Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 17

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Тариф покупки электроэнергии — 1 руб. 14 коп. за 1 кВт/ч, услуги по передаче — 1 руб. 82 коп. за 1 кВт/ч и иные услуги 12 коп. за 1 кВт/ч, расход в месяц составил 294 кВт/ч. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за этот месяц?

2
2

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,6 до 0,8 вольт.

Вариант 17

3
3

Найдите абсциссу точки пересечения прямых у = -х; 4х - 2у = 12

Вариант 17

4
4

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?

5
5

Найдите корень уравнения 4log16(6x - 6) = 6.

6
6

Основания трапеции равны 14 и 9. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Вариант 17

7
7

На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (—8; 8). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответ укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Вариант 17

8
8

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объём пирамиды.

Вариант 17

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac xy[/math], если [math]\frac{x+3y}{y-3x}=5.[/math]

10
10

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону [math]m=m_0\cdot2^{-\frac tT}[/math], где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, Т — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 68 мг. Период его полураспада составляет 12 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 8,5 мг.

11
11

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 20 км/ч меньшей, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наименьшее значение функции [math]y=\frac34x^\frac43-2x+2.[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]16^{\sin^2x}+16^{\cos^2x}=10[/math]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

Решение:

a) [math]16^{\sin^2x}+16^{\cos^2x}=10[/math]

[math]16^{\sin^2x}+16^{1-\sin^2x}=10[/math]

[math]16^{\sin^2x}+\frac{16}{16^{\sin^2x}}=10[/math]

Обозначим [math]16^{\sin^2x}=t,\;t\geq0[/math]

Уравнение примет вид [math]t+\frac{16}t=10,\;t^2-10t+16=0[/math]

[math]t_1=2,\;t_2=8.[/math]

[math]\begin{array}{l}16^{\sin^2x}=2,\\2^{4\sin^2x}=2,\\4\sin^2x=1,\\\sin^2x=\frac14,\\\sin x=\pm\frac12,\\x=\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}.\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}16^{\sin^2x}=8,\\2^{4\sin^2x}=2^3,\\4\sin^2x=3,\\\sin^2x=\frac34,\\\sin x=\pm\frac{\sqrt3}2,\\x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}.\end{array}[/math]

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие промежутку[math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math]

Вариант 17

[math]x_{1,2}=\pm\frac{\mathrm\pi}6,x_{3,4}=\pm\frac{\mathrm\pi}3,x_5=\frac{2\mathrm\pi}3,x_6=\frac{5\mathrm\pi}6.[/math]

Ответ: а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{\mathrm\pi}3;\;-\frac{\mathrm\pi}6;\;\frac{\mathrm\pi}6;\;\frac{\mathrm\pi}3;\;\frac{2\mathrm\pi}3;\;\frac{5\mathrm\pi}6[/math]

14

В основание цилиндра высотой 24 и радиусом основания 8 вписан тупоугольный треугольник АВС, в котором ВС = 12, АВ = АС.

а) Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, перпендикулярной плоскостям BB1C1C и А1ВС и проходящей через точку А, если АА1, BB1 и CC1 — образующие цилиндра

б) Найдите величину угла между плоскость B1BC и A1BC.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть [math]O[/math] и [math]O_1[/math] - центры оснований цилиндра, тогда [math]F[/math] и [math]F_1[/math] - середины хорд [math]BC[/math] и [math]B_1C_1[/math] соответственно (см. рисунок). Покажем, что [math]AFF_1[/math] - искомая плоскость. [math]A_1F[/math] - медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника [math]A_1BC[/math]. [math]FF_{1\;}\parallel\;BB_1[/math], значит, [math]FF_{1\;}\perp\;(ABC)[/math] и, в частности, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math]. Итак, [math]FF_{1\;}\perp\;BC[/math] и [math]A_1F\;\perp\;BC[/math], тогда [math](AFF_1)\perp BC[/math], откуда [math](AFF_1)\perp A_1BC[/math] и [math](AFF_1)\perp BB_1C_1C[/math]. Сечением призмы [math]ABCA_1B_1C_1[/math] плоскостью [math]AFF_1[/math] является прямоугольник [math]ADD_1A_1[/math]

б) Угол между плоскостями [math]B_1BC[/math] и [math]A_1BC[/math] - это угол [math]A_1FF_1:[/math]

Вариант 17

[math]A_1F\;\in\;(A_1BC)[/math], [math]FF_1\;\in\;(B_1BC)[/math]. [math]\bigtriangleup A_1CB\;[/math] - равнобедренный, [math]\;A_1F\perp BC,[/math], [math]B_1BCC_1[/math] - прямоугольник, [math]FF_1\;\parallel\;BB_1[/math] и [math]FF_1\;\perp\;BC[/math], отсюда [math]\angle A_1FF_1[/math] - линейный угол двугранного угла между плоскостями [math]A_1CB[/math] и [math]B_1BC[/math].

Из [math]\bigtriangleup A_1FF_1[/math] [math]\angle A_1F_1F=90^\circ[/math] [math]tg\angle A_1FF_1=\frac{A_1F_1}{FF_1}[/math]; [math]A_1F_1=AF;\;AF=AO-FO.[/math]

Из [math]\bigtriangleup OFC[/math], где [math]\angle OFC=90^\circ[/math], [math]FC=6,[/math], найдем [math]FO=\sqrt{OC^2-FC^2}=2\sqrt7[/math]. [math]AF=8-2\sqrt7.[/math]

[math]tg\angle A_1FF_1=\frac{8-2\sqrt7}{24}=\frac{4-\sqrt7}{12}[/math]

[math]\angle A_1FF_1=arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

Ответ: [math]arctg(\frac{4-\sqrt7}{12})[/math]

15

Решите систему неравенств [math]\left\{\begin{array}{l}4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52,\\2\log_\frac12(x-2)-\log_\frac12(x^2-x-2)\geq1.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1)[math]4^x-2^{2(x-1)}+8^{\frac23(x-2)}>52[/math]

[math]2^{2(x-1)}=4^{x-1}=\frac{4^x}4;[/math][math]8^{\frac23(x-2)}=4^{x-2}=\frac{4^x}{16};[/math]

[math]4^x-\frac{4^x}4+\frac{4^x}{16}>52,\frac{13}{16}4^x>52,\;x>3,\;x\in\left(3;+\infty\right)[/math]

2) ОДЗ: [math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\x^2-x-2>0\end{array}\right.x>2\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_\frac12\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\geq1\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-2)}{(x+1)}\leq\frac12\\\end{array}[/math], [math]\begin{array}{l}\frac{(x-5)}{2(x+1)}\leq0\\\end{array}[/math].

Вариант 17

[math]\begin{array}{l}x\in(-1;5\;\rbrack\\\end{array}[/math], с учетом ОДЗ [math]\begin{array}{l}x\in(2;5\;\rbrack\\\end{array}[/math]

3) [math]\begin{array}{l}(2;5\;\rbrack\cap(3,+\infty)=\;(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}x\in(3;5\rbrack.\\\end{array}[/math]

16

Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • DO.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Найдите радиус описанной вокруг трапеции окружности, если основания трапеции равны 6 и 8.

Показать ответ

Решение:

а) В трапеции [math]ABCD[/math] треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] подобны, поскольку [math]\angle OAD=\angle OCB[/math] и [math]\angle ODA=\angle OBC[/math] как накрест лежащие при параллельных прямых [math]AD[/math] и [math]BC[/math] и секущих [math]AC[/math] и [math]BD[/math] соответственно (см. рисунок)

Вариант 17

Значит, [math]\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}[/math]. Умножая почленно это равенство на равенство [math]AO\times CO=BO\times DO[/math] из условия задачи, получим [math]AO^2=DO^2[/math]. Отсюда [math]AO=DO[/math], [math]BO=CO[/math] и треугольники [math]AOB[/math] и [math]DOC[/math] равны по первому признаку. Следовательно [math]AB=CD[/math]

б) Т.к. Трапеция [math]ABCD[/math] равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. обозначим ее радиус через [math]R[/math].

Треугольники [math]AOD[/math] и [math]BOC[/math] - равнобедренные и прямоугольные. Значит [math]\angle OAD=45^\circ[/math] и [math]CO=\frac{BC}{\sqrt2}[/math], [math]DO=\frac{AD}{\sqrt2}[/math]. По теореме синусов для треугольника ACD имеем: [math]\frac{CD}{\sin\angle CAD}=2R,\;R=\frac{CD}{\sqrt2}[/math]

[math]CD^2=CO^2+DO^2=\frac12(AD^2+BC^2)=50[/math]

Отсюда [math]CD=5\sqrt2[/math] и R=5

Ответ: 5

17

Холдинг «Вертолёты России» планирует выпустить в первом квартале 20% годового плана, во втором — увеличить производство в 1,5 раза, в четвёртом выпустить 102 вертолёта. В третьем квартале, во время отпусков, как показывает статистика, выпускается половина от среднего арифметического количества выпускаемых вертолётов во втором и четвёртом кварталах. Какое количество вертолётов планируется выпустить холдингом в третьем квартале?

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]x[/math] вертолетов планируется выпустить за год. Тогда в первом квартале выпустят [math]0,2x[/math] вертолетов, во втором квартале [math]0,3x[/math], в третьем [math]\frac12\times\frac{0,3x+102}2[/math]. Составим и решим уравнение:

[math]\begin{array}{l}0,2x+0,3x+\frac{0,3x+102}4+102=x\\x=300\end{array}[/math]

[math]\frac{0,3\times300+102}4=48[/math] вертолетов планируется выпустить в третьем квартале.

Ответ: [math]48[/math]

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение [math](tgx\;+\;2)^2-(3a^2\;+\;2a-4)(tgx\;+\;2)+(3a^2-5)(2a+1)\;=\;0[/math] имеет на отрезке [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] ровно два решения.

Показать ответ

Решение:

Сделаем замену [math]tgx+2=t[/math], тогда уравнение пример вид [math]t^2-(3a^2+2a-4)t+(3a^2-5)(2a+1)=0.[/math] пользуясь обратной теоремой Виета, запишем корни этого уравнения [math]t_1=2a+1,\;t_2=3a^2-5[/math], откуда:

[math]\left\{\begin{array}{l}tgx=2a-1,\\tgx=3a^2-7.\end{array}\right.[/math]

Изобразим эскиз графика функции [math]y=tgx[/math] при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] (см. рисунок). Очевидно, что при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] уравнение [math]tgx=b[/math] имеет 2 решения при [math]b\leq0[/math] и 1 решение при [math]b>0[/math].

Вариант 17

Значит, исходное уравнение на отрезке [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] имеет ровно 2 решения в одном из двух случаев:

[math]\begin{array}{l}1)\;2a-1=3a^2-7\leq0\\2)\;\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\end{array}\\2a-1\neq3a^2-7.\end{array}\right.\end{array}[/math]

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Решив вспомогательное уравнение [math]3a^2-7=2a-1[/math] получим [math]a=\frac{1\pm\sqrt{19}}3[/math]. При [math]a=\frac{1+\sqrt{19}}3[/math] имеет место неравенство[math]2a-1=-\frac13+\frac{2\sqrt{19}}3>0[/math], а при [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math], соответственно,[math]2a-1=-\frac13-\frac{2\sqrt{19}}3[/math].

Значит, [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math]б соответствует условию задачи.

решим систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\end{array}\\2a-1\neq3a^2-7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}a>\frac12\\\left\{\begin{array}{l}a\sqrt{\frac73}\end{array}\right.\end{array}\\a\neq\frac{1\pm\sqrt{19}}3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>\sqrt{\frac73}\\a\neq\frac{1\pm\sqrt{19}}3\end{array}\right.[/math]

так как [math]\frac{1+\sqrt{19}}3>\sqrt{\frac73}[/math]

Значит ответ будет: [math]\left\{\frac{1-\sqrt{19}}3\right\}\cup\left(\sqrt{\frac73};\;\frac{1+\sqrt{19}}3\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{19}}3;\;+\infty\right)[/math]

19

На n деревьях, расположенных по окружности, сидели n весёлых чижей (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по часовой стрелке, другой — против). Могут ли все n чижей собраться на одном дереве, если

а) n = 5?

б) n = 2019?

в) n = 12?

Показать ответ

Решение:

а) Занумеруем деревья числами 1,2,3,4,5 (по порядку). Пусть один чиж сидит неподвижно, например, на дереве 3, тогда чижи с деревьев 2 и 4, совершив по одному перелету, окажутся на дереве 3, а чижи с деревьев 1 и 5, совершив по два перелета, окажутся на дереве 3. Итак, все пять чижей могут собраться на одном дереве.

б) Пусть один чиж сидит неподвижно на дереве. Разобьем остальных чижей на пары сидящих на одинаковом расстоянии [math]r[/math] перелетов от неподвижного в ту и другую сторону ( [math]r=1,2,...,1009[/math]). Ясно, что каждая такая пара может за [math]r[/math] перелетов попасть на то дерево, где сидит неподвижный чиж.

в) Занумеруем деревья по порядку, например, по часовой стрелке числами от 1 до 12. Пусть количество чижей на [math]k[/math]-м дереве в какой то момент времени равно [math]a_k[/math]. Рассмотрим выражение [math]S=1\times a_1+2\times a_2+...+12\times a_{12}[/math]

Покажем, что когда два чижа перелетают на соседние деревья, то [math]S[/math] либо не меняется, либо изменяется на 12. Действительно, пусть какой-то чиж перелетает с [math]k[/math]-го дерева на следующее по часовой стрелке. Тогда в сумме [math]S[/math] меняются 2 слагаемых. Если [math]k<12[/math], то меняются [math]k[/math]-е и [math]k+1[/math]-е слагаемые, и их сумма становится равной [math]k(a_k-1)+(k+1)(a_{k+1}+1)=ka_k+(k+1)a_{k+1}+1[/math], т.е. увеличивается на 1.

При перелете двух чижей на соседние деревья, очевидно, что сумма или не меняется или меняется на 12. В начальный момент времени на каждом дереве сидело по 1 чижу.

[math]S=1\times1+2\times1+...12\times1=78[/math]

Таким образом, после любого целого числа перелетов сумма будет равна [math]78+12p[/math], где [math]p[/math] - целое число. Если бы все чижи собрались на [math]q[/math]-м дереве, то [math]S=12q[/math], то есть выполнялось бы равенство [math]78+12p=12q[/math], а потому 78 должно делиться на 12, что неверно. Значит, требуемое невозможно.

Ответ: а)да; б) да; в) нет.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

517 148
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель