Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 2

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В корзине 10 разноцветных шаров: голубых, розовых и белых. Они соотносятся как 10 : 25 : 15. Найдите количество белых шаров.

2
2

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н•м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо выражается формулой V = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью (в км/ч) должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не менее 150 Н•м?

3
3

В треугольнике АВС угол А равен 62°, угол В равен 76°. AL, BN и СК — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОК. Ответ дайте в градусах.

4
4

На втором и третьем этажах в корпусе механикоматематического факультета университета для студентов работают две одинаковые ксерокопировальные машины. Вероятность того, что к концу дня в ксерокопировальной машине закончится бумага, равна 0,4. Вероятность того, что бумага закончится в обеих ксерокопировальных машинах, равна 0,23. Найдите вероятность того, что к концу дня бумага останется в обеих ксерокопировальных машинах.

5
5

Найдите корни уравнения [math]\sin\frac{\mathrm\pi\left(5\mathrm x-2\right)}3=\frac12[/math], в ответе запишите наименьший положительный корень.

6
6

Найдите cos ∠AOB. В ответе укажите 3√5 cos∠AOB

7
7

Прямая у = 2х - 3 является касательной к графику функции у = 5х2 - 8х + с. Найдите значение с.

8
8

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,5 высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

9
9

Найдите значение выражения 4(g(3х) - Зg(х - 4)), если g(х) = 2х - 1.

10
10

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 160 до 225 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение [math]\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1f[/math]. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

11
11

Плиточник должен уложить 180 м2 плитки. Если он будет укладывать на 5 м2 плитки в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

12
12

Найдите наибольшее значение функции [math]y=24\sin x-12\sqrt3x+2\sqrt3\mathrm\pi+2[/math] на отрезке [math]\left[0;\;\frac{\mathrm\pi}2\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}+\left(\frac73\right)^{\sin2x}=2[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π; -7π/2).

Показать ответ

Решение:

а) [math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}+\left(\frac37\right)^{-\sin2x}=2[/math]

Пусть [math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}=t[/math], [math]t+\frac1t=2;\;[/math][math]t^2-2t+1=0;\;[/math][math]t=1.[/math]

[math]\left(\frac37\right)^{\sin2x}=1;[/math] [math]\sin2x=0;[/math][math]x=\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]\begin{array}{l}k=-10,\;x=-5\mathrm\pi;\\\mathrm k=-9,\;\mathrm x=-\frac{9\mathrm\pi}2;\\\mathrm k=-8,\;\mathrm x=-4\mathrm\pi.\end{array}[/math]

Ответ:

а) [math]\frac{\mathrm{πk}}2,\;k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-5\mathrm\pi,\;-\frac{9\mathrm\pi}2,\;-4\mathrm\pi[/math]

14

Около шара описан усечённый конус, у которого площадь одного основания в 4 раза больше другого.

а) Докажите, что длина образующей усечённого конуса равна сумме радиусов его оснований.

б) Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Показать ответ

Построим осевое сечение конуса, получим равнобедренную трапецию с основаниями [math]AD=2R[/math] и [math]BC=2r[/math]. Вписанный шар в сечении дает окружность, вписанную в трапецию, высота трапеции будет равна диаметру этой окружности. Так как [math]S_{Н.ОСН}=4S_{В.ОСН}[/math], то [math]\mathrm{πR}^2=4\mathrm{πr}^2[/math] или [math]R=2r.[/math]

а) По свойству касательных [math]AB=BM+AN[/math], [math]AB=r+R=3r[/math]

б) [math]AK=AN-KN=R-r=r[/math]

Тогда из [math]\bigtriangleup ABK:\;[/math]

[math]\begin{array}{l}\cos\alpha=\frac{AK}{BA}=\frac r{3r}=\frac13\\\alpha=arc\cos\frac13\end{array}[/math]

Ответ: arccos[math]\frac13[/math]

15

Решите неравенство [math]\log_2\left(x-1\right)-\log_2\left(x+1\right)+\log_\frac{x+1}{x-1}2>0.[/math]

Показать ответ

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-1>0\\x+1>0\\\frac{x+1}{x-1}>0\\\frac{x+1}{x-1}\neq1\end{array}\\x-1\neq0\end{array}\right.x>1[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_2\frac{x-1}{x+1}+\frac1{\log_2{\displaystyle\frac{x+1}{x-1}}}>0\\t=\log_2\frac{x-1}{x+1},\;t-\frac1t>0\end{array}[/math]

[math]\frac{(t-1)(t+1)}t>0[/math]

[math]-1<t<0\;или\;t>1[/math]

[math]\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)>1[/math]

[math]\frac{x-1}{x+1}>2[/math]

[math]\frac{-x-3}{x+1}>0[/math]

[math]-3<x<-1[/math] — это решение не удовлетворяет ОДЗ.

[math]-1<\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)<0[/math]

[math]\frac12<\frac{x-1}{x+1}<1[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c}\frac{x-1}{x+1}>\frac12\\\frac{x-1}{x+1}<1\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{c}\frac{x-3}{2(x+1)}>0\\\frac{-2}{x+1}<0\end{array}\right.[/math]

Первое неравенство имеет решение х>3 или -1>x, а второе неравенство — x>-1

С учетом ОДЗ [math]\begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}x>3\\\\\end{array}[/math]

16

Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внешним образом в точке А, равны 6 и 3 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С.

а) Докажите, что [math]\frac{AB}{BC}=\frac{AO_1}{O_1O_2}[/math].

б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 4.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим случай, когда прямые [math]O_1O_2[/math] и [math]BC[/math] не совпадают (см. рисунок). Тогда [math]\bigtriangleup AO_1B[/math] и [math]\bigtriangleup AO_2C[/math] - равнобедренные ([math]AO_1=BO_1;\;AO_2=CO_2[/math] как радиусы), и, следовательно, [math]\angle O_1AB=\angle O_1BA[/math], [math]\angle O_2CA=\angle O_2AC[/math]. Но тогда [math]\bigtriangleup AO_1B\sim\bigtriangleup AO_2C[/math] по двум углам.

[math]\frac{BC}{AB}=\frac{AB+AC}{AB}=1+\frac{AC}{AB}[/math], но [math]\frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}[/math], так как [math]\bigtriangleup ABO_1\sim\bigtriangleup ACO_2[/math]

Поэтому [math]\frac{BC}{AB}=1+\frac{AO_2}{AO_1}[/math]

С другой стороны [math]\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1+AO_2}{AO_1}=1+\frac{AO_2}{AO_1}[/math]

Итак, [math]\frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

В случае, когда прямые [math]O_1O_2[/math] и [math]BC[/math] совпадают [math]\frac{AB}{BC}=\frac{2AO_1}{2AO_1+2AO_2}=\frac{AO_1}{AO_1+AO_2}=\frac{AO_1}{O_1O_2}[/math] (см. рисунок)

б) Обозначим x - искомая длина касательной, тогда

[math]\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=16\times\frac96=24\\x=\sqrt{24}=2\sqrt6\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]2\sqrt6[/math]

17

В банк помещён вклад 64000 рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трёх лет (после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвёртого года после начисления процентов оказалось, что он составляет 385 000 рублей. Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?

Показать ответ

Решение:

Пусть в конце каждого года вкладчик добавлял на счет [math]x[/math] рублей. Тогда к концу первого года на счету было[math]1,25\times64000+x=80000+x[/math] рублей. К концу второго года на счету уже находилось [math]1,25\times(80000+x)+x[/math], к концу третьего - [math]1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x[/math], к концу четвертого - [math]1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)[/math]. Таким образом, получим уравнение [math]1,25\times(1,25\times(1,25\times(80000+x)+x)+x)=385000[/math]

[math]x=48000[/math]

Ответ: 48000

18

При каких значениях m уравнение [math]2\sqrt{1-m\left(x+2\right)}=x+4[/math] имеет единственный корень?

Показать ответ

Решение:

Если [math]m=0[/math], то уравнение имеет единственный корень [math]x=-2.[/math]

Пусть [math]m\neq0[/math]. Положим [math]\sqrt{1-m(x+2)}=y\geq0[/math], отсюда [math]x=\frac{1-y^2}m-2[/math] Тогда уравнение примет вид: [math]2y=\frac{1-y^2}m+2[/math] или [math]y^2+2my-1=2m[/math]

построим графики [math]z=y^2+2my-1[/math] и [math]z=2m[/math]

Возможны 2 случая: а) [math]m>0[/math]; б) [math]m<0[/math]

В обоих случаях берем только ту часть параболы, которая лежит правее оси [math]Oz[/math]

Если [math]m>0[/math], то прямая [math]z=2m[/math] пересекает часть параболы в единственной точке при условии [math]2m\geq-1[/math], то есть [math]m\geq-\frac12[/math], значит, а этом случае любое [math]m>0[/math] будет искомым.

Если [math]m<0[/math], то прямая [math]z=2m[/math] пересекает параболу в вершине при условии [math]2m<-1[/math] (равносильно [math]m<-\frac12[/math]) или [math]-1-m^2=2m[/math] (равносильно [math]m=-1[/math])

Ответ: [math]m=-1,\;m>-\frac12[/math]

19

Решите в целых числах уравнение 6х2 + 5у2 = 74.

Показать ответ

Решение:

Перепишем уравнение

[math]\begin{array}{l}6x^2-24=50-5y^2\\6(x^2-4)=5(10-y^2)\end{array}[/math]

[math]x^2-4=5u;\;10-y^2=6v;\;=>u=v[/math]

Итак, [math]x^2=5u+4\geq0;\;u\geq-\frac45[/math], аналогично [math]y^2=10-6u\geq0;\;u\leq\frac53[/math]

Итак, целое число [math]u:\;-\frac45\leq u\leq\frac53[/math], следовательно [math]u=0[/math] или [math]u=1[/math]

При [math]u=v=0[/math] получаем [math]10=y^2[/math], где целое число невозможно.

При [math]u=v=1[/math] получаем [math]x^2=9;\;y^2=4[/math].

Ответ: (3 ; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2).

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

Делитесь своими результатами или спрашивайте, как решить конкретное задание. Будьте вежливы, ребята:
1 823 962
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель