Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 11

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

На счету Сашиного мобильного телефона было 164 рубля, а после разговора с Таней осталось 84 рубля. Сколько минут длился разговор с Таней, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?

2
2

На рисунке изображён график осадков в городе N с 4 по 10 февраля 1994 года. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — количество осадков (в мм). Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков.

Вариант 11

3
3

Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вариант 11

4
4

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков.

Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

5
5

Найдите корень уравнения logx 25 = 2.

6
6

Основания равнобедренной трапеции равны 19 и 75. Тангенс острого угла равен 3/14. Найдите высоту трапеции.

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x), определённой на интервале (—4; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = — 2 или совпадает с ней.

Вариант 11

8
8

Конус объёмом 5,3 вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Найдите объём шара.

9
9

Найдите значение выражения [math]y=2x+\sqrt{4x^2-24x+36}[/math] при [math]x\leq3[/math].

10
10

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 3 • 10-6 φ. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 6 • 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 24 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением [math]t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}U[/math] (с), где [math]\alpha[/math] = 1,5 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение (в киловольтах) на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 54 с.

11
11

Плиточник должен уложить 180 м2 плитки. Если он будет укладывать на 5 м2 плитки в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

12
12

Найдите точку максимума функции [math]y=-\frac x{3969+x^2}[/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение 810,5x - 0,75 = 7 • 3х - 2- 4.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (1 ; 2,25].

Показать ответ

а) [math]81^{0,5x-0,75}=7\times3^{x-2}-4;[/math][math]3^{4(0,5x-0,75)}=7\times3^{x-2}-4;[/math][math]3^{2x-3}=7\times3^{x-2}-4;[/math][math]3\times3^{2x-4}=7\times3^{x-2}-4;[/math][math]3\times3^{2x-4}-7\times3^{x-2}+4=0;[/math]. Пусть [math]3^{x-2}=t,\;t>0[/math], тогда уравнение примет вид [math]3t^2-7t+4=0,\;t_1=1,\;t_2=\frac43[/math]. Вернемся к исходной переменной: [math]3^{x-2}=1,\;x=2[/math] и [math]3^{x-2}=\frac43,\;x=1+\log_34[/math]

Очевидно что [math]2\in(1;2,25\rbrack[/math] и [math]1<1+\log_34[/math]. остается проверить [math]1+\log_34\leq2,25[/math].

[math]1+\log_34\leq2,25[/math]; [math]\log_34\leq\frac54[/math]; [math]4\leq3^\frac54[/math]; [math]4^4\leq3^5[/math];[math]256\leq243[/math]. Так как равенство неверно, значит корень не принадлежит указанному промежутку.

Ответ: а) 2; log3 4; б) 2

14

На ребре A1D1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К, А1К : KD1 =1 : 2.

а) Постройте сечение куба, проходящее через точку К и параллельное прямым C1D и B1D1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Показать ответ

Решение:

Сделаем чертеж:

Вариант 11

В плоскости [math]A_1B_1C_1[/math] через точку [math]K[/math] проведем [math]KL\parallel B_1D_1[/math]. в плоскости [math]AA_1B_1[/math] через точку [math]M[/math] проведем [math]LM\parallel C_1D[/math]. Соединим точку [math]M[/math] с точкой [math]K[/math]. Треугольник [math]MLK[/math] - искомое сечение.

б) По условию [math]A_1K:KD_1=1:2[/math], тогда [math]A_1K:A_1D_1=1:3[/math]. [math]\bigtriangleup LA_1K\sim\bigtriangleup B_1A_1D_1[/math] по 1 признаку подобия.

Из подобия следует, что [math]\frac{A_1L}{A_1B_1}=\frac{LK}{B_1D_1}=\frac{A_1K}{A_1D_1}=\frac13[/math]. [math]A_1B_1=A_1D_1[/math], Значит [math]A_1L=A_1K=\frac13[/math]. Аналогично [math]A_1M=A_1K=\frac13[/math] из [math]\bigtriangleup A_1LM[/math].

Имеем [math]A_1M=A_1K=A_1L=\frac13[/math]. Прямоугольные треугольники [math]A_1KL,\;A_1KM,\;A_1LM[/math] Равны по двум катетам, значит [math]KL=KM=LM=\frac{B_1D_1}3=\frac{\sqrt2}3[/math]. [math]S_{KLM}=\frac{KL^2\sqrt3}4=\frac{\sqrt3}{18}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt3}{18}[/math]

15

Решите неравенство [math]\left(x-1\right)\left(2\log_3^2x-5\log_3x+2\right)<0[/math].

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]x>0[/math]

[math](x-1)(2\log_3^2x-5\log_3x+2)<0[/math]

[math](x-1)(\log_3x-2)(2\log_3x-1)<0[/math]

На ОДЗ выражение [math]\log_3x-2=\log_3x-\log_39[/math] совпадает по знаку с выражением [math]x-9[/math], а выражение [math]2\log_3x-1=2(\log_3x-\log_3\sqrt3)[/math] - с выражением [math]x-\sqrt3[/math]. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству [math](x-1)(x-9)(x-\sqrt3)<0[/math]. Решив его методом интервалов получим [math]x\in(-\infty;1)\cup(\sqrt3;9)[/math]. Учитывая ОДЗ [math]x\in(0;1)\cup(\sqrt3;9)[/math]

Ответ: [math]\left(0;\;1\right)\cup\left(\sqrt3;\;9\right)[/math]

16

Внутри прямого угла АОВ проведён луч ОС. В угол ВОС вписана окружность, касающаяся лучей ОВ и ОС в точках В и С соответственно, в угол АОС вписана окружность, касающаяся лучей ОА и ОС в точках А и С соответственно. Радиус одной из этих окружностей в 3 раза больше радиуса другой.

а) Докажите, что если Р и Q — центры этих окружностей, то ∠POQ = 45°.

б) Найдите косинус меньшего из углов АОС и ВОС.

Показать ответ

Решение:

а) Не нарушаю общности, можем считать, что большая окружность вписана в угол [math]AOC[/math]. Пусть [math]CQ=r,\;PC=3r[/math] (см. рисунок). Так как окружность с центром [math]P[/math] вписана в угол [math]AOC[/math] , то [math]PA\perp OA,\;PC\perp OC,\;OA=OC[/math] как отрезки касательных, проведенные из одной точки. Тогда [math]\bigtriangleup PAO=\bigtriangleup PCO[/math] и значит [math]\angle AOP=\angle COP[/math]. Аналогично [math]\angle COQ=\angle BOQ[/math]. Отсюда [math]\angle POQ=\angle POC+\angle QOC=\frac12\angle AOC+\frac12\angle BOC=\frac12\angle AOB=45^\circ[/math]. Тем самым доказано утверждение пункта а

Вариант 11

б) Обозначим [math]OA=OC=OB=x[/math]. Тогда [math]OP=\sqrt{9r^2+x^2}[/math], [math]OQ=\sqrt{r^2+x^2}[/math]. [math]PQ=3r+r=4r[/math]. Учитывая, что [math]\angle POQ=45^\circ[/math] по теореме косинусов [math]PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP\times OQ\times\frac{\sqrt2}2[/math]

[math]9r^2+x^2+r^2+x^2-\sqrt2\sqrt{9r^2+x^2}\times\sqrt{r^2+x^2}=16r^2[/math]

[math]x^2=(11\pm4\sqrt7)r^2[/math]

[math]\cos\angle COQ=\frac{OC}{OQ}=\frac x{\sqrt{r^2+x^2}}=\sqrt{\frac{11\pm4\sqrt7}{12\pm4\sqrt7}}[/math]

Если [math]\cos\angle COQ=\sqrt{\frac{11-4\sqrt7}{12-4\sqrt7}}[/math], то [math]\cos\angle BOC=\cos(2\angle COQ)=\frac{5-2\sqrt7}{6-2\sqrt7}<0[/math], что противоречит тому, что [math]\angle BOC<90^\circ[/math]

Если [math]\cos\angle COQ=\sqrt{\frac{11+4\sqrt7}{12+4\sqrt7}}[/math], то [math]\cos\angle BOC=\cos(2\angle COQ)=\frac{1+\sqrt7}4[/math]

Ответ: [math]\frac{1+\sqrt7}4[/math].

17

Предприниматель взял в аренду на 3 года помещения на условиях ежегодной платы (в конце года) С рублей. Имея некоторый первоначальный капитал, он удвоил его в течение года и оплатил аренду. Такая схема деятельности осуществлялась все три года. В результате в конце третьего года деятельности, после оплаты аренды предприниматель имел капитал в три раза превышающий первоначальный. Определите величину первоначального капитала, если аренда С составляла 12000 рублей.

Показать ответ

Пусть [math]x[/math] рублей первоначальный капитал предпринимателя, тогда [math]2x-С[/math] рублей - капитал после первого года

[math]2(2x-С)-C=4x-3c[/math] рублей - капитал после второго года.

[math]2(4x-3С)-C=8x-7c[/math] рублей - капитал после третьего года.

По условию к концу третьего года после оплаты аренды капитал предпринимателя в три раза превысил первоначальный, следовательно [math]8x-7c=x[/math]

[math]x=1,4\times12000=16800[/math]

Ответ: 16800 рублей

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство х3 + (а - 5)х2 + (4 - 3а)х + а2 - а ≤ 0 выполняется для всех х ≤ - 1.

Показать ответ

Решение:

Приведем исходное неравенство к виду

[math]a^2+a(x^2-3x-1)+(x^3-5x^2+4x)\leq0[/math]. Это неравенство является квадратным, относительно [math]a[/math]. Найдем корни уравнения: [math]a^2+a(x^2-3x-1)+(x^3-5x^2+4x)=0[/math]

[math]a_1=-x^2+4x,\;a_2=-x+1[/math]. Неравенство примет вид [math](a+x^2-4x)(a+x-1)\leq0[/math]. В координатной плоскости [math]Oxa[/math] проведем параболу [math]a=-x^2+4x[/math] и прямую [math]a=-x^2+1[/math] и расставим в получившихся областях знаки, которые примет [math](a+x^2-4x)(a+x-1)[/math] (см. рисунок)

Вариант 11

Так же проведем прямую [math]x=-1[/math]. Тогда видно, что множество [math]x\in(-\infty;-1\rbrack[/math] полностью содержится в решении неравенства (в области со знаком "-") при [math]a\in(a_1;a_2\rbrack[/math]

Найдем значения [math]a_1,\;a_2[/math]. [math]a_1[/math] - точка пересечения прямой [math]x=-1[/math] и параболы [math]a=-x^2+4x[/math], [math]a_1=-(-1)^2+4(-1)=-5[/math]. [math]a_2[/math] - точка пересечения прямой [math]x=-1[/math] и прямой [math]a=-x+1[/math]. [math]a_2=2[/math]

Ответ: [math]\left[-5;2\right][/math]

19

а) Могут ли 4 последовательных члена непостоянной арифметической прогрессии быть простыми числами?

б) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с разностью, не кратной 3. Какое наибольшее количество подряд идущих её членов могут быть простыми числами?

в) Известно, что 6 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии являются простыми числами. Найдите наименьшее значение, которое может принимать разность такой прогрессии.

Показать ответ

а) Да, могут. Например числа 5,11,17,23.

б) Заметим, что если d не делится на 3, то из чисел a, a+d,a+2d хотя бы одно делится на 3. Для простых чисел делимость на 3 означает равенство 3. Если a+2d=3, то a+d=2 и a=1, то число 1 не является простым. Если a+d=3, то a=2(a не может быть 1), но тогда a+2d=4 - не является простым.

Итак, чтобы 3 последовательных члена арифметической прогрессии со знаменателем, не кратным 3, были простыми числами необходимо, чтобы первый из них был равен 3. В этом случае при лбом значении четверный член a+3d=3+3d делится на 3, т.е. не является простым числом. Таким образом, 3 члена - наибольше возможное количество. Пример: 3,5,7

в) Известно, что числа a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d простые. Очевидно, что d четно. В противном случае хотя бы 3 из указанных различных чисел были бы четны, значит были бы не простыми.

Из предыдущего пункта следует так же, что d кратно 3. То есть уже имеем, что [math]d\geq6[/math]

Докажем что d:5. Предположим противное. Тогда если a:5, то число a+5d>5 и a+5d:5, значит в этом случае a+5d не является простым. если же a не кратно 5, то одно из чисел a+d, a+2d, a+3d, a+4d кратно 5. Так как каждое из них больше 5, то число, кратное 5, не является простым.

Итак, d делится на 2,3,5, то есть [math]d\geq30[/math]

Пример: d=30: 7,37,67,97,127,157.

Ответ: а) Да, например, 5, 11, 17, 23; б) 3 в) 30

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

317 548
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель