Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 15

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В школе есть пятиместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 28 человек?

2
2

На графике показан процесс нагревания чайника. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения чайника, на оси ординат — температура чайника в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут чайник нагреется от 45°С до 90°С

3
3

Диагонали ромба ABCD равны 9 и 14. Найдите длину вектора АВ + AD

4
4

На собеседовании при приёме на работу соискателю задают вопросы, касающиеся образования, опыта работы, полученных навыков и знаний, владения иностранными языками. Чтобы претендовать на должность руководителя отдела, соискатель должен набрать на собеседовании не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, опыт работы и полученные знания и навыки. Чтобы претендовать на должность референта, нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, полученные знания и навыки, владение иностранными языками. Вероятность того, что соискатель М. получит не менее 70 баллов по блоку «образование», равна 0,6, по блоку «опыт работы» — 0,8, по блоку «знания и навыки» — 0,7 и по блоку «иностранные языки» — 0,5. Найдите вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\log_4(17-2x)=\log_47[/math]

6
6

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, а основание равно 8. Найдите радиус r вписанной окружности. В ответ запишите r √21.

7
7

На рисунке изображен график y= f`(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-4,5; 5). Найдите точку максимума функции f(x)

8
8

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует углы 30°, 30°, 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Объём параллелепипеда равен 27√2. Найдите длину диагонали.

9
9

Найдите значение выражения logx(xy7), если logy х = 1/5.

10
10

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pVk = const, где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (k = 4/3) из начального состояния, в котором const = 287500 Па ∗ m4, начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 4,6 ∗ 106 Па? Ответ выразите в кубических метрах.

11
11

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

12
12

Найдите наибольшее значение функции у = 4 cos x - 2x - 2 на отрезке [0; π/2].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]2^{x+3}-3^{x^2+2x-6}=3^{x^2+2x-5}-2^x[/math]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (0; 3].


Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}2^{x+3}+2^x=3^{x^2+2x-5}+3^{x^2+2x-6}\\2^x(2^3+1)=3^{x^2+2x-6}(1+3)\\2^x\times9=3^{x^2+2x-6}\times4\\2^{x-2}=3^{(x-2)(x+4)}\end{array}[/math]

Прологарифмируем обе части уравнения при основании, равном 2.

[math]\begin{array}{l}\log_22^{x-2}=\log_23^{(x-2)(x+4)}\\(x-2)\log_22=(x-2)(x+4)\log_23\\(x-2)(1-(x+4))\log_23)=0\\x=2;\;x=\log_32-4\end{array}[/math]

б) [math]2\in(0;3\rbrack[/math] [math]0<\log_22\;\log_32-4\not\in\;(0;3\rbrack[/math]

Ответ: а) 2; [math]\log_32-4[/math] б) 2.

14

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S расстояние между прямыми BD и AS равно 2.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки А и S перпендикулярно прямой BD.

б) Найдите объём данной пирамиды, если её боковое ребро равно 5.

Показать ответ

Решение:

а) Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому [math]\mathrm{AC}\perp\mathrm{BD}[/math] (см. рисунок) С другой стороны, так как пирамида правильная вершина [math]\mathrm S[/math] проецируется в центр основания, поэтому основание высоты и точка пересечения диагоналей квадрата [math]\mathrm{ABCD}[/math] совпадают. Обозначим эту точку [math]\mathrm O[/math], плоскость [math](\mathrm{SAO})\perp\mathrm{BD}[/math], так как содержит 2 пересекающиеся прямые, перпендикулярные BD. Сечение плоскостью [math]\mathrm{AOS}[/math] образует [math]\bigtriangleup SAC[/math], так как точки [math]A,O,C[/math] лежат на одной прямой.

Вариант 10

б) Обозначим через [math]O[/math] точку пересечения диагоналей квадрата. Диагональ [math]AC\perp BD[/math] и высота пирамиды [math]SO\perp BD[/math], поэтому [math]BD\perp AOS[/math]. Пусть [math]E[/math] - основание перпендикуляра, опущенного из точки [math]O[/math] на ребро SA. Так как [math]BD\perp AOS[/math], то [math]BD\perp OE[/math]

Таким образом, [math]OE[/math] - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым [math]BD[/math] и [math]SA[/math]. Заметим, что [math]OE[/math] - высота прямоугольного треугольника [math]AOS[/math], опущенная на гипотенузу [math]AS[/math]. Пусть [math]AO=a[/math] , тогда [math]SO=\sqrt{25-a^2}[/math]. Площадь треугольника [math]AOS[/math] равна [math]\frac12SA\times OE=5[/math], с другой стороны равна [math]\frac12AO\times SO=\frac12a\sqrt{25-a^2}[/math]. Решим уравнение [math]\frac12a\sqrt{25-a^2}=5[/math]. Оно имеет положительные корни [math]a=\sqrt5,\;a=2\sqrt5[/math]

Пусть [math]a=\sqrt5[/math], тогда [math]SO=2\sqrt5[/math] и площадь основания данной пирамиды равна [math]\frac12(2a)^2=10[/math]. Объем пирамиды [math]SABCD[/math] равен [math]\frac13\times10\times2\sqrt5=\frac{20\sqrt5}3[/math]

Пусть [math]a=2\sqrt5[/math], тогда [math]SO=\sqrt5[/math] и площадь основания данной пирамиды равна [math]\frac12(4\sqrt5)^2=40[/math]. Объем пирамиды [math]SABCD[/math] равен [math]\frac13\times40\times\sqrt5=\frac{40\sqrt5}3[/math]

Ответ: [math]\frac{20\sqrt5}3[/math] и [math]\frac{40\sqrt5}3[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-4\right)\log_x\left(5-x\right)\geqslant0,\\30^x-27\cdot6^x-25\cdot5^{x-2}+27\leqslant0.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Решим первое неравенство.

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>0\\x\neq1\end{array}\\5-x>0\end{array}\right.x\in(0;1)\cup(1;5)[/math]

На ОДЗ неравенство равносильно неравенству:

[math](x^2-4)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]; [math](x-2)(x+2)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]

С учетом ОДЗ, [math]x\in(0;1)\cup\left[2;4\right][/math]

Решим второе неравенство

[math]\begin{array}{l}5^x(6^x-1)+27(1-6^x)\leq0\\(5^x-27)(6^x-1)\leq0\\5^x=27\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6^x=1\\x=\log_527\;\;\;\;\;x=0\\x\in\left[0;\;\log_527\right]\end{array}[/math]

Ответ: [math]\left(0;\;1\right)\cup\left[2;\;\log_527\right][/math]

16

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, а продолжение стороны АС эта прямая пересекает в точке Р.

а) Докажите, что [math]\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PA}=1.[/math]

б) Найдите, в каком отношении точка М делит сторону АВ, если ВС : BN = 7 : 5 и АС : СР = 8 : 3.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть прямая [math]MN[/math] пересекает продолжение стороны [math]AC[/math] за точку [math]C[/math]. (Случай за точку [math]A[/math] абсолютно аналогичен). Проведем через точку [math]C[/math] прямую, параллельную [math]AB[/math]. Прямая пересекает [math]AC[/math] в точке [math]K[/math].

Вариант 15

[math]\bigtriangleup AMP\sim\bigtriangleup CKP[/math] по первому признаку. Следовательно [math]\frac{AM}{CK}=\frac{PA}{PC}[/math], [math]CK=\frac{AM\times PC}{PA}[/math]

[math]\bigtriangleup BMN\sim\bigtriangleup CKN[/math]. Следовательно [math]\frac{MB}{CK}=\frac{BN}{NC}[/math], [math]CK=\frac{MB\times NC}{BN}[/math]

Тогда [math]\frac{AM\times PC}{PA}=\frac{MB\times NC}{BN}[/math] и [math]\frac{AM}{MB}\times\frac{BN}{NC}\times\frac{PC}{PA}=1[/math]

б) [math]BC:BN=7:5[/math]. Пусть [math]BC=7x,\;BN=5x[/math], тогда [math]NC=7x-5x=2x[/math] и [math]\frac{BN}{NC}=\frac52[/math]. [math]AC:CP=8:3[/math]. Пусть [math]AC=8y;\;CP=3y[/math], [math]AP=11y[/math]. [math]\frac{CP}{PA}=\frac3{11}\times\frac{AM}{MB}\times\frac52\times\frac3{11}=1[/math], [math]\frac{AM}{MB}=\frac{22}{15}[/math]

Ответ: [math]\frac{22}{15}[/math]

17

Клиент взял в банке 12 000 000 рублей в кредит под 20% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до целого числа).

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]a[/math] рублей - сумма кредита, [math]x[/math] рублей - ежегодный платеж, [math]m\%[/math] - годовой процент. Тогда каждый год оставшаяся сумма умножается на [math]t=(1+\frac m{100})[/math]

После первой выплаты сумма долга составит [math]a_1=at-x[/math]

После второй выплаты [math]a_2=a_1t-x=(at-x)t-x=at^2-(t+1)x[/math]

Аналогичным образом после третьей выплаты останется [math]a_3=at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x[/math]

По условию за три выплаты клиент оплатил кредит полностью.

[math]\begin{array}{l}at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x=0\\x=\frac{at^3(t-1)}{t^3-1}\\a=12000000,\;m=20,\;t=1,2\\x=\frac{12000000\times1,2^3\times0,2}{1,2^3-1}\approx5696703\end{array}[/math]

Ответ: 5 696 703

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение [math]\frac a{9^x}+a=-1-\frac{9^{-2x}}3[/math] имеет ровно два корня, больший из которых не меньше 0,5.

Показать ответ

Пусть в данном уравнении 2 корня, [math]x_1<x_2,\;x_2\geq0,5[/math]

Сделаем замену [math]9^{-x}=t,\;t\in(0;+\infty)[/math]

Тогда уравнение примет вид [math]at+a+1+\frac{t^2}3=0[/math]. Пусть это квадратное уравнение имеет два корня [math]t_1>t_2>0[/math]. Тогда условие будет выполняться, если [math]x_2\geq0,5[/math], для переменной [math]t[/math] [math]t_2\leq\frac13[/math]

Перепишем уравнение в виде [math]a(t+1)=-1-\frac{t^2}3;\;[/math][math]a(t+1)=\frac{-3-t^2}3;\;[/math][math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

Исследуем функцию [math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

ОДЗ: [math]t\neq-1[/math], Функция не имеет предела при [math]t->\infty[/math]

[math]a`(t)=-\frac13\times\frac{2t(t+1)-(t^2+3)\times1}{(t+1)^2}=\frac{(t-1)(t+3)}{-3(t+1)^2}[/math]

[math]a`(t)=0[/math] при [math]t=1,\;t=-3[/math] (см. рисунок Вариант 15)

[math]a(1)=-\frac23;\;a(-3)=2[/math]; [math]a(0)=-1;\;\;a(\frac13)=-\frac79[/math]

построим график [math]y=a(t)[/math]

По рисунку видно, что условие [math]t_1>t_2>0,\;t_2\leq\frac13[/math] выполняется при [math]a\in(-1;-\frac23\rbrack[/math]

Вариант 15

Ответ: (-1; -7/9]

19

Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?

б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Показать ответ

Решение:

Обозначим число лис в зоопарке буквой c, львов - l, тигров - t. Тогда им ежедневно дают [math]2c+14t+21l[/math] кг мяса, а посетителей бывает [math]20c+160t+230l=P[/math]

а) По условию [math]2c+14t+21l=70[/math], где [math]\{c,t,l\}\subset\mathbb{Z}[/math]. 70 делится на 7 и [math]14t+21l[/math] делится на 7, значит 2с, а следовательно, и с делится на 7. Если [math]с=7[/math], то [math]14+7(2t+3l)=70[/math], [math]2t+3l=8[/math]. При [math]t\in\mathbb{N}\;l<\frac83[/math] и делится на 2, значит [math]l=2,t=1[/math] и число посетителей равно [math]20\times7+160\times1+230\times2=760[/math]

б) По условию, [math]2c+14t+21l=420[/math]. Может ли [math]20c+160]t+230l[/math] быть меньше 4000?

[math]20c+160t+230l=10(2c+16t+23l)>10(2c+14t+21l)=10\times420=4200[/math]. Получилось, что [math]20c+160t+230l>4200[/math], значит, при таких условиях не может ежедневно распределяться 420кг мяса

в) Нам дано, что [math]2c+14t+21l=111[/math]. Так как количество животных натуральные числа, [math]l[/math] нечетно и [math]21l\leq111-(2+14),\;[/math][math]21l\leq95,\;[/math][math]l\leq4,\;[/math] то есть [math]l=3[/math] или [math]l=1[/math]

1) [math]l=1[/math], тогда [math]2с+14t+21=111;[/math][math]2с+14t=90;[/math][math]с+7t=45;[/math][math]с=45-7t;[/math][math]t\leqslant6\frac27[/math]. Число посетителей:

[math]P=20c+160t+230l=20(45-7t)+160t+230=1130+20t[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е.при [math]t=6[/math], [math]P=1130+20\times6=1250[/math].

2) [math]l=3[/math], тогда [math]2с+14t+21\times3=111;[/math][math]2с+14t=48;[/math][math]c=24-7t\geqslant1;[/math][math]t\leqslant3\frac27[/math]

[math]P=20c+160t+230\times3=20t+1170[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е. при [math]t=3[/math]. [math]P=20\times3+1170=1230[/math]

Наибольшее число посетителей 1250.

Ответ: а) 760 б) не может в) 1250

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

910 100
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель