Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 1

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В летнем лагере отдыхают 214 детей и работают 25 воспитателей. В автобус вмещается не более 30 пассажиров. Сколько потребуется автобусов, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

2
2

На рисунке жирными точками показана цена некоторой акции на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 4 по 22 августа 2020 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в рублях. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена акции на момент закрытия торгов была наибольшей за этот период.

Вариант 1

3
3

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вариант 1

4
4

На улице неправильно припарковано 48 автомобилей, среди которых автомобиль Маши. Эвакуатор выбрал случайным образом и вывез на штрафстоянку 12 автомобилей. Какова вероятность, что автомобиль Маши не вывезли на штрафстоянку?

5
5

Найдите корень уравнения: [math]-\frac4{11}x=1\frac9{11}[/math]

6
6

В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A = 0,3. Найдите cos В.

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Вариант 1

8
8

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём цилиндра равен 90. Найдите объём конуса.

Вариант 1

9
9

Найдите значение выражения: [math]y=\frac{49x^2-25}{7x+5}-7x[/math]

10
10

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности In, оперативности Ор, объективности Тr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 7.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо, информативность публикаций втрое, а оперативность вдвое дороже, чем качество сайта. Таким образом, формула приняла вид:

[math]y=\frac{3In+2Op+4Tr+Q}A[/math]

Найдите, каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 2.

11
11

Первые четыре часа автобус шёл со скоростью 65 км/ч, следующие три часа — со скоростью 70 км/ч, а затем два часа — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса на протяжении всего пути (в км/ч).

12
12

Найдите точку максимума функции у = (х — 6)2(х + 9) + 3.

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]27^{tg^2x}+81\times27^{-tg^2x}=30[/math]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[\frac{3\mathrm\pi}2;3\mathrm\pi\right][/math]

Показать ответ

а) [math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}4+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]\frac{7\mathrm\pi}4,\;\frac{11\mathrm\pi}6,\;\frac{13\mathrm\pi}6,\;\frac{9\mathrm\pi}4,\;\frac{11\mathrm\pi}4,\;\frac{17\mathrm\pi}6[/math]

[math]\begin{array}{l}а)27^{tg^2x}+81\times27^{-tg^2x}=30\\27^{tg^2x}+\frac{81}{27^{tg^2x}}=30,\\Обозначим\;27^{tg^2x}=t,\;t\geq1\\Уравнение\;примет\;вид\;t+\frac{81}t=30,\\Умножим\;каждый\;член\;на\;t:\;t^2-30t+81=0.\\\left\{\begin{array}{l}t=27\\t=3\end{array}\right.\\Вернемся\;к\;исходной\;переменной.\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{cc}1)\;27^{tg^2x}=27&2)27^{tg^2x}=3\\tg^{2\;}x=1&3^{3tg^2x}=3\\tg\;x=\pm1&3tg^2x=1\\x=\pm\frac\pi4+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}&tg\;x\;=\pm\frac1{\sqrt3}\\&x=\pm\frac\pi6+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\&\end{array}[/math]

[math]б)\;С\;помощью\;числовой\;окружности\;отберем\;корни\;уравнения,\;принадлежащие\;промежутку\left[\frac{3\mathrm\pi}2;3\mathrm\pi\right].[/math]

Вариант 1

[math]\begin{array}{l}x_1=2\mathrm\pi+\frac{\mathrm\pi}4=\frac{9\mathrm\pi}4\\{\mathrm x}_2=2\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}4=\frac{7\mathrm\pi}4\\{\mathrm x}_3=2\mathrm\pi+\frac{\mathrm\pi}6=\frac{13\mathrm\pi}6\\{\mathrm x}_4=2\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}6=\frac{11\mathrm\pi}6\\{\mathrm x}_5=3\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}4=\frac{11\mathrm\pi}4\\{\mathrm x}_6=3\mathrm\pi-\frac{\mathrm\pi}6=\frac{17\mathrm\pi}6\end{array}[/math]

14

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 через центр основания треугольника АВС и центры симметрий боковых граней АА1В1В и BB1С1C проведена плоскость, которая составляет с плоскостью основания 30°.

а) Постройте сечение, образованное этой плоскостью.

б) Найдите площадь этого сечения, если сторона основания равна 6.

Показать ответ

Решение:

а) Пусть точка [math]O[/math] - центр треугольника [math]ABC[/math], точки [math]O_1[/math] и [math]O_2[/math] -центры симметрий граней [math]AA_1B_1B[/math] и [math]BB_1B_1B[/math]. Необходимо построить сечение призмы плоскостью [math]OO_1O_2[/math] (См. рисунок).

Вариант 1

Так как призма правильная, то грани [math]AA_1B_1B[/math] и [math]BB_1C_1C[/math] равные прямоугольники. Поэтому расстояния от центров [math]O_1[/math] и [math]O_2[/math] до сторон [math]AB[/math] и [math]BC[/math] треугольника [math]ABC[/math] равны, то есть [math]O_1M_1=O_2N_1[/math]. Значит, [math]O_1O_2\parallel M_1N_1[/math] как противоположные стороны прямоугольника [math]M_1O_1O_2N_1[/math]. Следовательно прямая [math]O_1O_2[/math] параллельна плоскости [math]ABC[/math] по признаку параллельности прямой и плоскости.

Плоскость сечения [math]OO_1O_2[/math] проходит через прямую [math]O_1O_2[/math] и пересекает плоскость [math]ABC[/math], следовательно, линия пересечения этих плоскостей параллельна прямой [math]O_1O_2[/math]. Через точку [math]O[/math] проводим прямую [math]MN[/math], параллельную [math]M_1N_1[/math] . Прямые [math]MO_1[/math] и [math]NO_2[/math] пересекают плоскость [math]A_1B_1C_1[/math] в точках [math]K[/math] и [math]P[/math] соответственно. Четырехугольник [math]MKPN[/math] - искомое сечение

б) По свойству параллельных плоскостей [math]KP\parallel MN[/math], следовательно, четырехугольник [math]MKPN[/math] - трапеция

[math]S_{MKPN}=\frac{KP+MN}2\times FO[/math], где [math]FO[/math] - высота трапеции

Точка [math]O[/math] является одновременно точкой пересечения медиан и высот треугольника [math]ABC[/math], поэтому [math]MN=\frac23\times AC=\frac23\times6=4,\;BH=3\sqrt3[/math][math]BO=\frac23BH=2\sqrt3[/math]

[math]\bigtriangleup B_1O_1K=\bigtriangleup AO_1M[/math], так как точка [math]O_1[/math] - середина отрезка [math]AB_1[/math] и [math]AB\parallel A_1B_1[/math]

Из равенства треугольников следует [math]B_1K=AM=\frac13\times6=2.[/math]

Так как [math]\bigtriangleup KB_1F[/math] прямоугольный и [math]\angle B_1KF=60^\circ[/math], [math]B_1F=\frac{KB_1\sqrt3}2=\sqrt3[/math].

[math]\bigtriangleup KB_1P[/math] - равносторонний, поэтому [math]KP=2[/math]

Проведем [math]FE\perp BH[/math], тогда [math]BE=B_1F=\sqrt3[/math], [math]OE=OB-BE=2\sqrt3-\sqrt3=\sqrt3[/math].

