Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 9

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В подарок девушке юноша купил розы разного цвета: красные, белые, жёлтые — в количестве 15 штук. Найдите количество жёлтых роз, если красные составляли 20% от общего количества, а белые —25% от оставшихся.

2
2

На рисунке 40 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Дождевске со 2 по 14 марта 1972 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

Вариант 9

3
3

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Вариант 9

4
4

Конференция проводится в течение 6 дней. Всего запланировано 80 докладов, в первый день — 10 докладов, во второй и третий дни — по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым, пятым и шестыми днями. Какова вероятность того, что доклад профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?

5
5

Найдите корень уравнения [math]81^{x-5}=\frac13[/math].

6
6

В треугольнике ABC угол С равен 90º, CH — высота, BC = 8, sin A = 1/4. Найдите АH.

7
7

Материальная точка движется прямолинейно по закону [math]x(t)=-\frac12t^4+15t^3+9t+17[/math] где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 4 с.

8
8

Объем куба равен 3√3 / 8. Найдите его диагональ.

Вариант 9

9
9

Найдите значение выражения

[math]\frac{(18a^8b^9)^3\times(3a^9b^4)^2}{(3a^6b^5)^7}[/math]

10
10

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 150 — 25р. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q ∗ p. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка r(р) составит не менее 104 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

11
11

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 18 рабочих, а во второй — 34 рабочих. Через 11 дней после начала работы в первую бригаду перешли 10 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=\frac{16}x+x[/math] на отрезке [4; 8].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\cos3x=2\sin\left(\frac{3\mathrm\pi}2+x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3π/2; 0].

Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}\cos3x=\cos(2x+x)=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=\\=(\cos^2x-\sin^2x)\cos x-2\sin^2\cos x=\\=(2\cos^2x-1)\cos x-2\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3-3\cos x\end{array}[/math]

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению

[math]\begin{array}{l}4\cos^3-3\cos x=-2\cos x\\\cos x(4\cos^2x-1)=0\\\cos x=0;\;\;x=\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\\mathrm{cosx}=\pm\frac12;\;\mathrm x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}[/math]

Вариант 9

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие указанному промежутку:

Вариант 9

Ответ: а) [math]\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{4\mathrm\pi}3,\;-\frac{2\mathrm\pi}3,\;-\frac{\mathrm\pi}2,\;-\frac{\mathrm\pi}3[/math]

14

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно √6, сторона основания 4.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую С1К и перпендикулярную плоскости BCC1, где К — середина стороны АС.

б) Найдите косинус угла между прямой С1К и плоскостью боковой грани ВВ1С1С

Показать ответ

Решение:

а) В треугольнике [math]ABC\;AH\perp BC[/math], через точку [math]K[/math] проводим [math]KM\parallel AH[/math], отсюда [math]KM\perp BC[/math]

[math]С_1С\perp(ABC)[/math], как высота прямой призмы, тогда [math]С_1С\perp KM[/math], поскольку [math]KM[/math] лежит в плоскости [math](ABC)[/math], [math]KM\perp(BB_1C_1)[/math] по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно по признаку перпендикулярности плоскостей следует, что [math](C_1MK)\perp(BB_1C_1)[/math], так как [math](C_1MK)[/math] содержит прямую [math]KM[/math]. Значит [math](KC_1M)[/math] - искомое сечение.

Вариант 9

б) Проекция [math]C_1K[/math] на плоскость [math]BB_1C_1C[/math]: [math]MK\perp BC,\;C_1M[/math] - проекция [math]C_1K[/math]. [math]\angle KC_1M[/math] - искомый угол.

[math]\cos\angle KC_1M=\frac{C_1M^2+C_1K^2-MK^2}{2C_1M\times C_1K}[/math]

[math]\begin{array}{l}С_1M=\sqrt{C_1C^2+MC^2}=\sqrt{6+1}=\sqrt7\\C_1K=\sqrt{CC_1^2+CK^2}=\sqrt{6+4}=\sqrt{10}\\MK=KC\times\sin60^\circ=2\times\frac{\sqrt3}2=\sqrt3\end{array}[/math]

[math]\cos\angle KC_1M=\frac{7+10-3}{2\times\sqrt{70}}=\frac{14}{2\sqrt{70}}=\frac{\sqrt{70}}{10}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt{70}}{10}[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\left(\frac14\right)^\frac{10-x^2}2\geq8^x,\\\log_{2x+5}(x^2-28x-7)>0\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

решим первое неравенство системы.

1. [math]\left(\frac14\right)^\frac{10-x^2}2\geq8^x;\;\;\;\;2^{x^2-10}\geq2^{3x};\;\;\;x^2-10\geq3x;[/math]

[math]\begin{array}{l}\;\;x^2-3x-10\geq0;\;(x+2)(x-5)\geq0;\\x\in(-\infty;-2\rbrack\cup\lbrack5;+\infty)\end{array}[/math]

2. Решим второе неравенство системы

[math]\log_{2x+5}(x^2-28x-7)>0[/math]

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x^2-28x-7>0;\\2x+5>0;\end{array}\\\;\;\;\;\;\;2x+5\neq1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>14+\sqrt{203}\;или\;x<14-\sqrt{203}\\x>-2,5\end{array}\\\;\;\;\;\;\;x\neq-2\end{array}\right.[/math]

[math]\begin{array}{l}x\in(-2,5-2)\cup(-2;14-\sqrt{203})\cup(14+\sqrt{203};+\infty)\\(2x+5-1)(x^2-28x-7-1)>0\\(x+2)(x^2-28x-8)>0\\(x+2)(x-(14-2\sqrt{51}))(x-(14+2\sqrt{51}))>0\end{array}[/math]

Вариант 9

Учитывая множество решений первого неравенства, получим, что [math]x\in(14+2\sqrt{51};+\infty)[/math]

Ответ [math](14+2\sqrt{51};+\infty)[/math]

16

В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и СЕ являются биссектрисами неравных углов при вершинах В и С соответственно.

а) Докажите, что точка Е есть центр вписанной или вневписанной окружности треугольника ОСВ, где О — точка пересечения прямых CD и АВ.

б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если ∠А = 37°, ∠D = 143°, а площадь треугольника ВСЕ равна 13.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть точки [math]O[/math] и [math]E[/math] расположены по одну сторону от прямой [math]BC[/math] (см. рисунок), то есть [math]\angle B+\angle C=180^\circ[/math], тогда [math]BE[/math] и [math]CE[/math] являются биссектрисами внутренних углов при вершинах [math]B[/math] и [math]C[/math] соответственно треугольника [math]BCO[/math]. По свойству биссектрисы [math]BE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от сторон [math]BO[/math] и [math]BC[/math]. Аналогично по свойству биссектрисы [math]CE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от сторон [math]BC[/math] и [math]OC[/math]. Следовательно, точка [math]E[/math] равноудалена от всех сторон треугольника [math]BCO[/math] и является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Вариант 9

Рассмотрим другой случай. Пусть точки [math]O[/math] и [math]E[/math] расположены по разные стороны от прямой [math]BC[/math](см. рисунок ниже), то есть [math]\angle B+\angle C>180^\circ[/math], тогда [math]BE[/math] и [math]CE[/math] являются биссектрисами внешних углов при вершинах [math]B[/math] и [math]C[/math] cсоответственно треугольника [math]BCO[/math]. По свойству биссектрисы [math]BE[/math] точка [math]E[/math] равноудалена от прямых [math]BO[/math] и [math]BC[/math]. Аналогично точка [math]E[/math] равноудалена от прямых [math]BC[/math] и [math]OC[/math]. Следовательно, точка [math]E[/math] равноудалена от стороны [math]BC[/math] и продолжений сторон [math]BO[/math] и [math]OC[/math] треугольника [math]BCO[/math] и является центром вневписанной окружности этого треугольника. [math]EG,EF,EH\;-\;[/math] радиусы этой окружности.

Вариант 9

б) Сумма углов выпуклого пятиугольника равна [math]540^\circ[/math]. По условию задачи [math]\angle A=37^\circ,[/math][math]\angle D=143^\circ,[/math][math]\angle A+\angle D=180^\circ[/math]. Если [math]\angle B+\angle C=180^\circ,[/math], что противоречит условию выпуклости прямоугольника. Значит [math]\angle B+\angle C>180^\circ,[/math], поэтому: [math]\bigtriangleup AGE=\bigtriangleup DHE[/math] по катету и острому углу. Аналогично [math]\bigtriangleup EHC=\bigtriangleup EFC.\;[/math] Последовательно имеем:

[math]S_{ABE}+S_{CDE}=S_{AGE}+S_{GBE}+S_{CHE}-S_{DHE}=S_{GBE\;}+\;S_{CHE}=[/math][math]=S_{BFE}+S_{FCE}=S_{BCE}=13[/math]

[math]S_{ABCDE}=S_{ABE}+S_{CDE}+S_{BCE}=13+13=26[/math]

Ответ: 26

17

Фермер для обработки участка нанял тракториста первого класса на тракторе К-700. Размеры участка 9,5 км х 3,5 км, норма выработки 75 га, стоимость солярки 32 рубля за литр, расход горючего составляет 15 л на 1 га, техническое обслуживание трактора — 5% от зарплаты тракториста. Какую наибольшую оплату за норму нужно положить трактори сту, если затраты фермера на обработку участка не должны превышать 4 009 950 рублей, а аренда трактора стоит 600 рублей за га?

Показать ответ

Решение:

Посчитаем площадь участка [math]S=9,5\times3,5km^2=3325[/math]га.

Стоимость аренды трактора [math]600\times S[/math] рублей, стоимость солярки [math]32\times15\times S[/math] рублей. Обозначим оплату тракториста за обработку 1га за [math]x[/math] рублей. Тогда его зарплата будет составлять [math]S\times x[/math] рублей, а техническое обслуживание трактора 5% от [math]S\times x[/math]. По условию [math]600S+32\times15S+Sx+0,05Sx\leq4009950[/math]

[math]x\leq120[/math]

За 1га наибольшая оплата тракториста 120 рублей, за норму 75га наибольшая оплата [math]75\times120=9000[/math] рублей.

Ответ: 9000 рублей.

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение [math](tgx\;+\;2)^2-(3a^2\;+\;2a-4)(tgx\;+\;2)+(3a^2-5)(2a+1)\;=\;0[/math] имеет на отрезке [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] ровно два решения.

Показать ответ

Решение:

Сделаем замену [math]tgx+2=t[/math], тогда уравнение пример вид

[math]t^2-(3a^2+2a-4)t+(3a^2-5)(2a+1)=0.[/math]

Пользуясь обратной теоремой Виета, запишем корни этого уравнения [math]t_1=2a+1,\;t_2=3a^2-5[/math], откуда:

[math]\left\{\begin{array}{l}tgx=2a-1,\\tgx=3a^2-7.\end{array}\right.[/math]

Изобразим эскиз графика функции [math]y=tgx[/math] при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] (см. рисунок). Очевидно, что при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] уравнение [math]tgx=b[/math] имеет 2 решения при [math]b\leq0[/math] и 1 решение при [math]b>0[/math].

Вариант 9

Значит, исходное уравнение на отрезке [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] имеет ровно 2 решения в одном из двух случаев:

[math]\begin{array}{l}1)\;2a-1=3a^2-7\leq0\\2)\;\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\end{array}\\2a-1\neq3a^2-7.\end{array}\right.\end{array}[/math]

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Решив вспомогательное уравнение [math]3a^2-7=2a-1[/math] получим [math]a=\frac{1\pm\sqrt{19}}3[/math]. При [math]a=\frac{1+\sqrt{19}}3[/math] имеет место неравенство [math]2a-1=-\frac13+\frac{2\sqrt{19}}3>0[/math], а при [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math], соответственно,[math]2a-1=-\frac13-\frac{2\sqrt{19}}3<0[/math].

Значит, [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math] соответствует условию задачи.

Решим систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\\2a-1\neq3a^2-7\end{array}\right.\;\;\left\{\begin{array}{c}a>\frac12\\a<-\sqrt{\frac73}\;или\;a>\sqrt{\frac73}\\a\neq\frac{1\pm\sqrt{19}}3\end{array}\right.[/math]

Так как [math]\frac{1+\sqrt{19}}3>\sqrt{\frac73}[/math], то

значит ответ будет: [math]\left\{\frac{1-\sqrt{19}}3\right\}\cup\left(\sqrt{\frac73};\;\frac{1+\sqrt{19}}3\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{19}}3;\;+\infty\right)[/math]

19

а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 100 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Показать ответ

Решение:

а) Да. Например, 2015=2011+4.

б) Нет. Число 100 дает остаток 1 при делении на 9. Чтобы сумма двух чисел с одинаковой суммой цифр давала остаток 1 при делении на 9, оба числа должны давать остаток 5 при делении на 9. От 1 до 100 всего 11 таких чисел: 5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95. Из них никакие два различных с одинаковой суммой цифр не дают в сумме 100(у чисел меньших или равных 50, сумма цифр равна 5; у чисел, больших 50, сумма цифр - 14)

в) Пусть четыре различных натуральных числа имеют одинаковую сумму цифр. Это означает, что все они дают и тот же остаток при делении на 9. Таким образом, разность любых двух из них будет кратна 9 (и не может быть равной 0), следовательно, эти числа будут членами некоторой арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math] (не обязательно последовательными)

Наименьшее значение сумма этих чисел будет принимать в том случае, если у каждого из чисел будет минимально возможная разрядность (7 предпочтительнее с этой точки зрения, чем 25, а 25 , в свою очередь, предпочтительнее, чем 106). Тогда наименьшую сумму будут давать те числа, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью [math]d=9[/math], начиная с однозначного (равного соответствующему остатку при делении на 9.)

Сумма цифр равна 1: 1+10+100+1000=1111

Сумма цифр равна 2: 2+11+20+101=134

Сумма цифр равна 3: 3+12+21+30=66

Сумма цифр равна 4: 4+13+22+31=70

Очевидно, что дальше сумма будет только возрастать, т.к. если [math]r[/math] - наименьшее из данных чисел, то из сумма будет [math]r+(r+9)+(r+18)+(r+27)=4r+54>66[/math] при [math]r\geq4[/math]

Итак, наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, является [math]66[/math].

Ответ а) да; б) нет; в) 66.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 138 617
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель