Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 14

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

На бензоколонке один литр бензина стоит 31 рубль 50 копеек. Водитель залил в бак 40 л бензина и купил бутылку воды за 52 рубля. Сколько рублей сдачи он получит с 2000 рублей?

2
2

На диаграмме показано количество посетителей сайта любителей кошек во все дни с 21 по 30 мая 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей превышает наименьшее количество посетителей за день (в указанный период).

Вариант 14

3
3

Острые углы прямоугольного треугольника равны 37° и 53°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Вариант 14

4
4

Автоматическая линия изготавливает лампочки. Вероятность того, что готовая лампочка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая лампочка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную лампочку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную лампочку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка будет забракована системой контроля.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\left(\frac15\right)^{4x-13}=125[/math].

6
6

Найдите угол КLM. Ответ дайте в градусах.

Вариант 14

7
7

Прямая у = 11x + 16 является касательной к графику функции у = 2х3 + 4х2 + Зх. Найдите абсциссу точки касания.

8
8

Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 2√2, а боковые рёбра равны 5√3.

Вариант 14

9
9

Найдите значение выражения [math]y=\left(\sqrt{3\frac3{14}}-\sqrt{\frac5{14}}\right)\div\sqrt{\frac{40}7}[/math].

10
10

Трактор тащит сани с силой F = 72 кН, направленной под острым углом а к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 40 м вычисляется по формуле А = FS cos α. При каком максимальном угле α (в градусах), совершённая работа будет не менее 1440 кДж?

11
11

Семья состоит из мужа, жены и их сына студента. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 37,5%. Если бы зарплата мужа уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 39%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия сына?

12
12

Найдите наименьшее значение функции у = 4(х + 9)2 е 4х+1 на отрезке [-9,5; -0,25].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]2\cos^2x+\sin2x=\sin\left(x-\frac32\pi\right)-\cos\left(\frac\pi2+x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-π; 0).

Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}2\cos^2x+\sin2x=\cos x+\sin x\\2\cos^2x+2\sin x\cos x=\cos x+\sin x\\(2\;\cos x-1)(\cos x+\sin x)=0\\\left\{\begin{array}{l}2\cos x-1=0\\\cos x+\sin x=0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\cos x=\frac12\\tgx=-1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\\x=-\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\end{array}[/math]

Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие указанному промежутку.

[math]\begin{array}{l}k=0,\;x=-\frac{\mathrm\pi}3;\\n=0,\;x=-\frac{\mathrm\pi}4\end{array}[/math]

Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};\;-\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}.[/math]

б) [math]-\frac{\mathrm\pi}3;\;-\frac{\mathrm\pi}4[/math]

14

В прямой призме АВСА1В1С1 в основании лежит треугольник АВС со сторонами АВ = АС = 16, ВС = 10. Боковое ребро равно √33.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую А1В и перпендикулярную плоскости СС1В1

б) Найдите косинус угла между А1В и плоскостью боковой грани СС1В1В.

Показать ответ

В треугольнике [math]A_1B_1C_1[/math] проведем высоту [math]A_1H[/math]. Заметим, что [math]BB_1\perp(A_1B_1C_1)[/math], так как высота прямой призмы перпендикулярна плоскости основания. Тогда [math]BB_1\perp A_1H[/math], поскольку прямая [math]A_1H[/math] лежит в плоскости [math](A_1B_1C_1)[/math]. Тогда [math]A_1H\perp(CC_1B)[/math] по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Отсюда по признаку перпендикулярности плоскостей следует, что [math](BHA_1)\perp(CC_1B)[/math], так как плоскость [math](A_1B_1C_1)[/math] содержит прямую, перпендикулярную плоскости [math](CC_1B)[/math]. Значит [math]\bigtriangleup BHA_1[/math] - искомое сечение.

Вариант 14

б) Так как [math]A_1H\perp(CC_1B_1)[/math], [math]BH[/math] является проекцией [math]BA_1[/math] на плоскость [math](CC_1B_1)[/math], а значит искомый угол равен углу [math]HBA_1[/math]. [math]A_1H[/math] - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит, [math]A_1H[/math] - медиана, [math]B_1H=\frac12B_1C_1=\frac12BC=5[/math]. [math]BH=\sqrt{BB_1^2+B_1H^2}=\sqrt{33+25}=\sqrt{58}[/math], так как [math]A_1B_1=AB[/math]. В прямоугольном треугольнике [math]AA_1B[/math] по теореме Пифагора [math]A_1B=\sqrt{AB^2+AA_1^2}=\sqrt{256+33}=17[/math]. [math]\cos\angle HBA_1=\frac{HB}{A_1B}=\frac{\sqrt{58}}{17}[/math]

Ответ: [math]\frac{\sqrt{58}}{17}[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\frac5{x-1}+\frac2{x+2}\geqslant\frac2{x-1}+\frac5{x-2},\\\log_{x-3}\left(x^2-6x+7\right)\leqslant1.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

[math]\begin{array}{l}\frac5{x-1}-\frac2{x-1}\geq\frac5{x+2}-\frac2{x+2};\\\frac3{x-1}\geq\frac3{x+2};\\\frac1{x-1}-\frac1{x+2}\geq0\\\frac3{(x-1)(x+2)}\geq0\\x\in(-\infty;\;-2)\cup(1;+\infty)\end{array}[/math]

Решим второе неравенство системы:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}x-3>0\\\begin{array}{c}x-3\neq1\\x^2-6x+7>0\end{array}\end{array}\right.[/math]

[math]x\in(3+\sqrt2;+\infty)[/math]

Исходное неравенство равносильно неравенству:

[math]\log_{x-3}(x^2-6x+7)\leq\log_{x-3}(x-3)[/math]

На ОДЗ [math]x-3>1[/math], поэтому должно выполняться условие [math]\begin{array}{l}x^2-6x+7\leq x-3\\x^2-7x+10\leq0\\x\in\lbrack2;5\rbrack\end{array}[/math]

Учитывая ОДЗ, решением второго неравенства является промежуток [math]\left[3+\sqrt2;\;5\right][/math]

Найдем пересечение решений первого и второго неравенств, [math]x\in\left[3+\sqrt2;\;5\right][/math]

Ответ: (3+√2; 5]

16

В треугольнике MNP высота PQ и медиана PL делят угол MPN на три равных угла. Площадь треугольника MNP равна 6 + 4√3.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник MNP окружности.

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим [math]\bigtriangleup MNP[/math]:

Вариант 14

В [math]\bigtriangleup LPN[/math] высота [math]PQ[/math] является также биссектрисой, значит, [math]\bigtriangleup LPN[/math] равнобедренный, PQ - медиана и [math]LQ=QN=\frac14MN[/math]. В [math]\bigtriangleup MPQ\;PL\;-\;[/math] биссектриса, тогда [math]\frac{PQ}{MP}=\frac{LQ}{ML}=\frac12,[/math] следовательно [math]\bigtriangleup MPQ[/math] - прямоугольный с гипотенузой [math]MP[/math], тогда [math]\angle QMP=30^\circ[/math], [math]\angle MPQ=60^\circ[/math], [math]2\alpha=60^\circ\;=>a=30^\circ.[/math]

Итак [math]\bigtriangleup MNP[/math] - прямоугольный с гипотенузой [math]MN[/math] и острым углом [math]30^\circ[/math].

Вариант 14

б) Пусть [math]O[/math] - центр вписанной окружности, [math]PT,\;NR[/math] - биссектрисы, [math]OD=r[/math] - радиус вписанной окружности.

[math]\angle OPD=45^\circ[/math], тогда[math]PD=OD=r[/math]. [math]\angle OND=\frac12\angle MNP=30^\circ[/math] тогда [math]ND=OD\sqrt3=r\sqrt3[/math], [math]NP=r+r\sqrt3=r(\sqrt3+1)[/math]. [math]MP=NP\sqrt3=r\sqrt3(\sqrt3+1)[/math]

[math]S_{MNP}=\frac12MP\times NP=\frac12r^2\sqrt3(\sqrt3+1)^2[/math]

По условию [math]S_{MNP}=6+4\sqrt3[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac12r^2\sqrt3(\sqrt3+1)^2=6+4\sqrt3\\r=\sqrt2\end{array}[/math]

Ответ: [math]\sqrt2[/math]

17

В течение года цена дивана два раза увеличивалась на один и тот же процент. Первоначальная цена составляла 10000 рублей. После второго повышения она составила 12 100 рублей. На сколько процентов повысилась цена оба раза?

Показать ответ

Решение:

Пусть на [math]x\%[/math] повышалась цена дивана ежегодно, тогда [math]10000\left(1+\frac x{100}\right)^2[/math] рублей цена дивана после второго повышения. По условию новая цена дивана составила 12100 рублей. Составим и решим уравнение

[math]10000\left(1+\frac x{100}\right)^2=12100,\;x>0[/math]

x=10

Цена дивана повысилась на 10%

Ответ: 10

18

При каких значения параметра а система [math]\left\{\begin{array}{l}y=x^2+8x-2,\\y=4a-2x\end{array}\right.[/math] имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6 ; 2]?

Показать ответ

Решение:

Схематически изобразим график функции [math]y_1=x^2+8x-2[/math] при [math]x\in\left[-6;2\right][/math]. Это фрагмент параболы с вершиной (-4;-18). При этом [math]y_2=4a-2x[/math] - это семейство параллельных прямых. Очевидно, что искомые значения параметра принадлежат промежутку [math](a_1;a_2)\cup\left\{a_3\right\}[/math], если точка касания, соответствующая [math]a_3[/math], принадлежит отрезку [math]\left[-6;2\right][/math] и [math]a\in(a_1;a_2\rbrack[/math] в противном случае. Учитывая, что [math]y_1(-6)=-14;\;y_1(2)=18,\;[/math] определим координаты точек [math]A,B:\;A(-6;-14),\;B(2,18)\;[/math]

Вариант 14

[math]\begin{array}{l}a_1:\;4a_1-2(-6)=-14;\;a_1=-\frac{13}2\\a_2:\;4a_2-2\times2=18;\;a_2=\frac{11}2\end{array}[/math]

Определим [math]a_3[/math]: уравнение [math]x^2+8x-2=4a-2x[/math] должно иметь единственное решение. Уравнение будет иметь единственное решение, когда дискриминант равен 0. [math]D=100+8+16a=0,\;a=-\frac{27}4[/math] в этом случае [math]x[/math] равен решению уравнения [math]x^2+10x+25=0[/math], то есть [math]x=-5\in\left[-6;2\right][/math]

Ответ: {-27/4}⋃(-13/2; 11/2]

19

На доске выписана последовательность а1, а2, ... , а500, при этом а1 = 7.

В каждом из следующих случаев определите а500

а) Для любого натурального m среднее геометрическое первых m членов последовательности равно 7.

б) Для любого натурального m среднее арифметическое первых m членов последовательности на 3 меньше среднего арифметического первых (m — 1) членов последовательности.

в) Для всех нечётных натуральных m средние арифметические первых m членов последовательности равны между собой и на 3 меньше средних арифметических первых 2k членов последовательность для любого натурального k.

Показать ответ

Решение:

а) Покажем, что все [math]a_k=7[/math]. Действительно, [math]\sqrt{a_1a_2}=7;\;a_2=\frac{49}{a_1};[/math], [math]\sqrt[3]{a_1a_2a_3}=7;\;\;a_1a_2a_3=7^3;\;a_3=\frac{7^3}{a_1a_2}[/math]

Если [math]a_1=a_2=...=a_n=7[/math] и [math]{\sqrt[n]{a_1a_2...a}}_n=7[/math], то [math]a_{n+1}=\frac{7^{n+1}}{a_1a_2...a_3}[/math]. Значит [math]a_{500}=7.[/math]

б) пусть среднее арифметическое первых (m-1) чисел равно [math]x_{m-1}[/math]. Тогда сумма первых m-1 чисел равна [math](m-1)x_{m-1}[/math], откуда [math]x_m=\frac{a_m+(m-1)x_{m-1}}m[/math]. С другой стороны, по условию [math]x_m=x_{m-1}-3[/math], откуда [math]\frac{a_m+(m-1)x_{m-1}}m=x_{m-1}-3;\;a_m=x_{m-1}-3m[/math]

Учитывая, что [math]x_m[/math] образуют арифметическую прогрессию с разностью -3, получим [math]x_m=7-3(m-1)=10-3m[/math]; [math]x_{m-1}=10-3(m-1)=13-3m[/math]; [math]a_m=13-6m[/math], значит [math]a_{500}=13-6\times500=-2987.[/math]

в) Для любого нечетного числа m среднее арифметическое первых m чисел равно 7, так как при k=1 среднее арифметическое равно 3. Для четных m среднее арифметическое равно 10. Тогда для четных m выполняется равенство [math]\frac{7(m-1)+a_m}m=10;\;a_m=3m+7[/math], [math]a_{500}=1507.[/math]

Ответ: а) 7 б) -2987 в) 1507

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

523 769
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель