Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 15

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Стоимость проездного билета на месяц 1700 рублей, а стоимость одной поездки — 60 рублей. Студент купил проездной билет и сделал за месяц 33 поездки. На сколько рублей он потратил бы больше, если бы каждый раз покупал билет на одну поездку?

2
2

На графике показан процесс нагревания чайника. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения чайника, на оси ординат — температура чайника в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут чайник нагреется от 45°С до 90°С

3
3

Диагонали ромба ABCD равны 9 и 14. Найдите длину вектора АВ + AD

4
4

Магазин покупает сливочное масло у двух молокозаводов. 40% масла первого и 20% масла второго молокозавода имеет жирность 80%. Всего жирность 80% имеет 35% закупленного масла. Найдите вероятность того, что масло, купленное в магазине, произведено первым молокозаводом.

5
5

Найдите корень уравнения 25-х = 4,5 • 95-х

6
6

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, а основание равно 8. Найдите радиус r вписанной окружности. В ответ запишите r √21.

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(10) — F(2).

8
8

Площадь поверхности тетраэдра равна 1,8. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра

9
9

Найдите значение выражения logx(xy7), если logy х = 1/5.

10
10

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pVk = const, где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (k = 4/3) из начального состояния, в котором const = 287500 Па ∗ m4, начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 4,6 ∗ 106 Па? Ответ выразите в кубических метрах.

11
11

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

12
12

Найдите наибольшее значение функции у = 4 cos x - 2x - 2 на отрезке [0; π/2].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}+\left(\frac73\right)^{\sin2x}=2[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π; -7π/2).

Показать ответ

Решение:

а) [math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}+\left(\frac37\right)^{-\sin2x}=2[/math]

Пусть [math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}=t[/math], [math]t+\frac1t=2;\;[/math][math]t^2-2t+1=0;\;[/math][math]t=1.[/math]

[math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}=1;[/math][math]\sin2x=0;[/math][math]x=\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]\begin{array}{l}k=-10,\;x=-5\mathrm\pi;\\\mathrm k=-9,\;\mathrm x=-\frac{9\mathrm\pi}2;\\\mathrm k=-8,\;\mathrm x=-4\mathrm\pi.\end{array}[/math]

Ответ:

а) [math]\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-5\mathrm\pi,\;-\frac{9\mathrm\pi}2,\;-4\mathrm\pi[/math]

14

Дана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна 18, а высота равна 24.

а) Постройте сечение, проходящее через две противоположные вершины основания и перпендикулярное одному из боковых рёбер.

б) Найдите косинус угла между смежными боковыми гранями.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду [math]\mathrm{EABCD}[/math] и построим сечение, проходящее через вершины [math]\mathrm B[/math] и [math]\mathrm D[/math], перпендикулярное ребру [math]\mathrm{AE}[/math]. Проведем [math]\mathrm{BK}\perp\mathrm{AE}[/math] и докажем, что [math]DK\perp AE[/math] (см. рисунок (а) )

Вариант 15

В треугольниках [math]AKB[/math] и [math]AKD[/math] сторона [math]AK[/math] - общая, [math]AB=AD[/math] и [math]\angle BAK=\angle DAK[/math]. Следовательно [math]\bigtriangleup AKB=\bigtriangleup AKD[/math] по первому признаку равенства треугольников. Поэтому [math]\angle AKB=\angle AKD=90^\circ[/math]. Значит, [math]AE\perp DK[/math] и [math]AE\perp[/math] плоскости [math]BKD[/math]. Таким образом, [math]BKD[/math] - искомое сечение.

б) Пусть [math]EH[/math] - высота пирамиды [math]EABCD[/math] (см. рисунок (б))

[math]AC=BD=AB\sqrt2=18\sqrt2[/math], [math]AH=\frac12AC=9\sqrt2[/math] [math]AE=\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{(9\sqrt2)^2+24^2}=\sqrt{738}[/math]

Рассмотрим равнобедренный треугольник [math]ABE[/math]. Апофему [math]EM[/math] найдем из [math]\bigtriangleup MBE[/math], учитывая, что [math]MB=\frac12AB=9[/math].

[math]EM=\sqrt{BE^2-MB^2}=\sqrt{738-81}=\sqrt{657}[/math]

найдем высоту [math]BK[/math] из формулы площади [math]\bigtriangleup AEB[/math].

[math]S_{AEB}=\frac12EM\times AB=\frac12EA\times BK[/math]

Отсюда [math]BK=\frac{EM\times AB}{EA}=18\frac{\sqrt{657}}{\sqrt{738}}[/math]

Так как [math]\bigtriangleup AKB=\bigtriangleup AKD[/math], то [math]DK=BK[/math]. По теореме косинусов для [math]\bigtriangleup BKD:[/math] [math]BD^2=DK^2+BK^2-2DK\times BK\times\cos\alpha[/math], где [math]\alpha=\angle BKD[/math] - угол между смежными боковыми гранями.

[math]\begin{array}{l}\left(18\sqrt2\right)^2=\frac{657\times18^2}{738}\times2\times(1-\cos\alpha)\\\cos\alpha=-\frac9{73}\end{array}[/math]

Ответ: [math]-\frac9{73}[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-4\right)\log_x\left(5-x\right)\geqslant0,\\30^x-27\cdot6^x-25\cdot5^{x-2}+27\leqslant0.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Решим первое неравенство.

ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x>0\\x\neq1\end{array}\\5-x>0\end{array}\right.x\in(0;1)\cup(1;5)[/math]

На ОДЗ неравенство равносильно неравенству:

[math](x^2-4)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]; [math](x-2)(x+2)(x-1)(5-x-1)\geq0[/math]

С учетом ОДЗ, [math]x\in(0;1)\cup\left[2;4\right][/math]

Решим второе неравенство

[math]\begin{array}{l}5^x(6^x-1)+27(1-6^x)\leq0\\(5^x-27)(6^x-1)\leq0\\5^x=27\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6^x=1\\x=\log_527\;\;\;\;\;x=0\\x\in\left[0;\;\log_527\right]\end{array}[/math]

Ответ: [math]\left(0;\;1\right)\cup\left[2;\;\log_527\right][/math]

16

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, а продолжение стороны АС эта прямая пересекает в точке Р.

а) Докажите, что [math]\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PA}=1.[/math]

б) Найдите, в каком отношении точка М делит сторону АВ, если ВС : BN = 7 : 5 и АС : СР = 8 : 3.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть прямая [math]MN[/math] пересекает продолжение стороны [math]AC[/math] за точку [math]C[/math]. (Случай за точку [math]A[/math] абсолютно аналогичен). Проведем через точку [math]C[/math] прямую, параллельную [math]AB[/math]. Прямая пересекает [math]AC[/math] в точке [math]K[/math].

Вариант 15

[math]\bigtriangleup AMP\sim\bigtriangleup CKP[/math] по первому признаку. Следовательно [math]\frac{AM}{CK}=\frac{PA}{PC}[/math], [math]CK=\frac{AM\times PC}{PA}[/math]

[math]\bigtriangleup BMN\sim\bigtriangleup CKN[/math]. Следовательно [math]\frac{MB}{CK}=\frac{BN}{NC}[/math], [math]CK=\frac{MB\times NC}{BN}[/math]

Тогда [math]\frac{AM\times PC}{PA}=\frac{MB\times NC}{BN}[/math] и [math]\frac{AM}{MB}\times\frac{BN}{NC}\times\frac{PC}{PA}=1[/math]

б) [math]BC:BN=7:5[/math]. Пусть [math]BC=7x,\;BN=5x[/math], тогда [math]NC=7x-5x=2x[/math] и [math]\frac{BN}{NC}=\frac52[/math]. [math]AC:CP=8:3[/math]. Пусть [math]AC=8y;\;CP=3y[/math], [math]AP=11y[/math]. [math]\frac{CP}{PA}=\frac3{11}\times\frac{AM}{MB}\times\frac52\times\frac3{11}=1[/math], [math]\frac{AM}{MB}=\frac{22}{15}[/math]

Ответ: [math]\frac{22}{15}[/math]

17

Клиент взял в банке 12 000 000 рублей в кредит под 20% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до целого числа).

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]a[/math] рублей - сумма кредита, [math]x[/math] рублей - ежегодный платеж, [math]m\%[/math] - годовой процент. Тогда каждый год оставшаяся сумма умножается на [math]t=(1+\frac m{100})[/math]

После первой выплаты сумма долга составит [math]a_1=at-x[/math]

После второй выплаты [math]a_2=a_1t-x=(at-x)t-x=at^2-(t+1)x[/math]

Аналогичным образом после третьей выплаты останется [math]a_3=at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x[/math]

По условию за три выплаты клиент оплатил кредит полностью.

[math]\begin{array}{l}at^3-\frac{t^3-1}{t-1}x=0\\x=\frac{at^3(t-1)}{t^3-1}\\a=12000000,\;m=20,\;t=1,2\\x=\frac{12000000\times1,2^3\times0,2}{1,2^3-1}\approx5696703\end{array}[/math]

Ответ: 5 696 703

18

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение [math]\frac a{9^x}+a=-1-\frac{9^{-2x}}3[/math] имеет ровно два корня, больший из которых не меньше 0,5.

Показать ответ

Пусть в данном уравнении 2 корня, [math]x_1<x_2,\;x_2\geq0,5[/math]

Сделаем замену [math]9^{-x}=t,\;t\in(0;+\infty)[/math]

Тогда уравнение примет вид [math]at+a+1+\frac{t^2}3=0[/math]. Пусть это квадратное уравнение имеет два корня [math]t_1>t_2>0[/math]. Тогда условие будет выполняться, если [math]x_2\geq0,5[/math], для переменной [math]t[/math] [math]t_2\leq\frac13[/math]

Перепишем уравнение в виде [math]a(t+1)=-1-\frac{t^2}3;\;[/math][math]a(t+1)=\frac{-3-t^2}3;\;[/math][math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

Исследуем функцию [math]a=\frac{-3-t^2}{3(t+1)};\;[/math]

ОДЗ: [math]t\neq-1[/math], Функция не имеет предела при [math]t->\infty[/math]

[math]a`(t)=-\frac13\times\frac{2t(t+1)-(t^2+3)\times1}{(t+1)^2}=\frac{(t-1)(t+3)}{-3(t+1)^2}[/math]

[math]a`(t)=0[/math] при [math]t=1,\;t=-3[/math] (см. рисунок Вариант 15)

[math]a(1)=-\frac23;\;a(-3)=2[/math]; [math]a(0)=-1;\;\;a(\frac13)=-\frac79[/math]

построим график [math]y=a(t)[/math]

По рисунку видно, что условие [math]t_1>t_2>0,\;t_2\leq\frac13[/math] выполняется при [math]a\in(-1;-\frac23\rbrack[/math]

Вариант 15

Ответ: (-1; -7/9]

19

Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?

б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Показать ответ

Решение:

Обозначим число лис в зоопарке буквой c, львов - l, тигров - t. Тогда им ежедневно дают [math]2c+14t+21l[/math] кг мяса, а посетителей бывает [math]20c+160t+230l=P[/math]

а) По условию [math]2c+14t+21l=70[/math], где [math]\{c,t,l\}\subset\mathbb{Z}[/math]. 70 делится на 7 и [math]14t+21l[/math] делится на 7, значит 2с, а следовательно, и с делится на 7. Если [math]с=7[/math], то [math]14+7(2t+3l)=70[/math], [math]2t+3l=8[/math]. При [math]t\in\mathbb{N}\;l<\frac83[/math] и делится на 2, значит [math]l=2,t=1[/math] и число посетителей равно [math]20\times7+160\times1+230\times2=760[/math]

б) По условию, [math]2c+14t+21l=420[/math]. Может ли [math]20c+160]t+230l[/math] быть меньше 4000?

[math]20c+160t+230l=10(2c+16t+23l)>10(2c+14t+21l)=10\times420=4200[/math]. Получилось, что [math]20c+160t+230l>4200[/math], значит, при таких условиях не может ежедневно распределяться 420кг мяса

в) Нам дано, что [math]2c+14t+21l=111[/math]. Так как количество животных натуральные числа, [math]l[/math] нечетно и [math]21l\leq111-(2+14),\;[/math][math]21l\leq95,\;[/math][math]l\leq4,\;[/math] то есть [math]l=3[/math] или [math]l=1[/math]

1) [math]l=1[/math], тогда [math]2с+14t+21=111;[/math][math]2с+14t=90;[/math][math]с+7t=45;[/math][math]с=45-7t;[/math][math]t\leqslant6\frac27[/math]. Число посетителей:

[math]P=20c+160t+230l=20(45-7t)+160t+230=1130+20t[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е.при [math]t=6[/math], [math]P=1130+20\times6=1250[/math].

2) [math]l=3[/math], тогда [math]2с+14t+21\times3=111;[/math][math]2с+14t=48;[/math][math]c=24-7t\geqslant1;[/math][math]t\leqslant3\frac27[/math]

[math]P=20c+160t+230\times3=20t+1170[/math] наибольшее при наибольшем [math]t[/math], т.е. при [math]t=3[/math]. [math]P=20\times3+1170=1230[/math]

Наибольшее число посетителей 1250.

Ответ: а) 760 б) не может в) 1250

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

664 946
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель