Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Демонстрационный вариант

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

2
2

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.

Демонстрационный вариант

3
3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см2.

Демонстрационный вариант

4
4

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

5
5

Найдите корень уравнения [math]3^{x-5}=81[/math].

6
6

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32. Ответ дайте в градусах.

7
7

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1 , x2 , ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Демонстрационный вариант

8
8

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.

9
9

Найдите sin2α, если cosα = 0,6 и π < α < 2π.

10
10

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением [math]v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}[/math], где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0— частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

11
11

Весной катер идёт против течения реки в [math]1\frac23[/math] раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в [math]1\frac12[/math] раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

12
12

Найдите точку максимума функции [math]y=\ln\left(x+4\right)^2+2x+7[/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\cos2x=1-\cos\left(\frac\pi2-x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π/2; -π).

Показать ответ

а) Преобразуем обе части уравнения:

[math]1-2\sin^2x=1-\sin x;\;2\sin^2x-\sin x=0;\;\sin x(2\sin x-1)=0,[/math] откуда [math]\sin x=0[/math] или [math]\sin x=\frac12[/math]

Из уравнения [math]\sin x=0[/math] находим: [math]x=\mathrm{πn},[/math] где [math]\mathrm n\in\mathbb{Z}[/math]

Из уравнения [math]\sin x=\frac12[/math] находим: [math]x=(-1)^k\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},[/math] где [math]\mathrm k\in\mathbb{Z}[/math]

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку [math]\lbrack-\frac{5\mathrm\pi}2;-\mathrm\pi).[/math]

Демонстрационный вариант

Получаем числа:

[math]-2\pi;\;-\frac{11\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math].

Ответ:

а) [math]\pi n,\;n\in\mathbb{Z};\;\left(-1\right)^k\frac\pi6+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}[/math]

б) [math]-2\pi;\;-\frac{11\pi}6;\;-\frac{7\pi}6[/math].

14

Все рёбра правильной треугольной призмы АBCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Показать ответ

Демонстрационный вариант

Пусть точка H — середина AC. Тогда

[math]BN^2=BH^2+NH^2=(3\sqrt3)^2+6^2=63[/math]

Вместе с тем,

BM2 + MN2 = (32 + 62 ) + (32 + 32 ) = 63, а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1.

Тогда NP [math]\perp[/math] A1B1 и NP [math]\perp[/math] A1A. Следовательно, NP [math]\perp[/math] ABB1 . Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB1.

Прямая BM перпендикулярна MN , тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM [math]\perp[/math] MP. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть [math]NP=\frac{3\sqrt3}2[/math]. Поэтому [math]\sin\angle NMP=\frac{NP}{MN}=\frac{3\sqrt3}{2\times3\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{\sqrt8}[/math]

Следовательно, [math]\angle NMP=arc\sin\sqrt{\frac38}[/math]

Ответ: б) [math]\arcsin\sqrt{\frac38}[/math]

15

Решите неравенство

[math]\frac{9^x-2\times3^{x+1}+4}{3^x-5}+\frac{2\times3^{x+1}-51}{3^x9}\leq3^x+5[/math]

Показать ответ

Пусть t= 3x, тогда неравенство примет вид:

[math]\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-51}{t-9}\leq t+5;\;\frac{(t-1)(t-5)}{t-5}-\frac1{t-5}+\frac{6(t-9)}{t-9}+\frac3{t-9}\leq t+5;[/math]

[math]-\frac1{t-5}+\frac3{t-9}\leq0;\;\frac{t-3}{(t-5)(t-9)}\leq0,[/math]

откуда [math]t\leq3[/math] получим: [math]5<3^x<9,[/math] откуда [math]\log_35<x<2.[/math]

Решение исходного неравенства: [math]x\leq1;\;\log_35<x<2[/math]

Ответ: [math](-\infty;1\rbrack;\;(\log_35;\;2).[/math]

16

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Показать ответ

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Демонстрационный вариант

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD [math]\perp[/math] AB. Аналогично, получаем, что BC [math]\perp[/math] AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1. Треугольники BKC и AKD подобны, [math]\frac{AD}{BC}=4[/math]. Пусть SBKC = S, тогда SAKD = 16S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:

[math]O_2H=\sqrt{O_1O_2^2-O_1H^2}=4[/math]

Тогда

[math]S_{ABCD}=\frac{AD+BC}2\times AB=20[/math]

Следовательно, 25S=20, откуда S=0,8 и SAKB = 4S = 3,2

Ответ: 3,2

17

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата15.0115.0215.0315.0415.0515.0615.07
Долг (в млн рублей)10,60,40,30,20,10

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Показать ответ

По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

Пусть [math]k=1+\frac r{100}[/math], тогда долг на 1 число каждого месяца равен:

k ; 0,6k ; 0,4k ; 0,3k ; 0,2k ; 0,1k .

Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:

k - 0,6 ; 0,6k - 0,4 ; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2 ; 0,2k - 0,1; 0,1k .

[math]\begin{array}{l}k(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)-(0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)=\\=(k-1)(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)+1=2,6(k-1)+1\end{array}[/math]

По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, значит,

[math]2,6(k-1)+1<1,2;\;2,6\times\frac r{100}+1<1,2;\;r<7\frac9{13}[/math]

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, искомое число процентов — 7.

18

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система [math]\left\{\begin{array}{l}\left(\vert x\vert-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=9,\\\left(x+2\right)^2+y^2=a^2\end{array}\right.[/math] имеет единственное решение.

Показать ответ

Если [math]x\geq0[/math], то уравнение [math](\vert x\vert-5)^2+(y-4)^2=9[/math] задаёт окружность [math]\omega_1[/math] с центром в точке С1(5; 4) радиусом 3, а если [math]x<0[/math], то оно задает окружность [math]\omega_2[/math] с центром в точке C2(-5; 4) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях a уравнение [math](x+2)^2+y^2=a^2[/math] задаёт окружность [math]\omega[/math] с центром в точке C(-2; 0) радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей [math]\omega_1[/math] и [math]\omega_2[/math]

Демонстрационный вариант

Из точки С проведем луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью [math]\omega_1[/math], где A1 лежит между С и С1. Так как [math]CC_1=\sqrt{\left(5+2\right)^2+4^2}=\sqrt{65}[/math], то [math]CA_1=\sqrt{65}-3,\;CB_1=\sqrt{65}+3[/math]

При [math]aCB_1[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_1[/math] не пересекаются

При [math]CA_1<a<CB_1[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_1[/math] имеют общие две точки.

При [math]a=CA_1[/math] или [math]a=CB_1[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_1[/math] касаются.

Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью [math]\omega_2[/math], где A2 лежит между C и C2. Так как [math]CC_2=\sqrt{(-5+2)^2+4^2}=5[/math], то CA1 = 5 - 3 =2, CB2 = 5 + 3 = 8.

При [math]aCB_2[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_2[/math] не пересекаются

При [math]CA_2<a<CB_2[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_2[/math] имеют общие две точки.

При [math]a=CA_2[/math] или [math]a=CB_2[/math] окружности [math]\omega[/math] и [math]\omega_2[/math] касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей [math]\omega_1[/math] и [math]\omega_2[/math] и не пересекается с другой. Так как [math]CA_2<CA_1<CB_2<CB_1[/math], то условию задачи удовлетворяют только числа a = 2 и a = [math]\sqrt{65}+3[/math]

Ответ: 2; [math]\sqrt{65}+3[/math]

19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Показать ответ

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому [math]4k-8l+0\times m=-3(k+l+m).[/math]

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому

[math]k+l+m[/math] — количество целых чисел — делится на 4. По условию [math]40<k+l+m<48,[/math], поэтому [math]k+l+m=44[/math]. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем равенство [math]4k-8l=-3(k+l+m)[/math] к виду [math]5l=7k+3m[/math]. Так как [math]m\geq0[/math], получаем, что [math]5l\geq7k[/math], откуда [math]l>k[/math]. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим [math]k+l+m=44[/math] в правую часть равенства [math]4k-8l=-3(k+l+m):\;4k-8l=-132,[/math] откуда [math]k=2l-33[/math]. Так как [math]k+l\leq44[/math], получаем: [math]3l-33\leq44;\;3l\leq77;\;l\leq25;\;k=2l-33\leq17[/math], то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число -8 и 2 раза написан 0. Тогда [math]\frac{4\times17-8\times25}{44}=-3[/math], указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.