По условию [math]\angle FOE=30^\circ\;[/math] в прямоугольном треугольнике [math]FEO[/math], поэтому [math]OF=\frac{OE}{\cos30^\circ}=\frac{\sqrt3\times2}{\sqrt3}=2[/math]

[math]S_{MKPN}=\frac{2+4}2\times2=6[/math]

Ответ: [math]6[/math]

15

Решите систему неравенств: [math]\left\{\begin{array}{l}\left(\frac19\right)^\frac{4-x^2}2\geq27\\\log_{x+2}(2x^2+x)>2\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

1. Решим первое неравенство системы:

[math](\frac19)^\frac{4-x^2}2\geq27^x[/math]

[math]3^{x^2-4}\geq3^{3x}[/math]

[math]x^2-4\geq3x[/math]

[math]x^2-3x-4\geq0[/math]

[math](x+1)(x-4)\geq0[/math]

[math]x\leq-1;\;x\geq4.[/math]

2. Решим второе неравенство системы

[math]\begin{array}{l}\log_{x+2}(2x^2+x)>2\\\\\end{array}[/math]

ОДЗ: [math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\;\;x+2>0,\\\begin{array}{c}x+2\neq1,\\2x^2+x>0;\end{array}\end{array}\right.\\\\\end{array}[/math] [math]\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;x>-2,\\\begin{array}{c}x\neq-1,\\\left\{\begin{array}{l}x0;\end{array}\right.\end{array}\end{array}\right.\\\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}x\in(-2;-1)\cup(-1;-\frac12)\cup(0;+\infty).\\\\\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_{x+2}(2x^2+x)-\log_{x+2}(x+2)^2>0,\\(x+2-1)(2x^2+x-(x+2)^2)>0,\\(x+1)(x^2-3x-4)>0,\\(x+1)(x-4)^2>0.\\\\\end{array}[/math]

Вариант 1

[math]\begin{array}{l}x\in(4;+\infty)\;\\\\\end{array}[/math] (см. Рисунок)

Учитывая ОДЗ, имеем [math]\begin{array}{l}x\in(4;+\infty)\;\\\\\end{array}[/math]

Ответ: [math]\begin{array}{l}x\in(4;+\infty)\;\\\\\end{array}[/math]

16

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность радиуса R, [math]\angle ABC=\alpha[/math]. Параллельно основанию АС проведена средняя линия, продолженная до пересечения с окружностью в точках P и K.

а) Докажите, что высота ВН треугольника АВС [math]BH=2R\cos^2\frac\alpha2[/math]

б) Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника КВР, если [math]\angle ABC=120^\circ[/math].

Показать ответ

Решение:

а) В [math]\begin{array}{l}\bigtriangleup ABC\;\\\\\end{array}[/math] по теореме синусов[math]\begin{array}{l}\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R,\;\frac{AC}{\sin\alpha}=2R,\;AC=2AH,\;2AH=2R\sin\alpha,\;AH=R\sin\alpha\;\\\\\end{array}[/math] (см. рисунок)

Вариант 1

В [math]\bigtriangleup ABH\;tg\angle ABH=\frac{AH}{BH},\;AH=BH\times tg\angle ABH=BH\times tg\;\frac\alpha2.[/math]

Имеем [math]R\sin\alpha=BHth\frac\alpha2.[/math]

[math]BH=\frac{2R\sin{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\cos{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sin{\displaystyle\frac a2}}=2R\cos^2\frac\alpha2[/math], что и требовалось доказать

б) [math]S_{ABC}=\frac12\times AC\times BH=\frac12\times2R\sin\alpha\times2R\cos^2\frac\alpha2=2R^2\cos^2\frac\alpha2\sin\alpha.[/math]

[math]S_{KBP}=\frac12PK\times BE.[/math] По условию [math]MN[/math] - средняя линия [math]\bigtriangleup ABC[/math]? значит [math]BE=\frac12BH=R\cos^2\frac\alpha2.[/math] Из прямоугольного треугольника [math]BKF[/math] по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла [math]KE^2=BE\times FE=R\cos^2\frac\alpha2(2R-R\cos^2\frac\alpha2)=R^2\cos^2(1+1-\cos^2\frac\alpha2)=R^2\cos^2\frac\alpha2(1+\sin^2\frac\alpha2).[/math]

[math]PK=2KE=2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}[/math]

[math]S_{KPB}=\frac12\times2R\cos\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}\times R\cos^2\frac\alpha2=R^2\cos^3\frac\alpha2\sqrt{1+\sin^2\frac\alpha2}.[/math]

[math]\frac{S_{ABC}}{S_{KBP}}=\frac{2R^2\cos^2{\displaystyle\frac\alpha2}\sin\alpha}{R^2\cos^3{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{2\sin\alpha}{\cos{\displaystyle\frac\alpha2}\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}=\frac{4\sin{\displaystyle\frac\alpha2}}{\sqrt{1+\sin^2{\displaystyle\frac\alpha2}}}.[/math]

По условию [math]\alpha=120^\circ,[/math]

Ответ: [math]\frac{4\sqrt{21}}7[/math]

17

Для перевозки большого числа ящиков по 130 кг и по 110 кг выделены двухтонные машины. Можно ли загрузить такими ящиками машину полностью? Укажите все варианты того, сколько ящиков каждого вида при этом можно взять.

Показать ответ

Решение:

Обозначим через [math]x[/math]число ящиков по 130кг и через [math]y[/math] - число ящиков по 110 кг. Тогда должно выполняться [math]130x+110y=2000[/math], или [math]13x+11y=200[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] могут быть только целыми положительными числами.

[math]x\geq0[/math], поэтому [math]11y\leq200,\;y\leq18[/math].

[math]y\geq0[/math], поэтому [math]13x\leq200,\;x\leq15[/math].

Далее у нас есть 2 пути.

1) Перебираем все значения [math]x[/math] от 0 до 15 и находим целые значения y.

2) решим уравнение [math]13x+11y=200[/math] в целых числах.

[math]11y=200-13x[/math]

[math]y=18-x+\frac{2-2x}{11}[/math]

[math]y=18-x+\frac{2(1-x)}{11}[/math]

Так как [math]x,y[/math] целые, то [math]1-x[/math] делится на 11, [math]1-x=11k,\;k\in\mathbb{Z}[/math], [math]x=1-11k[/math], [math]y=\frac{200-13x}{11}=\frac{200-13(1-11k)}{11}=\frac{200-13}{11}+13k=17+13k.[/math]

Мы получили, что [math]\left\{\begin{array}{l}x=1-11k,\\y=17+13k\end{array}\right.k\in\mathbb{Z}.[/math]

[math]\begin{array}{l}x\geq0,\;1-11k\geq0,\;k\leq\frac1{11},\\y\geq0,\;17+13k\geq0,\;k\geq-\frac{17}{13}\end{array}[/math], значит, [math]k[/math] может быть равно [math]-1[/math] или [math]0[/math]

Если [math]k=-1[/math], то [math]x=12,\;y=4.[/math]

Если [math]k=0[/math], то [math]x=1,\;y=17.[/math]

Ответ: полностью машины можно загрузить, если в каждую машину установить 12 ящиков по 130кг и 4 ящика по 110кг или 1 ящик 130кг и 17 ящиков по 110кг

18

Найдите все значения параметра α, при которых уравнение [math]\log_\frac1a(\sqrt{x^2+ax+10}+1)lg(x^2+ax+11)+2\log_a2=0[/math]имеет ровно одно решение.

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\\x^2+ax+11>0\end{array}\end{array}\right.[/math][math]\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0,\\\begin{array}{c}a\neq1,\\x^2+ax+10\geq0\end{array}\end{array}\right.[/math]

Обозначим [math]x+\frac\alpha2=t.[/math]

Уравнение примет вид

[math]log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0.[/math]

Функция [math]f(t)=log_\frac1a(\sqrt{t^2+10-\frac{a^2}4}+1)lg(t^2+11-\frac{a^2}4)+2\log_a2[/math] - четная

Исходное уравнение имеет ровно одно решение при [math]t=0[/math], в противном случае будет иметь не менее двух решений,что противоречит условию задачи.

Имеем [math]f(0)=0.[/math]

[math]\log_\frac1a(\sqrt{10-\frac{a^2}4}+1)lg(11-\frac{a^2}4)+2\log_a2=0. (1)[/math]

Пусть [math]\sqrt{10-\frac{a^2}2}=b,\;b\geq0.[/math] Тогда уравнение (1) принимает вид: [math]\begin{array}{l}-\log_a(b+1)lg(b^2+1)+\log_a4=0,\\\log_2(b+1)\times log_2(b^2+1)=\log_24\times\log_210.\;(2)\end{array}[/math]

Если [math]b=0[/math], то получаем противоречие, поэтому [math]b>0,\;b+1>1[/math] и [math]b^2+1>1[/math]. Отсюда следует, что функции [math]g(b)=\log_2(b+1)[/math] и [math]f(b)=\log_2(b^2+1)[/math] являются возрастающими положительными функциями. Их произведение является тоже возрастающей функцией.

Если [math]b+1=4[/math] и [math]b^2+1=10[/math], то [math]b=3[/math] удовлетворяет (2).

Других решений уравнение (2) не имеет, так как права часть уравнения (2) является константой.

Ответ: [math]a=2[/math]

19

Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует пятизначных палиндромов?

б) Существует ли 2015-значное число, квадрат которого является палиндромом?

в) Сколько существует палиндромов, квадраты которых не превышают 100000 и так же являются палиндромами?

Показать ответ

Решение:

а) Пятизначный палиндром имеет вид [math]xyzyx[/math], где [math]y,z[/math] - любые цифры, [math]x[/math] - любая цифра, кроме 0. Значит всего существует [math]9\times10\times10=900[/math] пятизначных палиндромов.

б) Да, приведем пример. Пусть [math]x=10^{2014}+1[/math] - 2015 - значное число, тогда [math]x^2=10^{4028}+2\times10^{2014}+1=1\underbrace{000...000}2\underbrace{000...000}1[/math] - палиндром.

Обозначим исходный палиндром [math]A[/math]. Ясно, что [math]A[/math] - не более, чем трехзначное натуральное число, причем [math]A<317[/math] .

[math]317^2=100489>100000[/math]. Рассмотрим 3 случая.

1) [math]A[/math] - однозначное число. Перебором чисел от 1 до 9 определим, что лишь квадраты чисел 1;2 и 3 являлются палиндромами

2) Двузначные палиндромы: 11,22,33,44,55,66,77,88,99. Непосредственно убедимся, что только [math]11^2[/math] и [math]22^2[/math] являются палиндромами

3) Пусть A трехзначное число, меньшее 317, и [math]A=xyx[/math], тогда [math]1\leq x\leq3[/math] и [math]A^2=(100x+10y+x)^2=x^2\times10^4+2xy\times10^3+(2x^2+y^2)\times10^2\;+2xy\times10+x^2[/math]. Так как [math]1\leq x^2\leq9[/math] , то [math]x^2[/math] является первой и последней цифрой числа [math]A^2[/math]

Если [math]2xy\geq10[/math] , то вторая цифра [math]A^2[/math] ,будет больше [math]x^2[/math] и [math]A^2[/math] палиндромом не является. Поэтому [math]2xy<10[/math], если [math]A^2[/math] является палиндромом, у которого вторая и четверная цифры равны [math]2xy[/math].

Если [math]2x^2+y^2\geq10[/math], то вторая цифра [math]A^2[/math] ,будет больше [math]2xy[/math], поэтому [math]2x^2+y^2<10[/math].

Отсюда следует, что [math]2x^2<10[/math], значит [math]x=1[/math] или [math]x=2[/math]. Так как [math]2\leq2x^2[/math] и [math]2x^2+y^2<10[/math], то [math]y=0,1,2.[/math]

Получаем следующие числа: 101,11,121,202,212,222. Число 222 не удовлетворяет условию [math]2x^2+y^2<10[/math].

В этом случае 5 вариантов (101,111,121,202,212). Всего 10 возможных значений [math]A[/math]

Ответ: a) 900; б) да; в) 10.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

516 442
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель