Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 12

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Флакон герметика для автомобиля стоит 180 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

2
2

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Дождевске со 2 по 14 марта 1972 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода было от 1,5 до 4,5 мм осадков?

Вариант 12

3
3

Середины соседних сторон прямоугольника, диагональ которого равна 17, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Вариант 12

4
4

Швейная фабрика к началу учебного года выполняет заказ на школьную форму. Первая бригада выполнила 49% заказа, а вторая — 51%. При этом первая бригада допустила 1% брака, а вторая — 0,9%. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине школьная форма окажется с браком.

5
5

Найдите корень уравнения [math]81^{x-5}=\frac13[/math].

6
6

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, считая стороны квадратных клеток равными 1

Вариант 12

7
7

На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x). Найдите точку отрезка [-2; 5], в которой касательная к графику у = f(x) параллельна прямой у = 5х - 7 или совпадает с ней

Вариант 12

8
8

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 90. Точка Е — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды ЕАВС

Вариант 12

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{3\log_{27}288}{5\log_32+2}[/math].

10
10

Водолазный колокол, содержащий v = 12 молей воздуха при давлении p1 = 2,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением [math]A=\alpha\nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}[/math], где [math]\alpha=5,75[/math] Дж/(моль*К) — постоянная, Т = 400 К — температура воздуха. Найдите, какое давление р2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 82800 Дж.

11
11

Часы со стрелками показывают 7 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

12
12

Найдите точку минимума функции у = Зх2 - 19х + 3 ln х.

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]8^{\frac23x-1}=11\cdot2^{x-3}-3[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [1,75; 4).

Показать ответ

Решение:

а) [math]8^{\frac23x-1}=11\times2^{x-3}-3[/math];[math]2^{3(\frac23x-1)}=11\times2^{x-2}-3;[/math][math]2^{x-3}=11\times2^{x-3}-3;[/math] [math]8\times2^{2x-6}-11\times2^{x-3}+3=0;[/math]. Пусть [math]2^{x-3}=t,\;t>0[/math], тогда уравнение примет вид [math]8t^2-11t+3=0[/math] [math]t_1=1;\;t_2=\frac38[/math]. Вернемся к замене: [math]2^{x-3}=1;\;x=3[/math]; [math]2^{x-3}=\frac38;\;x=\log_23[/math]

б) Очевидно, что [math]x=3[/math] принадлежит указанному промежутку и [math]\log_23<4[/math]

[math]\log_23\geq1,75[/math]; [math]\log_23\geq\frac74;[/math][math]3\geq2^\frac74;[/math][math]3^4\geq2^7;[/math][math]81\geq128;[/math] неверно, значит [math]\log_23[/math] не принадлежит указанному промежутку.

Ответ: log23; 3; б) 3

14

На ребре AD единичного куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К, АК : AD = 1 : 2.

а) Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точку К параллельно прямым C1D и B1D1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Показать ответ

Сделаем чертеж

Вариант 12

Точка [math]L[/math] выбрана так, что [math]KL\parallel B_1D_1[/math], точка [math]M[/math] такова, что [math]LM\parallel C_1D,[/math] и так далее. Тогда сечением является шестиугольник [math]KLMNPQ[/math], причем [math]AK=AL=B_1M=C_1N=C_1P=DQ=\frac12.[/math] По теореме Пифагора находим [math]KL=NP=LM=MN=PQ=KQ=\frac{\sqrt2}2.[/math] [math]\angle MNP=\angle NPQ=\angle PQK=\angle QKL=\angle KLM=\angle LMN[/math]

Шестиугольник [math]KLMNPQ\;[/math] - правильный, поэтому [math]S_{KLMNPQ}\;=6\times\frac{KL^2\sqrt3}4=\frac{3\sqrt3}4[/math]

Ответ: [math]\frac{3\sqrt3}4[/math].

15

Решите неравенство [math]\left(4-x\right)\left(2\log_{11}^2x-3\log_{11}x+1\right)>0[/math].

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]x>0[/math]

[math]\begin{array}{l}(4-x)(2\log_{11}^2x-3\log_{11}x+1)>0\\(x-4)(\log_{11}x-1)(2\log_{11}-1)<0\end{array}[/math]

на ОДЗ выражение [math]\log_{11}x-1=\log_{11}x-\log_{11}11[/math] совпадает по знаку с выражением [math]x-11[/math], выражение [math]2\log_{11}x-1=2(\log_{11}x-\log_{11}\sqrt{11})[/math] - с выражением [math]x-\sqrt{11}[/math]. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно [math](x-4)(x-\sqrt{11})(x-11)<0[/math]. Решив его методом интервалов, получим [math]x\in(-\infty;\;\sqrt{11})\cup(4;11)[/math]. Учитывая ОДЗ, [math]x\in(0;\;\sqrt{11})\cup(4;11)[/math]

Ответ: [math]\left(0;\;\sqrt{11}\right)\cup\left(4;\;11\right)[/math].

16

Внутри прямого угла АО В проведён луч ОС. В угол ВОС вписана окружность, касающаяся лучей ОВ и ОС в точках B и C соответственно, в угол АОС вписана окружность, касающаяся лучей ОА и ОС в точках А и С соответственно. Радиус одной из этих окружностей в 4 раза больше радиуса другой.

а) Докажите, что ОА = ОВ.

б) Найдите косинус меньшего из углов АОС и ВОС.

Показать ответ

Решение:

а) Не нарушая общности, можем считать, что большая окружность вписана в угол [math]AOC[/math]. Пусть [math]CQ=r;\;PC=4r[/math]. так как окружность с центром [math]P[/math] вписана в угол [math]AOC[/math], то [math]PA\perp OA,\;PC\perp OC,\;OA=OC[/math] как отрезки касательных, проведенные из одной точки. аналогично [math]OC=OB[/math], тогда [math]OA=OB[/math], что и требовалось доказать.

Вариант 12

Из того, что [math]PO[/math] и [math]QO[/math] - биссектрисы углов [math]AOC[/math] и [math]BOC[/math] соответственно, следует, что [math]\angle POQ=45^\circ[/math]

Обозначим [math]OA=OB=OC=x[/math], тогда [math]OP=\sqrt{16r^2+x^2\;},\;OQ=\sqrt{r^2+x^2},\;PQ=4r+r=5r[/math]. Учитывая, что [math]\angle POQ=45^\circ,[/math] по теореме косинусов имеем [math]PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP\times OQ\times\frac{\sqrt2}2[/math]

[math]16r^2+x^2+r^2+x^2-\sqrt2\sqrt{16r^2+x^2}\sqrt{r^2+x^2}=25r^2[/math], решая уравнение относительно [math]x^2[/math] , получим [math]x^2=\frac{33\pm5\sqrt{41}}2r^2[/math]

[math]\cos\angle COQ=\frac{OC}{OQ}=\frac x{\sqrt{r^2+x^2}}=\sqrt{\frac{33\pm5\sqrt{41}}{35\pm5\sqrt{41}}}.[/math]

Если [math]\cos\angle COQ=\sqrt{\frac{33-5\sqrt{41}}{35-5\sqrt{41}}}.[/math], то [math]\cos\angle BOC=\cos(2\angle COQ)=2\cos^2\angle COQ-1=2\times\frac{33-5\sqrt{41}}{35-5\sqrt{41}}-1=\frac{31-5\sqrt{41}}{35-5\sqrt{41}}<0[/math], что противоречит тому, что [math]\angle BOC<90^\circ[/math]

Если [math]\cos\angle COQ=\sqrt{\frac{33+5\sqrt{41}}{35+5\sqrt{41}}},[/math] то [math]\cos\angle BOC=\cos(2\angle COQ)=2\cos^2\angle COQ-1=2\times\frac{33+5\sqrt{41}}{35+5\sqrt{41}}-1=\frac{3+\sqrt{41}}{10}[/math]

Ответ: [math]\frac{3+\sqrt{41}}{10}[/math].

17

Прибыль «Незнайки» к концу года составила 9 408 000 рублей. Совет акционеров постановил распределить эту прибыль следующим образом: А рублей направить в фонд развития предприятия, 30% от А использовать для выплаты дивидендов акционерам, а 10% от А использовать на выплаты премий сотрудникам. Кроме того, было решено дополнительно выпустить акции для продажи на бирже ценных бумаг на сумму, равную половине суммы выплаченных дивидендов, в количестве 150 обыкновенных и 100 привилегированных (в 1,5 раза более дорогих) акций. Определите стоимость одной привилегированной акции.

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]x[/math] рублей часть прибыли, направленная в фонд развития предприятия, тогда [math]\frac{30}{100}x[/math] рублей было направлено на выплату дивидендов, [math]\frac{10}{100}x[/math] рублей - на выплату премий сотрудникам. Зная, что прибыль составила [math]9408000[/math] рублей, составим решим уравнение.

[math]x+\frac3{10}x+\frac1{10}x=9408000[/math]

[math]x=6720000[/math]

В фонд развития предприятия было направлено 6720000 рублей, на дивиденды - 2016000 рублей. 672000 - на премии сотрудникам.

Обозначим стоимость обыкновенных акций вечер t, тогда [math]\begin{array}{l}150t+100\times1,5t=0,5\times2016000\\t=3360\end{array}[/math]

3360 рублей стоит обыкновенная акция.

[math]3360\times1,5=5040[/math] стоит привилегированная акция

Ответ: 5040.

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство х3 + (2a - 4)х2 + (За - 12)х - 2а2 + 6а > 0 выполняется для всех х ≥ 2.

Показать ответ

Решение:

Приведем исходное неравенство к виду:

[math]2a^2-a(2x^2+3x+6)-(x^3-4x-12)<0[/math]

Это неравенство является квадратным относительно а. Найдем корни уравнения [math]2a^2-a(2x^2+3x+6)-(x^3-4x-12)=0[/math]

[math]a_1=x^2+2x;\;a_2=-\frac12x+3[/math]

Неравенство примет вид: [math](a-x^2-2x)(\;a+\frac12x-3)<0[/math]

В координатной плоскости [math]Oxa[/math] проведем параболу [math]a=x^2+2x[/math] и прямую [math]a=-\frac12x+3[/math] и расставим знаки в получившихся областях, которые принимает выражение [math](a-x^2-2x)(a+\frac12x-3)[/math]

Вариант 12

Линии [math]a=x^2+2x\;и\;a=-\frac12x+3[/math] проведены пунктиром, чтобы показать, что эти линии не принадлежат решению неравенства. Также проведем прямую [math]x=2[/math]. Тогда видно, что множество [math]x\in\lbrack2;+\infty)[/math] полностью содержится в решении неравенства, при [math]a\in(a_1;a_2)[/math]. При [math]a=a_1[/math] и при [math]a=a_2[/math] точка [math]x=2[/math] не принадлежит решению, поэтому точки [math]a_1,a_2[/math] не включаем в ответ.

Найдем значения [math]a_1,a_2.[/math]. [math]a_1[/math] - точка пересечения прямой [math]x=2[/math] и прямой [math]a=-\frac12x+3[/math], [math]a_1=-\frac12\times2+3=2[/math]. [math]a_2[/math] - точка пересечения прямой [math]x=2[/math] и параболы [math]a=x^2+2x[/math], [math]a_2=2^2+2\times2=8[/math]

Ответ: [math](2;8)[/math]

19

а) Могут ли 5 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии быть простыми числами?

б) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с разностью, не кратной 5. Какое наибольшее количество подряд идущих её членов могут быть простыми числами?

в) Известно, что 6 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии являются простыми, числами, большими 7. Найдите наименьшее значение, которое может принимать разность такой прогрессии.

Показать ответ

Решение:

а) Да, могут. Например, числа 5,11,17,23,29.

б) Заметим, что если d не делится на 5, то из чисел a,a+d,a+2d, a+3d, a+4d хотя бы одно делится на 5. Для простых чисел делимость на 5 означает равенство 5.

Если a+4d делится на 5, то a=1, но 1 не является простым числом.

Если a+3d делится на 5, то a=2 и d=1, но тогда a+2d=4 не является простым

Если a+2d=5 то а=3 и d=1, но тогда a+d=4 - не является простым.

Если a+d=5, то a=2 или a=3. При a=2 имеем d=3 и a+2d=8 - не простое. При a=3 имеем d=2 и a+3d=9 не простое.

Итак, чтобы 5 последовательных членов арифметической прогрессии со знаменателем, не кратным 5, были простыми числами, необходимо, чтобы первый из них был равен 5. В этом случае при любом значении d четвертый член a+5d=5+5d>5 делится на 5, то есть не является простым числом. таким образом, 5 членов - это наибольшее возможное количество (пример в пункте а).

Известно, что числа a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d простые. Очевидно, что d - четно. В противном случае хотя бы 3 из указанных различных чисел были бы четны, значит не простыми. Аналогично d кратно 3.

Из предыдущего пункта следует, что d:5. Так как данные числа больше 7, то ни одно из них не должно делиться на 7. Приведем пример для d=30. Ни одно из чисел a,a+30,a+60, a+90, a+120, a+150 не должно быть кратно 7, значит, a не должно давать остаток 2 при делении на 7.

Пример выполнения условий: d=30: 107, 137, 167, 197, 227, 257.

Ответ: а) Да, например, 5, 11, 17, 23, 29 б) 5 в) 30

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

317 545
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель