Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 10

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Коля отправил SMS-сообщения своим 15 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения равна 1 рубль 20 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Коли было 50 рублей. Сколько рублей останется у Коли после отправки всех сообщений?

2
2

На диаграмме показано обеспечение каждого жителя планеты лесными ресурсами. По горизонтали отмечены страны мира, по вертикали — лесные ресурсы на каждого жителя в гектарах. Определите по диаграмме разность между средним обеспечением лесными ресурсами по планете и в США.

Вариант 10

3
3

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе укажите S / π.

Вариант 10

4
4

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\log_\frac17(5-x)=-2[/math]

6
6

В треугольнике ABC угол С равен 90º, CH — высота, BC = 8, sin A = 1/4. Найдите АH.

7
7

Материальная точка движется прямолинейно по закону [math]x(t)=\frac{t^3}3-\frac{5t^2}2-6t+7[/math], где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 8 м/c?

8
8

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 72. У второго цилиндра высота в два раза больше, а радиус основания в три раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Вариант 10

9
9

Найдите значение выражения [math]15tg15^\circ\times tg285^\circ[/math]

10
10

В баке, имеющем форму цилиндра, на боковой стенке у дна закреплён кран. После его открытия вода, находящаяся в баке, начинает вытекать, и высота столба воды (м) меняется по закону [math]H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac g2k^2t^2[/math]где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, Но = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/80 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, g — ускорение свободного падения (g = 10 м/сек2). Найдите, через сколько секунд после открытия крана в баке не станет воды.

11
11

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 8 минут, второй и третий — за [math]\frac{16}3[/math] минут, первый и третий также за [math]\frac{16}3[/math] минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=\ln(x+7)^{11}-11x[/math]на отрезке [math]\left[-6,5;-4\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\frac1{ctg^2}-\frac1{\sin\left({\displaystyle\frac{\mathrm\pi}2}-x\right)}=1[/math]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right][/math]

Показать ответ

Решение:

Данное уравнение приведем к виду: [math]\frac1{ctg^2x}-\frac1{\cos x}=1[/math]. Уравнение определено при условии [math]\sin x\neq0[/math] и [math]\cos x\neq0[/math]. Преобразуем уравнение:[math]tg^2x-\frac1{\cos^2x}=1[/math][math]\frac1{\cos^2x}-1-\frac1{\cos x}=1[/math]. Пусть [math]\frac1{\cos x}=t[/math], Тогда получаем квадратное уравнение [math]t^2-t-2=0[/math] с корнями [math]t_1=-1;\;t_2=2[/math]. Имеем два уравнения [math]\frac1{\cos x}=-1;\;\frac1{\cos x}=2[/math] или [math]\cos x=-1;\;\cos x=\frac12.[/math] Решения первого уравнения не удовлетворяют условию [math]\sin x\neq0[/math]. Второе уравнение имеет решения: [math]x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]

б) Найдем корни в промежутке [math]\left[3\mathrm\pi;\frac{9\mathrm\pi}2\right][/math].

[math]\begin{array}{l}n=2,\;x=-\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{11\mathrm\pi}3\\\mathrm n=2,\;\mathrm x=\frac{\mathrm\pi}3+4\mathrm\pi=\frac{13\mathrm\pi}3\end{array}[/math]

Примечание: отбор корней можно произвести с помощью единичной окружности.

Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac{11\mathrm\pi}3,\;\frac{13\mathrm\pi}3[/math]

14

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S расстояние между прямыми BD и AS равно 2.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки А и S перпендикулярно прямой BD.

б) Найдите объём данной пирамиды, если её боковое ребро равно 5.

Показать ответ

Решение:

а) Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому [math]\mathrm{AC}\perp\mathrm{BD}[/math] (см. рисунок) С другой стороны, так как пирамида правильная вершина [math]\mathrm S[/math] проецируется в центр основания, поэтому основание высоты и точка пересечения диагоналей квадрата [math]\mathrm{ABCD}[/math] совпадают. Обозначим эту точку [math]\mathrm O[/math], плоскость [math](\mathrm{SAO})\perp\mathrm{BD}[/math], так как содержит 2 пересекающиеся прямые, перпендикулярные BD. Сечение плоскостью [math]\mathrm{AOS}[/math] образует [math]\bigtriangleup SAC[/math], так как точки [math]A,O,C[/math] лежат на одной прямой.

Вариант 10

б) Обозначим через [math]O[/math] точку пересечения диагоналей квадрата. Диагональ [math]AC\perp BD[/math] и высота пирамиды [math]SO\perp BD[/math], поэтому [math]BD\perp AOS[/math]. Пусть [math]E[/math] - основание перпендикуляра, опущенного из точки [math]O[/math] на ребро SA. Так как [math]BD\perp AOS[/math], то [math]BD\perp OE[/math]

Таким образом, [math]OE[/math] - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым [math]BD[/math] и [math]SA[/math]. Заметим, что [math]OE[/math] - высота прямоугольного треугольника [math]AOS[/math], опущенная на гипотенузу [math]AS[/math]. Пусть [math]AO=a[/math] , тогда [math]SO=\sqrt{25-a^2}[/math]. Площадь треугольника [math]AOS[/math] равна [math]\frac12SA\times OE=5[/math], с другой стороны равна [math]\frac12AO\times SO=\frac12a\sqrt{25-a^2}[/math]. Решим уравнение [math]\frac12a\sqrt{25-a^2}=5[/math]. Оно имеет положительные корни [math]a=\sqrt5,\;a=2\sqrt5[/math]

Пусть [math]a=\sqrt5[/math], тогда [math]SO=2\sqrt5[/math] и площадь основания данной пирамиды равна [math]\frac12(2a)^2=10[/math]. Объем пирамиды [math]SABCD[/math] равен [math]\frac13\times10\times2\sqrt5=\frac{20\sqrt5}3[/math]

Пусть [math]a=2\sqrt5[/math], тогда [math]SO=\sqrt5[/math] и площадь основания данной пирамиды равна [math]\frac12(4\sqrt5)^2=40[/math]. Объем пирамиды [math]SABCD[/math] равен [math]\frac13\times40\times\sqrt5=\frac{40\sqrt5}3[/math]

Ответ: [math]\frac{20\sqrt5}3[/math] и [math]\frac{40\sqrt5}3[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}\vert\log_3(9-x^2)-5\vert\;+\;\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4\\\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Найдем решения первого неравенства системы.

Из условия [math]9-x^2>0[/math] получаем, что неравенство определено для [math]-3<x<3[/math]. При таких значениях справедливо неравенство: [math]\log_3(9-x^2)\leq\log_39=2[/math]

Значит, [math]\log_3(9-x^2)-5<0[/math] при [math]x\in(-3;3)[/math], и первое неравенство системы приводится к виду [math]5-\log_3(9-x^2)+\log_3(9-x^2)\geq6x^2-x^4[/math] или [math]x^4-6x^2+5\geq0.[/math]

Пусть [math]x^2=t[/math], тогда получаем квадратное неравенство [math]t^2-6t+5\geq0[/math], которое имеет решения [math]t\leq1;\;t\geq5[/math]. Далее из простейших неравенств [math]x^2\leq1;\;x^2\geq5[/math] находим значения [math]x\in(-\infty;\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\lbrack\sqrt5;+\infty)[/math]. учитывая ограничение [math]-3<x<3[/math] получаем решения первого неравенства системы: [math]x\in(-3;\sqrt5\rbrack\cup\lbrack-1;1\rbrack\lbrack\sqrt5;3)[/math]

Найдем область определения второго неравенства системы.

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}3-x>0\\3-x\neq1\\\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\\\log_4\frac{x+5}{x+2}>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x0\end{array}\\\frac{x+5}{x+2}>1\end{array}\right.[/math] [math]x\in(-2;2)\cup(2;3)[/math]

Используя рационализацию второго неравенства на его области определения, получаем [math]\log_{3-x}(\log_4\frac{x+5}{x+2})\geq0[/math]; [math](3-x-1)(\log_4\frac{x+5}{x+2})-1)\geq0;[/math][math](2-x)(4-1)(\frac{x+5}{x+2}-4)\geq0;[/math] [math]\frac{(x-2)(x+1)}{(x+2)}\geq0[/math]

Для решения последнего неравенства применим метод интервалов. Учитывая ОДЗ получим [math]x\in(-2;1\rbrack\cup(2;3).[/math]

Найдем общую часть полученных решений неравенств системы: [math]\left\{1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)[/math]

Ответ: [math]\left\{1\right\}\cup\lbrack\sqrt5;3)[/math]

16

В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей.

а) Докажите, что АС параллельно MN.

б) Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD и АВСО, где О — точка пересечения BD и MN.

Показать ответ

Решение:

Из условия следует, что [math]S_{AND}=S_{MCD}=\frac12S_{ABCD}[/math] (см. рисунок)

Но тогда для треугольников [math]AND[/math] и [math]MCD[/math] с общим углом [math]D[/math] имеем [math]\frac12AD\times ND\times\sin\angle D=\frac12MD\times CD\times\sin\angle D[/math] или [math]\frac{AD}{MD}=\frac{CD}{ND}[/math] . Следовательно, треугольники [math]MND[/math] и [math]ACD[/math] подобны по второму признаку подобия, из чего следует, что [math]AC\parallel MN[/math].

Вариант 10

б) Так как [math]AC\parallel MN[/math], то точки [math]O[/math] и [math]N[/math] равноудалены от прямой [math]AC[/math], а значит, высоты треугольников [math]AOC[/math] и [math]ANC[/math] равны, поэтому их площади также равны. Следовательно, [math]S_{ANCB}=S_{ABC}+S_{AOC}=S_{ABCO}[/math], но [math]S_{ANCB}[/math] по площади составляет половину от [math]S_{ABCD}[/math], поэтому и [math]S_{ABCO}[/math] составляет половину от [math]S_{ABCD}[/math] по площади.

Ответ: 2:1

17

Гражданин Плюшкин выиграл по лотерейному билету в Британской национальной лотерее, в которой выигрыш не облагается налогом. На 800 тысяч долларов он купил предприятие, а остальные деньги положил в банк под 6% годовых от вложенной суммы.

В конце года выяснилось, что за год было реализовано продукции на 550 тысяч долларов, из них 350 тысяч долларов составили затраты производства (стоимость сырья, ремонт оборудования и т.п.) и 100 тысяч долларов уплачено персоналу. Остальные деньги составила прибыль гражданина Плюшкина. Через сколько лет общая сумма прибыли Плюшкина в первый раз превысит или будет равна начальному капиталу, вложенному в производство, если каждый год масштаб реализации продукции повышается на 10% от начального, затраты производства повышаются на 6% от первоначальных, а зарплата персонала увеличивается на 4% от первоначальной?

Показать ответ

За первый год прибыль составила 550-350-100=100 тысяч долларов. Увеличение прибыли каждый год составляло [math]550\times0,1-350\times0,06-100\times0,04=30[/math] тысяч долларов. Запишем ряд чисел равных прибылям: 100,130,160,190,220,250....

Последовательно будем складывать эти числа, пока сумма не достигнет 800.

100+130+160+190+220=800, таким образом за 5 лет суммарна прибыль будет равна 800 тысяч долларов.

Ответ: 5 лет.

18

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение [math]х^{10}-(2a\;+\;2\vert х\vert\;+\;а^2)5\;+\;х^2\;=\;2а\;+\;2\vert х\vert\;+\;а^2[/math] имеет ровно два различных решения.

Показать ответ

Решение:

Приведем данное уравнение к виду:

[math]x^{10}+x^2=(2a+2\left|x\right|+a^2)^5+2a+2\left|x\right|+a^2[/math] или [math]f(x^2)=f(2a+2\left|x\right|+a^2)[/math], где [math]f(p)=p^5+p[/math]. Так как производная [math]f`(p)=5p^4+1>0[/math] всегда больше нуля, то функция возрастает на всей области определения. Следовательно получаем равносильно уравнение [math]x^2=2a+2\left|x\right|+a^2[/math] или [math]x^2-2\left|x\right|-2a-a^2=0[/math]

Пусть [math]\left|x\right|=t[/math], тогда получим квадратное уравнение [math]t^2-2t-2a-a^2=0[/math], имеющее корни [math]t=-a;\;t=a+2[/math]. отсюда запишем [math]\left|x\right|=-a;\;\left|x\right|=a+2[/math] . Построим графики функций [math]a(x)=-\left|x\right|;\;a(x)=\left|x\right|-2[/math] . Первый график имеет "вершину" (0;0), а второй - (0;2). Решая систему [math]\left\{\begin{array}{l}a=-\left|x\right|\\a=\left|x\right|-2\end{array}\right.[/math] найдем координаты двух общих точек (-1;1) и (1;-1)

Рассмотрим семейство горизонтальных прямых.

Вариант 10

При [math]a\in(-\infty;-2)\cup\{-1\}\cup(0;+\infty)[/math] эти прямые пересекают построенный график, состоящий из двух уголков, ровно в двух точках. Значит, данное уравнение имеет ровно два различных решения при [math]a\in(-\infty;-2)\cup\{-1\}\cup(0;+\infty)[/math]

Ответ: [math](-\infty;-2)\cup\{-1\}\cup(0;+\infty)[/math]

19

Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а) при n = 6;

б) при n = 13;

в) при n = 2014?

Показать ответ

Решение:

а) Нельзя. С помощью первых шести натуральных чисел в сумме моено получить ва точных квадрата 4 и 9. Под числом 1 может быть записано только число 3, но под числом 6 тоже может быть записано только число 3. Противоречие с условием задачи.

б) Можно. [math]\begin{array}{ccccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\8&2&13&12&11&10&9&1&7&6&5&4&3\end{array}[/math]

Можно: в) Можно. Под каждым из чисел 102,103,.....,2013,2014 запишем числа 2014,2013,...,103,102 соответственно. тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная со 102го, равна [math]2116=46^2[/math]. Под каждым из чисел 21,22,...,99,100,101 запишем числа 101,100,99,...,22,21. тогда сумма чисел с 21го по 101й равна [math]121=11^2[/math]. Под каждым из чисел 16,17,18,19,20 запишем числа 20,19,18,17,16. Тогда сума чисел в каждом столбце, с 16го по 20, равна [math]36=6^2[/math]. Под каждым из чисел 1,2,...,14,15 запишем числа 15,14,...,2,1. Тогда сумма чисел в каждом столбце,с 1го по 15й, равна [math]16=4^2[/math]

а) нельзя б) можно в) можно
0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

509 260
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель