Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 19

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 15% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 2,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

2
2

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н∗м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо выражается формулой V = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью (в км/ч) должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не менее 150 Н∗м?

Вариант 19

3
3

В треугольнике АВС угол А равен 62°, угол В равен 76°. AL, BN и СК — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОК. Ответ дайте в градусах.

Вариант 19

4
4

На втором и третьем этажах в корпусе механикоматематического факультета университета для студентов работают две одинаковые ксерокопировальные машины. Вероятность того, что к концу дня в ксерокопировальной машине закончится бумага, равна 0,4. Вероятность того, что бумага закончится в обеих ксерокопировальных машинах, равна 0,23. Найдите вероятность того, что к концу дня бумага останется в обеих ксерокопировальных машинах.

5
5

Найдите корни уравнения [math]\sin\frac{\mathrm\pi\left(5\mathrm x-2\right)}3=\frac12[/math], в ответе запишите наименьший положительный корень.

6
6

Найдите cos ∠AOB. В ответе укажите 3√5 cos∠AOB

Вариант 19

7
7

Прямая у = 2х - 3 является касательной к графику функции у = 5х2 - 8х + с. Найдите значение с.

8
8

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,5 высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Вариант 19

9
9

Найдите значение выражения 4(g(3х) - Зg(х - 4)), если g(х) = 2х - 1.

10
10

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 160 до 225 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение [math]\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1f[/math]. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

11
11

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 48 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 36 минут после старта он опережал второй автомобиль на полкруга. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=24\sin x-12\sqrt3x+2\sqrt3\mathrm\pi+2[/math] на отрезке [math]\left[0;\;\frac{\mathrm\pi}2\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\cos3x=2\sin\left(\frac{3\mathrm\pi}2+x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3π/2; 0].

Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}\cos3x=\cos(2x+x)=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=\\=(\cos^2x-\sin^2x)\cos x-2\sin^2\cos x=\\=(2\cos^2x-1)\cos x-2\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3-3\cos x\end{array}[/math]

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению

[math]\begin{array}{l}4\cos^3-3\cos x=-2\cos x\\\cos x(4\cos^2x-1)=0\\\cos x=0;\;\;x=\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\\mathrm{cosx}=\pm\frac12;\;\mathrm x=\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}[/math]

Вариант 19

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие указанному промежутку:

Вариант 19

Ответ: а) [math]\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}3+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{4\mathrm\pi}3,\;-\frac{2\mathrm\pi}3,\;-\frac{\mathrm\pi}2,\;-\frac{\mathrm\pi}3[/math]

14

Около шара описан усечённый конус, у которого площадь одного основания в 4 раза больше другого.

а) Докажите, что длина образующей усечённого конуса равна сумме радиусов его оснований.

б) Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Показать ответ

Построим осевое сечение конуса, получим равнобедренную трапецию с основаниями [math]AD=2R[/math] и [math]BC=2r[/math]. Вписанный шар в сечении дает окружность, вписанную в трапецию, высота трапеции будет равна диаметру этой окружности. Так как [math]S_{Н.ОСН}=4S_{В.ОСН}[/math], то [math]\mathrm{πR}^2=4\mathrm{πr}^2[/math] или [math]R=2r.[/math]

а) По свойству касательных [math]AB=BM+AN[/math], [math]AB=r+R=3r[/math]

б) [math]AK=AN-KN=R-r=r[/math]

Тогда из [math]\bigtriangleup ABK:\;[/math]

[math]\begin{array}{l}\cos\alpha=\frac{AK}{BA}=\frac r{3r}=\frac13\\\alpha=arc\cos\frac13\end{array}[/math]

Вариант 19

Ответ: arccos[math]\frac13[/math]

15

Решите неравенство [math]\log_2\left(x-1\right)-\log_2\left(x+1\right)+\log_\frac{x+1}{x-1}2>0.[/math]

Показать ответ

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-1>0\\x+1>0\\\frac{x+1}{x-1}>0\\\frac{x+1}{x-1}\neq1\end{array}\\x-1\neq0\end{array}\right.x>1[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_2\frac{x-1}{x+1}+\frac1{\log_2{\displaystyle\frac{x-1}{x+1}}}>0\\t=\log_2\frac{x-1}{x+1},\;t-\frac1t>0\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac{(t-1)(t+1)}t>0\\\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}t>-1\\t1\end{array}\right.\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\log_2\frac{x-1}{x+1}>-1\\\log_2\frac{x-1}{x+1}1\end{array}\right.\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{x+1}>\frac12\\\frac{x-1}{x+1}2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{x+1}>0\\\frac{-2}{x+1}0\end{array}\right.\\\\\end{array}[/math]

Вариант 19

С учетом ОДЗ [math]\begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}[/math]

16

Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внешним образом в точке А, равны 6 и 3 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С.

а) Докажите, что [math]\frac{AB}{BC}=\frac{AO_1}{O_1O_2}[/math].

б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 4.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим случай, когда прямые [math]O_1O_2[/math] и [math]BC[/math] не совпадают (см. рисунок). Тогда [math]\bigtriangleup AOB[/math] и [math]\bigtriangleup AO_2C[/math] - равнобедренные ([math]AO_1=BO_1;\;AO_2=CO_2[/math] как радиусы), и, следовательно, [math]\angle O_1AB=\angle O_1BA[/math], [math]\angle O_2CA=\angle O_2AC[/math]. Но тогда [math]\bigtriangleup AO_1B\sim\bigtriangleup AO_2C[/math] по двум углам.

[math]\frac{BC}{AB}=\frac{AB+AC}{AB}=1+\frac{AC}{AB}[/math], но [math]\frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}[/math], так как [math]\bigtriangleup ABO_1\sim\bigtriangleup ACO_2[/math]

Поэтому [math]\frac{BC}{AB}=1+\frac{AO_2}{AO_1}[/math]

С другой стороны [math]\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1+AO_2}{AO_1}=1+\frac{AO_2}{AO_1}[/math]

Итак, [math]\frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

Вариант 19

В случае, когда прямые [math]O_1O_2[/math] и [math]BC[/math] совпадают [math]\frac{AB}{BC}=\frac{2AO_1}{2AO_1+2AO_2}=\frac{AO_1}{AO_1+AO_2}=\frac{AO_1}{O_1O_2}[/math] (см. рисунок)

Вариант 19

б) Обозначим x - искомая длина касательной, тогда

[math]\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=16\times\frac96=24\\x=\sqrt{24}=2\sqrt6\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]2\sqrt6[/math]

17

В банк помещён вклад 64000 рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трёх лет (после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвёртого года после начисления процентов оказалось, что он составляет 385 000 рублей. Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?

Показать ответ

Решение:

Пусть в конце каждого года вкладчик добавлял на счет [math]x[/math] рублей. Тогда к концу первого года на счету было[math]1,25\times64000+x=80000+x[/math] рублей. К концу второго года на счету уже находилось [math]1,25\times(80000+x)+x[/math], к концу третьего - [math]1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x[/math], к концу четвертого - [math]1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)[/math]. Таким образом, получим уравнение [math]1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)=385000[/math]

[math]x=48000[/math]

Ответ: 48000

18

При каких значениях m уравнение [math]2\sqrt{1-m\left(x+2\right)}=x+4[/math] имеет единственный корень?

Показать ответ

Решение:

Если [math]m=0[/math], то уравнение имеет единственный корень [math]x=-2.[/math]

Пусть [math]m\neq0[/math]. Положим [math]\sqrt{1-m(x+2)}=y\geq0[/math], отсюда [math]x=\frac{1-y^2}m-2[/math] Тогда уравнение примет вид: [math]2y=\frac{1-y^2}m+2[/math] или [math]y^2+2my-1=2m[/math]

построим графики [math]z=y^2+2my-1[/math] и [math]z=2m[/math]

Возможны 2 случая: а) [math]m>0[/math]; б) [math]m<0[/math]

В обоих случаях берем только ту часть параболы, которая лежит правее оси [math]Oz[/math]

Вариант 19 Вариант 19

Если [math]m>0[/math], то прямая [math]z=2m[/math] пересекает часть параболы в единственной точке при условии [math]2m\geq-1[/math], то есть [math]m\geq-\frac12[/math], значит, а этом случае любое [math]m>0[/math] будет искомым.

Если [math]m-1[/math] (равносильно [math]-\frac120[/math]) или [math]-1-m^2=2m[/math] (равносильно [math]m=-1[/math])

Ответ: [math]m=-1,\;m>-\frac12[/math]

19

Решите в целых числах уравнение 6х2 + 5у2 = 74.

Показать ответ

Решение:

Перепишем уравнение

[math]\begin{array}{l}6x^2-24=50-5y^2\\6(x^2-4)=5(10-y^2)\end{array}[/math]

[math]x^2-4=5u;\;10-y^2=6v;\;=>u=v[/math]

Итак, [math]x^2=5u+4\geq0;\;u\geq-\frac45[/math], аналогично [math]y^2=10-6u\geq0;\;u\leq\frac53[/math]

Итак, целое число [math]u:\;-\frac45\leq u\leq\frac53[/math], следовательно [math]u=0[/math] или [math]u=1[/math]

При [math]u=v=0[/math] получаем [math]10=y^2[/math], где целое число невозможно.

При [math]u=v=1[/math] получаем [math]x^2=9;\;y^2=4[/math].

Ответ: (3 ; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2).

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

517 148
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель