Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 1

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Тариф покупки электроэнергии — 1 руб. 14 коп. за 1 кВт/ч, услуги по передаче — 1 руб. 82 коп. за 1 кВт/ч и иные услуги 12 коп. за 1 кВт/ч, расход в месяц составил 294 кВт/ч. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за этот месяц?

2
2

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Дождевске со 2 по 14 марта 1972 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода было от 1,5 до 4,5 мм осадков?

3
3

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Вариант 3

4
4

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?

5
5

Найдите корень уравнения 4log16(6x - 6) = 6.

6
6

В треугольнике ABC дано: AB = BC = 10, [math]AC=2\sqrt{19}[/math]. Найдите sin A.

7
7

На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (—8; 8). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответ укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

8
8

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объём пирамиды.

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac xy[/math], если [math]\frac{x+3y}{y-3x}=5.[/math]

10
10

Трактор тащит сани с силой F = 72 кН, направленной под острым углом а к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 40 м вычисляется по формуле А = FS cos α. При каком максимальном угле α (в градусах), совершённая работа будет не менее 1440 кДж?

11
11

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 48 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 36 минут после старта он опережал второй автомобиль на полкруга. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=\frac34x^\frac43-2x+2.[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]16^{\sin^2x}+16^{\cos^2x}=10[/math]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

Решение:

a) [math]16^{\sin^2x}+16^{\cos^2x}=10[/math]

[math]16^{\sin^2x}+16^{1-\sin^2x}=10[/math]

[math]16^{\sin^2x}+\frac{16}{16^{\sin^2x}}=10[/math]

Обозначим [math]16^{\sin^2x}=t,\;t\geq0[/math]

Уравнение примет вид [math]t+\frac{16}t=10,\;t^2-10t+16=0[/math]

[math]t_1=2,\;t_2=8.[/math]

[math]\begin{array}{l}16^{\sin^2x}=2,\\2^{4\sin^2x}=2,\\4\sin^2x=1,\\\sin^2x=\frac14,\\\sin x=\pm\frac12,\\x=\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}.\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}16^{\sin^2x}=8,\\2^{4\sin^2x}=2^3,\\4\sin^2x=3,\\\sin^2x=\frac34,\\\sin x=\pm\frac{\sqrt3}2,\\x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}.\end{array}[/math]

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие промежутку[math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math]

Вариант 17

[math]x_{1,2}=\pm\frac{\mathrm\pi}6,x_{3,4}=\pm\frac{\mathrm\pi}3,x_5=\frac{2\mathrm\pi}3,x_6=\frac{5\mathrm\pi}6.[/math]

Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{\mathrm\pi}3;\;-\frac{\mathrm\pi}6;\;\frac{\mathrm\pi}6;\;\frac{\mathrm\pi}3;\;\frac{2\mathrm\pi}3;\;\frac{5\mathrm\pi}6[/math]

14

В основание цилиндра высотой 24 и радиусом основания 8 вписан тупоугольный треугольник АВС, в котором ВС = 12, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, перпендикулярной плоскостям BB1C1C и А1ВС и проходящей через точку А, если АА1, BB1 и CC1 — образующие цилиндра

б) Найдите величину угла между плоскость B1BC и A1BC.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть [math]O[/math] и [math]O_1[/math] - центры оснований цилиндра, тогда [math]F[/math] и [math]F_1[/math] - середины хорд [math]BC[/math] и [math]B_1C_1[/math] соответственно (см. рисунок). Покажем, что [math]AFF_1[/math] - искомая плоскость. [math]A_1F[/math] - медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника [math]A_1BC[/math]. [math]FF_{1\;}\parallel\;BB_1[/math], значит, [math]FF_{1\;}\perp\;(ABC)[/math] и, в частности, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math]. Итак, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math] и [math]A_1F\;\perp\;BC[/math], тогда [math](AFF_1)\perp BC[/math], откуда [math](AFF_1)\perp A_1BC[/math] и [math](AFF_1)\perp BB_1C_1C[/math]. Сечением призмы [math]ABCA_1B_1C_1[/math] плоскостью [math]AFF_1[/math] является прямоугольник [math]ADD_1A_1[/math]

б) Угол между плоскостями [math]B_1BC[/math] и [math]A_1BC[/math] - это угол [math]A_1FF_1:[/math]

Вариант 17

[math]A_1F\;\in\;(A_1BC)[/math], [math]FF_1\;\in\;(B_1BC)[/math]. [math]\bigtriangleup A_1CB\;[/math] - равнобедренный, [math]\;A_1F\perp BC,[/math], [math]B_1BCC_1[/math] - прямоугольник, [math]FF_1\;\parallel\;BB_1[/math] и [math]FF_1\;\perp\;BC[/math], отсюда [math]\angle A_1FF_1[/math] - линейный угол двугранного угла между плоскостями [math]A_1CB[/math] и [math]B_1BC[/math].

Из [math]\bigtriangleup A_1FF_1[/math] [math]\angle A_1F_1F=90^\circ[/math] [math]tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}[/math]; [math]A_1F_1=AF;\;AF=AO-FO.[/math]

Из [math]\bigtriangleup OFC[/math], где [math]\angle OFC=90^\circ[/math], [math]FC=6,[/math], найдем [math]FO=\sqrt{OC^2-FC^2}=2\sqrt7[/math]. [math]AF=8-2\sqrt7.[/math]

[math]tg\angle A_1FF_1=\frac{8-2\sqrt7}{24}=\frac{4-\sqrt7}{12}[/math]

[math]\angle A_1FF_1=arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

Ответ: [math]arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52,\\2\log_\frac12(x-2)-\log_\frac12(x^2-x-2)\geq1.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1)[math]4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52[/math]

[math]2^{2(x-1)}=4^{x-1}=\frac{4^x}4;[/math][math]8^{\frac23(x-2)}=4^{x-2}=\frac{4^x}{16};[/math]

[math]4^x-\frac{4^x}4+\frac{4^x}{16}>52,\frac{13}{16}4^x>52,\;x>3,\;x\in\left(3;+\infty\right)[/math]

2) ОДЗ: [math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\x^2-x-2>0\end{array}\right.x>2\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_\frac12\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\geq1\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)}{(x+1)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-5)}{2(x+1)}\leq0\\\end{array}[/math].

[math]\begin{array}{l}x\in(-1;5\;\rbrack\\\end{array}[/math], с учетом ОДЗ [math]\begin{array}{l}x\in(2;5\;\rbrack\\\end{array}[/math]

3) [math]\begin{array}{l}(2;5\;\rbrack\cap(3,+\infty)=\;(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}x\in(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

16

Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • DO.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Найдите радиус описанной вокруг трапеции окружности, если основания трапеции равны 6 и 8.

Показать ответ

Решение:

а) В трапеции [math]ABCD[/math] треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] подобны, поскольку [math]\angle OAD=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OBC[/math] как накрест лежащие при параллельных прямых [math]AD[/math] и [math]BC[/math] и секущих [math]AC[/math] и [math]BD[/math] соответственно (см. рисунок)

Вариант 17

Значит, [math]\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}[/math]. Умножая почленно это равенство на равенство [math]AO\times CO=BO\times DO[/math] из условия задачи, получим [math]AO^2=DO^2[/math]. Отсюда [math]AO=DO[/math], [math]BO=CO[/math] и треугольники [math]AOB[/math] и [math]DOC[/math] равны по первому признаку. Следовательно [math]AB=CD[/math]

б) Т.к. Трапеция [math]ABCD[/math] равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. обозначим ее радиус через [math]R[/math].

Треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] - равнобедренные и прямоугольные. Значит [math]\angle OAD=45^\circ[/math] и [math]CO=\frac{BC}{\sqrt2}[/math], [math]DO=\frac{AD}{\sqrt2}[/math]. По теореме синусов для треугольника ACD имеем: [math]\frac{CD}{\sin\angle CAD}=2R,\;R=\frac{CD}{\sqrt2}[/math]

[math]CD^2=CO^2+DO^2=\frac12(AD^2+BC^2)=50[/math]

Отсюда [math]CD=5\sqrt2[/math] и R=5

Ответ: 5

17

Холдинг «Вертолёты России» планирует выпустить в первом квартале 20% годового плана, во втором — увеличить производство в 1,5 раза, в четвёртом выпустить 102 вертолёта. В третьем квартале, во время отпусков, как показывает статистика, выпускается половина от среднего арифметического количества выпускаемых вертолётов во втором и четвёртом кварталах. Какое количество вертолётов планируется выпустить холдингом в третьем квартале?

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]x[/math] вертолетов планируется выпустить за год. Тогда в первом квартале выпустят [math]0,2x[/math] вертолетов, во втором квартале [math]0,3x[/math], в третьем [math]\frac12\times\frac{0,3x+102}2[/math]. Составим и решим уравнение:

[math]\begin{array}{l}0,2x+0,3x+\frac{0,3x+102}4+102=x\\x=300\end{array}[/math]

[math]\frac{0,3\times300+102}4=48[/math] вертолетов планируется выпустить в третьем квартале.

Ответ: [math]48[/math]

18

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система [math]\left\{\begin{array}{l}\left(\vert x\vert-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=9,\\\left(x+2\right)^2+y^2=a^2\end{array}\right.[/math] имеет единственное решение.

Показать ответ

Если [math]x\geq0[/math], то уравнение [math](\vert x\vert-5)^2+(y-4)^2=9[/math] задаёт окружность [math]\omega_1[/math] с центром в точке С1(5; 4) радиусом 3, а если [math]x<0[/math], то оно задает окружность [math]\omega_2[/math] с центром в точке C2(-5; 4) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях a уравнение [math](x+2)^2+y^2=a^2[/math] задаёт окружность [math]\omega[/math] с центром в точке C(-2; 0) радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей [math]\omega_1[/math] и [math]\omega_2[/math]

Демонстрационный вариант

Из точки С проведем луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью [math]\omega_1[/math], где A1 лежит между С и С1. Так как [math]CC_1=\sqrt{\left(5+2\right)^2+4^2}=\sqrt{65}[/math], то [math]CA_1=\sqrt{65}-3,\;CB_1=\sqrt{65}+3[/math]

При [math]aCB_1[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_1[/math] не пересекаются

При [math]CA_1<a<CB_1[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_1[/math] имеют общие две точки.

При [math]a=CA_1[/math] или [math]a=CB_1[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_1[/math] касаются.

Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью [math]\omega_2[/math], где A2 лежит между C и C2. Так как [math]CC_2=\sqrt{(-5+2)^2+4^2}=5[/math], то CA1 = 5 - 3 =2, CB2 = 5 + 3 = 8.

При [math]aCB_2[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_2[/math] не пересекаются

При [math]CA_2<a<CB_2[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_2[/math] имеют общие две точки.

При [math]a=CA_2[/math] или [math]a=CB_2[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_2[/math] касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей [math]\omega_1[/math] и [math]\omega_2[/math] и не пересекается с другой. Так как [math]CA_2<CA_1<CB_2<CB_1[/math], то условию задачи удовлетворяют только числа a = 2 и a = [math]\sqrt{65}+3[/math]

Ответ: 2; [math]\sqrt{65}+3[/math]

19

Бесконечную последовательность b1, b2, b3 , ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n b1 + b2 + ...+ bn—1 < bn.

а) Существует ли особенная последовательность, у которой все члены меньше 2015?

б) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая геометрическая прогрессия {сn}, что bn — сn < 2015 для всех n?

в) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая арифметическая прогрессия {аn}, что bn — аn < 2015 для всех n?

Показать ответ

Решение:

а) Нет, не существует. Предположим противное: пусть [math]\left\{b_n\right\}[/math] - искомая особенная последовательность. Ясно, что [math]b_2>b_1,\;b_3>b_1+b_2>2b_1[/math], [math]\;b_4>b_1+b_2+b_3>3b_1[/math], так как любой [math]b_j>b_1[/math] при [math]j\neq1[/math]. Таким образом [math]b_n>b_1+...+b_{n-1}>(n-1)b_1[/math] при [math]n>1[/math]. Тогда [math](n-1)b_1<2015,\;n<\frac{2015}{b_1}+1,[/math] что неверно, так как [math]n[/math] - произвольное натуральное число.

б) Да, существуют. Приведем пример.

Пусть [math]b_n=c_n=2^n.[/math]. Тогда [math]b_1+...+b_{n-1}=1+...+2^{n-1}=2^n-1<b_n[/math], [math]b_n-c_n=0<2015[/math]

в) Нет, не существуют. Предположим противное. Пусть [math]\left\{b_n\right\}[/math] и [math]\left\{a_n\right\}[/math] - последовательности, удовлетворяющие условию.

Пусть [math]d[/math] - разность арифметической прогрессии [math]\left\{a_n\right\}[/math]. Тогда [math]b_n-a_n>b_1+b_2+...+b_{n-1}-a_1-(n-1)d=[/math] [math]-a_1+(b_1-d)+(b_2-d)+...+(b_{n-1}-d).[/math]

Так как [math]b_n>nb_1[/math], то найдется такое [math]n_0[/math], что при [math]n>n_0\;b_n>d+1.[/math]

Обозначим [math]-a_1+(b_1-d)+...+(b_{n_0}-d)=k[/math] - фиксированное число. Пусть [math]n>n_0+1[/math]. Тогда [math]b_n-a_n>k+n-n_0-1[/math] и [math]k+n-n_0-1<2015[/math], то есть [math]n<2016+n_0-k[/math], что неверно, так как [math]n[/math] - произвольное натуральное число.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

1 046 147
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель