144+2\times16\sqrt3[/math]

Ответ: [math]144+32\sqrt3[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}\left(4\times4^x-5\times2^x+1\right)\times\log_{x+2,5}\vert x+0,5\vert\geq0,\\4^{x+1}+\log_{x+2,5}\vert x+0,5\vert+1\leq5\times2^x.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Для удобства обозначим [math]4\times4^x-5\times2^x+1=a, log_{x+2,5}\left|x+0,5\right|=b [/math], тогда система неравенств примет вид: [math]\left\{\begin{array}{l}a\times b\geq0\\a+b\leq0\end{array}\right.[/math]. Полученная система с переменными [math]a[/math] и [math]b[/math] равносильна системе [math]\left\{\begin{array}{l}a\leq0\\b\leq0\end{array}\right.[/math]. Значит, данная система неравенств равносильна системе [math]\left\{\begin{array}{l}4\times4^x-5\times2^x+1\leq0\\\log_{x+2,5}\left|x+0,5\right|\leq0\end{array}\right.[/math]

Решим первое неравенство. Пусть [math]2^x=t[/math], тогда получим квадратное неравенство [math]4t^2-5t+1\leq0[/math], имеющее решения [math]\frac14\leq t\leq1[/math]. Отсюда из двойного неравенства [math]\frac14\leq2^x\leq1[/math] имеем [math]-2\leq x\leq0[/math]

2) Найдем область определения второго неравенства последней системы:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+2,5>0\\x+2,5\neq1\end{array}\\\left|x+0,5\right|>0\end{array}\right.\;\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>-2,5\\x\neq-1,5\end{array}\\x\neq-0,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2,5<x<-1,5\\\begin{array}{c}-1,5<x-0,5\end{array}\end{array}\right.[/math]

используя рационализацию второго неравенства на области его определения, получаем:

[math]\begin{array}{l}(x+2,5-1)(\left|x+0,5\right|-1)\leq0;\\(x+1,5)(\left(x+0,5\right)^2-1)\leq0;\\(x+1,5)(x+1,5)(x-0,5)\leq0;\\(x+1,5)^2(x-0,5)\leq0;\end{array}[/math]

Для решения последнего неравенства применяем метод интервалов. Получаем, что [math]x\in(-\infty;0,5\rbrack[/math]

Учитывая ОДЗ переменной второго неравенства системы, получаем значения:

[math]x\in(-2,5;\;-1,5)\cup(-1,5;\;-0,5)\cup(-0,5;0,5\rbrack[/math]

3) Найдем общую часть полученных решений неравенств системы:

[math]x\in\lbrack-2;\;-1,5)\cup(-1,5;\;-0,5)\cup(-0,5;0\rbrack[/math]

Ответ: [math]x\in\lbrack-2;\;-1,5)\cup(-1,5;\;-0,5)\cup(-0,5;0\rbrack[/math]

16

В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и СЕ являются биссектрисами неравных углов при вершинах В и С соответственно.

а) Докажите, что точка Е есть центр вписанной или вневписанной окружности треугольника ОСВ, где О — точка пересечения прямых CD и АВ.

б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если ∠А = 37°, ∠D = 143°, а площадь треугольника ВСЕ равна 13.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть точки [math]O[/math] и [math]E[/math] расположены по одну сторону от прямой [math]BC[/math] (см. рисунок), то есть [math]\angle B+\angle C=180^\circ[/math], тогда [math]BE[/math] и [math]CE[/math] являются биссектрисами внутренних углов при вершинах [math]B[/math] и [math]C[/math] соответственно треугольника [math]BCO[/math]. По свойству биссектрисы [math]BE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от сторон [math]BO[/math] и [math]BC[/math]. Аналогично по свойству биссектрисы [math]CE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от сторон [math]BC[/math] и [math]OC[/math]. Следовательно, точка [math]E[/math] равноудалена от всех сторон треугольника [math]BCO[/math] и является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Вариант 9

рассмотрим другой случай. Пусть точки [math]O[/math] и [math]E[/math] расположены по разные стороны от прямой [math]BC[/math](см. рисунок ниже), то есть [math]\angle B+\angle C>180^\circ[/math], тогда [math]BE[/math] и [math]CE[/math] являются биссектрисами внешних углов при вершинах [math]B[/math] и [math]C[/math] cсоответственно треугольника [math]BCO[/math]. По свойству биссектрисы [math]BE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от прямых [math]BO[/math] и [math]BC[/math]. Аналогично точка [math]E[/math] равноудалена от прямых [math]BC[/math] и [math]OC[/math]. Следовательно, точка [math]E[/math] равноудалена от стороны [math]BC[/math] и продолжений сторон [math]BO[/math] и [math]OC[/math] треугольника [math]BCO[/math] и является центром вневписанной окружности этого треугольника. [math]EG,EF,EH\;-\;[/math] радиусы этой окружности.

Вариант 9

б) Сумма углов выпуклого пятиугольника равна [math]540^\circ[/math]. По условию задачи [math]\angle A=37^\circ,[/math][math]\angle D=143^\circ,[/math][math]\angle A+\angle D=180^\circ[/math]. Если [math]\angle B+\angle C180^\circ,[/math], что противоречит условию выпуклости прямоугольника. Значит [math]\angle B+\angle C>180^\circ,[/math], поэтому: [math]\bigtriangleup AGE=\bigtriangleup DHE[/math] по катету и острому углу. Аналогично [math]\bigtriangleup EHC=\bigtriangleup EFC.\;[/math] Последовательно имеем:

[math]S_{ABE}+S_{CDE}=S_{AGE}+S_{GBE}+S_{CHE}-S_{DHE}=S_{GBE\;}+\;S_{CHE}=[/math][math]=S_{BFE}+S_{FCE}=S_{BCE}=13[/math]

[math]S_{ABCDE}=S_{ABE}+S_{CDE}+S_{BCE}=13+13=26[/math]

Ответ: 26

17

Фермер для обработки участка нанял тракториста первого класса на тракторе К-700. Размеры участка 9,5 км х 3,5 км, норма выработки 75 га, стоимость солярки 32 рубля за литр, расход горючего составляет 15 л на 1 га, техническое обслуживание трактора — 5% от зарплаты тракториста. Какую наибольшую оплату за норму нужно положить трактори сту, если затраты фермера на обработку участка не должны превышать 4 009 950 рублей, а аренда трактора стоит 600 рублей за га?

Показать ответ

Решение:

Посчитаем площадь участка [math]S=9,5\times3,5km^2=3325[/math]га.

Стоимость аренды трактора [math]600\times S[/math] рублей, стоимость солярки [math]32\times15\times S[/math] рублей. Обозначим оплату тракториста за обработку 1га за [math]x[/math] рублей. Тогда его зарплата будет составлять [math]S\times x[/math] рублей, а техническое обслуживание трактора 5% от [math]S\times x[/math]. По условию [math]600S+32\times15S+Sx+0,05Sx\leq4009950[/math]

[math]x\leq120[/math]

За 1га наибольшая оплата тракториста 120 рублей, за норму 75га наибольшая оплата [math]75\times120=9000[/math] рублей.

Ответ: 9000 рублей.

18

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение [math]x^6+(3a-3\vert x\vert-a^2)^3+x^2=3\vert x\vert-3a+2^2[/math] имеет четыре различных решения.

Показать ответ

Решение:

Приведем данное уравнение к виду:

[math] x^6+x^2=(3\left|x\right|-3a+a^2)^3+3|x|-3a+a^2[/math] или [math]f(x)=f\left(3\left|x\right|-3a+a^2\right)[/math], где [math]f(p)=p^3+p[/math]. Так как производная [math]f`(p)=3p^2+1>0[/math] при всех значениях p, то функция возрастает на всей области определения. Следовательно, получаем равносильное уравнение [math]x^2=3\left|x\right|-3a+a^2[/math] или [math]x^2-3\left|x\right|+3a-a^2=0[/math]

Пусть [math]\left|x\right|=t[/math], тогда получим квадратное уравнение [math]t^2-3t+3a-a^2=0,[/math] имеющее корни [math]t=a,\;t=3-a[/math]. Отсюда получаем [math]\left|x\right|=a,\;\left|x\right|=3-a[/math]. Построим графики функций [math]a(x)=\left|x\right|[/math] и [math]a(x)=3-\left|x\right|[/math] (см. рисунок). Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;3). Решая систему [math]\left\{\begin{array}{l}a=\left|x\right|\\a=3-\left|x\right|\end{array}\right.[/math] найдем координаты двух общих точек: (-1,5;1,5) и (1,5; 1,5).

Вариант 9

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.

При [math]a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)[/math] эти прямые пересекают построенный график ровно в 4 точках. Значит, данное уравнение имеет ровно 4 различных решения при [math]a\in(0;1,5)\cup(1,5;3)[/math]

Ответ: [math](0;1,5)\cup(1,5;3)[/math]

19

Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а) при n = 7;

б) при n = 12;

в) при n = 2015?

Показать ответ

Решение:

Нельзя. С помощью первых семи нарульных чисел в сумме можно получить два точных квадрата 4 и 9. Под числом 1 может быть записано только число 3, но под числом 6 тоже может быть записано только число 3. Противоречие с условием задачи.

б) Можно. С помощью первых двенадцати натуральных чисел в сумме можно получить три точных квадрата 4,9,16. Сумма числа 12 и числа, записанного под ним, заключена между 13 и 24. На этом отрезке имеется только один точный квадрат 16. Запишем под числом 12 число 4, аналогично под числом 4 - число 12. Также проверяем, что под числами 9,10,11,5,6,7 должны быть записаны числа 7,6,5,11,10,9 соответственно. Далее под оставшимися числами 1,2,3,8 записываем числа 3,2,1,8 соответственно.

[math]\begin{array}{cccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\3&2&1&12&11&10&9&8&7&6&5&4\end{array}[/math]

в) Можно. Под каждым из чисел 101,102,.....,2014,2015 запишем числа 2015,2014,...,102,101 соответственно. тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная со 101го, равна [math]2116=46^2[/math]. Под каждым из чисел 21,22,...,99,100 запишем числа 100,99,...,22,21. тогда сумма чисел с 21го по 100й равна [math]121=11^2[/math]. Под каждым из чисел 16,17,18,19,20 запишем числа 20,19,18,17,16. Тогда сума чисел в каждом столбце, с 16го по 20, равна [math]36=6^2[/math]. Под каждым из чисел 1,2,...,14,15 запишем числа 15,14,...,2,1. Тогда сумма чисел в каждом столбце,с 1го по 15й, равна [math]16=4^2[/math]

Ответ: а) нельзя б) можно в) можно

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

296 285
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель