Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 13

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Клиент взял в кредит 25 000 рублей на полгода под 20%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через полгода выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

2
2

На диаграмме 70 показана среднемесячная температура воздуха в городе Новолесенск за каждый месяц 1964 года. По горизонтали указываются месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1964 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Вариант 13

3
3

В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 142°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Вариант 13

4
4

У Максима есть денежные монеты достоинством 1 рубль — 12 штук, 2 рубля — 5 штук, 5 рублей — 3 штуки, 10 рублей — 4 штуки. Наугад он достаёт одну монету и подбрасывает её. Какова вероятность того, что выпадет орёл пятирублёвой монеты?

5
5

Найдите корень уравнения log6(7 - х) = log6(2 - х) + 1.

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, высота СН равна 6, ВН = 12√6. Найдите cos А.

7
7

На рисунке изображён график функции у = F(x) — одной из первообразной некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 9). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-3; 6].

Вариант 13

8
8

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и объём равен 12√3.

Вариант 13

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{26}{\sin\left(-{\displaystyle\frac{47\pi}6}\right)\cdot\cos{\displaystyle\frac{32\pi}3}}[/math].

10
10

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. ( состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 5 кг и радиуса R = 8 см и двух боковых с массами М = 2 кг и радиусами R + h, где h - добавочная высота цилиндра. При этом момент инерции катушки относительно вращения, выражаемый в кг • см2, задаётся формулой [math]I=\frac{\left(m+2M\right)R^2}2+M\left(2Rh+h^2\right)[/math]. При каком максимальном значении добавочной высоты h момент инерции катушки не превышает предельного значения 402 кг • с. Ответ выразите в сантиметрах.

11
11

В понедельник акции компании подешевели на некоторое число процентов, а во вторник подорожали на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подешевели акции компании в понедельник?

12
12

Найдите наибольшее значение функции у = (х2 + 5х - 5)е7-х на отрезке [7; 15].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sin\left(3\pi-2x\right)+1=\cos\left(\frac\pi2-x\right)-\cos\left(\pi-x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π/2 ; 2π).

Показать ответ

Решение:

[math]\sin2x+1=\sin x+\cos x;[/math] [math]2s\mathrm{in}x\cos x+\cos^2x+\sin^2x=\sin x+\cos x;[/math][math](\sin x+\cos x)^2=\sin x+\cos x;[/math][math](\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x-1)=0;[/math]

[math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos x=0\\\sin x+\cos x=1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt2}2\sin x+\frac{\sqrt2}2\cos x=0\\\frac{\sqrt2}2\sin x+\frac{\sqrt2}2\cos x=\frac{\sqrt2}2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\sin(x+\frac{\mathrm\pi}4)=0\\\sin(x+\frac{\mathrm\pi}4)=\frac{\sqrt2}2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\x=-\frac{\mathrm\pi}4+(-1)^k\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πk},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\\\end{array}[/math]

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие промежутку [math]\lbrack\frac{\mathrm\pi}3;2\mathrm\pi)[/math]

[math]\begin{array}{l}n=1,\;x=\frac{3\mathrm\pi}4\\n=2,\;x=\frac{7\mathrm\pi}4\\k=1,\;x=\frac{\mathrm\pi}2\end{array}[/math]

Ответ: а) [math]-\frac\pi4+\pi\kappa,\;\frac\pi2+2\pi\kappa,\;\kappa\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac\pi2;\;\frac34\pi;\;\frac74\pi[/math]

14

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно √6, сторона основания 4.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую С1К и перпендикулярную плоскости BCC1, где К — середина стороны АС.

б) Найдите косинус угла между прямой С1К и плоскостью боковой грани ВВ1С1С

Показать ответ

Решение:

а) В треугольнике [math]ABC\;AH\perp BC[/math], через точку [math]K[/math] проводим [math]KM\parallel AH[/math], отсюда [math]KM\perp BC[/math]

[math]С_1С\perp(ABC)[/math], как высота прямой призмы, тогда [math]С_1С\perp KM[/math], поскольку [math]KM[/math] лежит в плоскости [math](ABC)[/math], [math]KM\perp(BB_1C_1)[/math] по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно по признаку перпендикулярности плоскостей следует, что [math](C_1MK)\perp(BB_1C_1)[/math], так как [math](C_1MK)[/math] содержит прямую [math](C_1MK)\perp KM[/math]. Значит [math](KC_1M)[/math] - искомое сечение.

Вариант 13

б) Проекция [math]C_1K[/math] на плоскость [math]BB_1C_1C[/math]: [math]MK\perp BC,\;C_1M[/math] - проекция [math]C_1K[/math]. [math]\angle KC_1M[/math] - искомый угол.

[math]\cos\angle KC_1M=\frac{C_1M^2+C_1K^2-MK^2}{2C_1M\times C_1K}[/math]

[math]\begin{array}{l}С_1M=\sqrt{C_1C^2+MC^2}=\sqrt{6+1}=\sqrt7\\C_1K=\sqrt{CC_1^2+CK^2}=\sqrt{6+4}=\sqrt{10}\\MK=KC\times\sin60^\circ=2\times\frac{\sqrt3}2=\sqrt3\end{array}[/math]

[math]\cos\angle KC_1M=\frac{7+10-3}{2\times\sqrt{70}}=\frac{14}{2\sqrt{70}}=\frac{\sqrt{70}}{10}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt{70}}{10}[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\frac3{x-1}+\frac1{x+2}\leqslant\frac1{x-1}+\frac3{x+2},\\2\log_x3-3\log_3x\geqslant1.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

[math]\begin{array}{l}\frac3{x-1}+\frac1{x+2}\leq\frac1{x-1}+\frac3{x+2};\\\frac{3(x+2)+x-1}{(x-1)(x+2)}\leq\frac{x+2+3(x-1)}{(x-1)(x+2)};\\\frac6{(x-1)(x+2)}\leq0\\x\in(-2;1)\end{array}[/math]

Решим второе неравенство системы.

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}x>0\\x\neq1\end{array}\right.[/math]

Пусть [math]\log_3x=t[/math], тогда [math]\frac2t-3t\geq1[/math]; [math]\frac{-3t^2-t+2}t\geq0[/math]

решив уравнение [math]3t^2+t-2=0[/math], получим [math]t_1=-1;\;t_2=\frac23[/math], тогда рассматриваемое неравенство примет вид [math]\frac{3(t-{\displaystyle\frac23})(t+1)}t\leq0[/math]. [math]t\in(-\infty;\;-1\rbrack\;\cup(0;\;\frac23\rbrack[/math]. Из условия [math]\log_3x\leq-1[/math] получим [math]x\leq\frac13[/math] и из условия [math]0\leq\log_3x\leq\frac23[/math] получим [math]x\in(1;\sqrt[3]9\rbrack[/math]. Учитывая ОДЗ, получим [math]x\in(0;\frac13\rbrack\cup(1;\sqrt[3]9\rbrack[/math]

Определим пересечение полученных решений первого и второго неравенства системы: [math]x\in(0;\frac13\rbrack[/math]

Ответ: (0; 1/3]

16

В треугольнике АВС высота СН и медиана СК делят угол АСВ на три равных угла. Площадь треугольника АВС равна 1,5 + √3.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник АВС окружности.

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим [math]\bigtriangleup ABC[/math]

Вариант 13

В [math]\bigtriangleup KCB[/math] высота [math]CH[/math] Является также биссектрисой, значит треугольник равнобедренный, [math]CH[/math] - медиана и [math]KH=HB=\frac14AB[/math]. В [math]\bigtriangleup ACH[/math] [math]CK[/math] - биссектриса, то [math]\frac{CH}{AC}=\frac{KH}{AK}=\frac12[/math], [math]CH=\frac12AC[/math] и [math]\bigtriangleup ACH[/math] - прямоугольный с гипотенузой [math]AC[/math], тогда [math]\angle HAC=30^\circ[/math]; [math]\angle ACH=60^\circ[/math], [math]2\alpha=60^\circ\;=>\;\alpha=30^\circ.[/math]

Итак, [math]\bigtriangleup ABC[/math] прямоугольный с гипотенузой [math]AB[/math] и острым углом [math]30^\circ[/math]

Вариант 13

б) Пусть [math]O[/math] - центр вписанной окружности, [math]CL,\;BN[/math] - биссектрисы, [math]OM=r[/math] - радиус вписанной окружности [math]\bigtriangleup ABC[/math].

[math]\angle OCM=45^\circ[/math], тогда [math]CM=OM=r[/math]

[math]\angle OBM=\frac12\angle ABC=30^\circ[/math], тогда [math]BM=OM\sqrt3=r\sqrt3[/math], [math]BC=r+r\sqrt3=r(\sqrt3+1);[/math][math]AC=BC\sqrt3=r\sqrt3(\sqrt3+1);[/math]

[math]S_{ABC}=\frac12AC\times BC=\frac12r^2\sqrt3(\sqrt3+1)^2=1,5+\sqrt3[/math]

[math]\begin{array}{l}r^2\sqrt3(\sqrt3+1)^2=3+2\sqrt3\\r=\frac{\sqrt2}2\end{array}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt2}2[/math]

17

Молокозавод ежедневно отправляет в магазины 12000 литровых пакетов молока (равное количество в каждый магазин). Подсчитано, что в понедельник выгоднее в четыре магазина молоко не отправлять, а предназначенное для них молоко распределять (в равной мере) среди остальных магазинов. При этом каждый магазин увеличивает количество разливного молока на 800 пакетов (это их предельная продажа). Сколько пакетов молока составляет предельная продажа?

Показать ответ

Решение:

Обозначим через [math]x[/math] количество магазинов, в которые молокозавод отправляет молоко. Тогда [math]\frac{12000}x[/math] пакетов молока реализуют магазины во все дни недели, кроме понедельника, а [math]\frac{12000}x+800[/math] в понедельник. По условию задачи в понедельник в четыре магазина молоко не отправляется , значит [math]\frac{12000}{x-4}[/math] пакетов отправляется в другие магазины по понедельникам. Составим и решим уравнение:

[math]\frac{12000}x+800=\frac{12000}{x-4},\;x>4[/math]

[math]x=10[/math]

[math]\frac{12000}{10-4}=2000[/math] пакетов молока составляет предельная продажа.

Ответ: 2000

18

При каких значениях параметра а система [math]\left\{\begin{array}{l}y=x^2+2x-5,\\y=3a-2x\end{array}\right.[/math] имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-3;2]?

Показать ответ

Решение:

Схематически изобразим график функции [math]y_1=x^2+2x-5[/math] при [math]x\in\lbrack-3;2\rbrack[/math]. Это фрагмент параболы с вершиной (-1;-6). При этом [math]y_2=3a-2x[/math] - это семейство параллельных прямых. Очевидно, что искомые значения параметра принадлежат [math](a_1;a_2\rbrack\cup\left\{a_3\right\}[/math], если точка касания, соответствующая [math]a_3[/math], принадлежит отрезку [math]\lbrack-3;2\rbrack[/math] и [math]a\in(a_1;a_2\rbrack[/math] в противном случае. Учитывая, что [math]y_1(-3)=-2;\;y_1(2)=3,\;[/math] определим координаты точек [math]A[/math] и [math]B[/math]: [math]A(-3;-2),\;B(2;3)[/math]

Вариант 13

[math]a_1:\;-2=3a-2(-3);\;a=-\frac83[/math]

[math]a_2:\;3=3a-2\times2;\;a=\frac73[/math]

Определим [math]a_3[/math]: уравнение [math]x^2+2x-5=3a-2x[/math] должно иметь единственное решение. Это будет в случае, когда дискриминант равен нулю. [math]D=36+12a=0;\;a=-3[/math]. В этом случае решением уравнения будет [math]x=-2\;\in\left[-3;2\right][/math]

Ответ: {-3}⋃(-8/3; 7/3]

19

На доске выписана последовательность a1, a2, ... a1010, при этом а1 = 3.

В каждом из следующих случаев определите а1000

а) Для любого натурального к среднее арифметическое первых к членов последовательности равно 3.

б) Для любого натурального к ≥ 2 среднее арифметическое первых к членов последовательности на 1 больше среднего арифметического первых (к — 1) членов последовательности.

в) Для всех нечётных натуральных к среднее арифметические первых k членов последовательности равны между собой и на 1 меньше средних арифметических первых 2m членов последовательность для любого натурального m.

Показать ответ

Решение: а) Покажем, что все [math]a_k=3.[/math] Действительно: [math]\frac{a_1+a_2}2=3;[/math] [math]a_2=2\times3-a_1=3;[/math] [math]\frac{a_1+a_2+a_3}3=3[/math]; [math]a_3=3\times3-a_1-a_2=3;\;...[/math]

Если [math]a_1=a_2=...=a_n=3[/math] и [math]\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{n+1}}{n+1}=3[/math], то [math]a_{n+1}=3(n+1)-a_1-a_2-...-a_n=3(n+1)-3n=3[/math]. Значит, [math]a_{1000}=3[/math].

б) Пусть среднее арифметическое первых n чисел равно [math]x_n[/math]. Тогда сумма первых n чисел равна [math]nx_n[/math], откуда [math]x_{n+1}=\frac{nx+a_{n+1}}{n+1}.[/math] С другой стороны, по условию [math]x_{n+1}=x_n+1[/math], откуда [math]x_n+1=\frac{nx+a_{n+1}}{n+1}[/math] и [math]a_{n+1}=n+x_n+1[/math].

Учитывая, что [math]x_n[/math] образуют арифметическую прогрессию с разностью 1, получим [math]x_n=3+(n-1)=n+2[/math] и [math]a_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1[/math], значит, [math]a_n=2n+1[/math] и [math]a_{1000}=2001; [/math]

в) Для любого нечетного [math]k[/math] среднее арифметическое первых [math]k[/math] чисел равно 3, так как при [math]k=1[/math] среднее арифметическое равно 3. Для четных [math]k[/math] среднее арифметическое равно 4. Тогда для четных [math]k[/math] [math]\frac{3(k-1)+a_k}k=4[/math]. [math]a_k=k+3;\;a_{1000}=1003[/math]

Ответ: а) 3 б) 2001 в) 1003

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

509 258
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель