Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 7

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

В корзине 10 разноцветных шаров: голубых, розовых и белых. Они соотносятся как 10 : 25 : 15. Найдите количество белых шаров.

2
2

На диаграмме 48 показано количество посетителей сайта новостей во все дни с 10 по 29 ноября 2012 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за день. Определите по диаграмме, сколько дней количество посетителей сайта новостей было наибольшим за указанный период.

Вариант 7

3
3

Периметр прямоугольника равен 32, а площадь — 48. Найдите меньшую сторону прямоугольника

Вариант 7

4
4

В магазине в среднем на каждые 80 качественных наручных часов приходится 12 с дефектами. Какова вероятность того, что наудачу купленные в этом магазине часы окажутся качественными? Ответ округлите до сотых.

5
5

Найдите корень уравнения [math]6^{x+3}=\frac1{216}[/math]

6
6

В треугольнике ABC угол C равен 90º, [math]\sin A=\frac{5\sqrt{34}}{34}[/math]. Найдите tg B.

7
7

На рисунке 50 изображён график у = f'(х) — производной функции f(х), определённой на интервале (—8; 15). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [1; 13].

Вариант 7

8
8

Объем куба равен 3√3 / 8. Найдите его диагональ.

Вариант 7

9
9

Найдите значение выражения [math]\frac{24\sin298^\circ}{\sin62^\circ}[/math]

10
10

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = Uo sin(ω t + φ), где t — время в секундах, амплитуда Uo = 10 В, частота ω = 150°/с, фаза φ = 30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 5 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

11
11

Компания «Эгеушер» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2008 году, имея капитал в размере 8000 долларов. Каждый год, начиная с 2009 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Незнайка» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2010 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и начиная с 2011 года ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2013 года, если прибыль из оборота не изымалась?

12
12

Найдите точку максимума функции [math]y(x)=-x\sqrt x+6x[/math]

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sqrt3\sin^22x-2\sin4x+\sqrt3\cos^22x=0[/math]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[-1;1\right][/math]

Показать ответ

Решение:

а) [math]\begin{array}{l}\sqrt3(\sin^22x+\cos^22x)-2\sin4x=0;\\\sqrt3-2\sin4x=0;\\\sin4x=\frac{\sqrt3}2.\end{array}[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}4x=\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\\4x=\frac{2\mathrm\pi}3+2\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\;\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac\pi2k,\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\mathrm\pi}6+\frac\pi2n,\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\\\end{array}[/math]

б) Найдем корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [math]\left[-1;1\right][/math]

При [math]k\geq1[/math] и [math]n\geq1[/math] корни принимают значения больше [math]1,5[/math] даже при грубом округлении [math]\mathrm\pi=3[/math]. Поэтому корни попадут в промежуток при значениях [math]\mathrm k=\mathrm n=0;[/math]

[math]x_1=\frac{\mathrm\pi}{12};\;x_2=\frac{\mathrm\pi}6[/math]

Ответ: а) [math]\frac{\mathrm\pi}6+\frac\pi2n;\;\frac{\mathrm\pi}{12}+\frac\pi2k;\;n,k\in\mathbb{Z}[/math]б) [math]x_1=\frac{\mathrm\pi}{12};\;x_2=\frac{\mathrm\pi}6[/math]

14

Высота усеченного конуса равна [math]\frac{\sqrt3}2[/math]. Прямоугольный треугольник АВС с катетом ВС, равным 3, и углом А, равным 60°, расположен так, что вершина А лежит на окружности нижнего основания, а вершины В и С — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания усечённого конуса.

Показать ответ

Решение:

Не нарушая общности, можем считать, что [math]\angle С=90^\circ[/math]. Найдем катет [math]AC[/math] прямоугольного треугольника [math]ABC[/math]: [math]\frac{BC}{AC}=tgA;\;AC=\frac{BC}{tgA}=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3[/math]

Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания усеченного конуса равен углу [math]CA_1C[/math], где [math]C_1C[/math] - перпендикуляр к плоскости основания конуса (см. рисунок).

Вариант 7

Действительно, плоскость [math]ABC[/math] пересекает плоскость верхнего основания конуса по прямой [math]BC[/math], а нижнего основания конуса по прямой [math]l[/math], значит [math]l\parallel BC[/math]. Так как [math]AC\perp BC[/math], то [math]AC\perp l[/math]. [math]AС_1[/math] - проекция [math]AC[/math] на плоскость нижнего основания конуса, следовательно, [math]AC_1\perp l[/math] по теореме о трех перпендикулярах. [math]\angle CAC_1[/math] найдем из прямоугольного треугольника [math]ACC_1[/math]. [math]\sin\angle CAC_1=\frac{CC_1}{AC}=\frac12[/math], [math]\angle CAC_1=30^\circ[/math].

Ответ: [math]30^\circ[/math]

15

Решите неравенство [math]\frac{\log_{4^{x+2}}16}{\log_{4^{x+2}}(-16x)}\leq\frac1{\log_4\log_{\displaystyle\frac14}4^x}[/math]

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}4^{x+2}>0\\4^{x+2}\neq0\\-16x>0\\\log_{4^{x+2}}(-16x)\neq0\\4^x>0\\\log_\frac144^x>0\end{array}\\\log_4\log_\frac144^x\neq0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+2\neq0\\x<0\\-16x\neq1\\\log_44^x<0\end{array}\\\log_\frac144^x\neq1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x\neq-2\\x<0\\x\neq-\frac1{16}\end{array}\\x\neq-1\end{array}\right.[/math]

[math]x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;-\frac1{16})\cup(-\frac1{16};0)[/math]

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство, перейдя к основанию 4 в обеих его частях:

[math]\frac{\left({\displaystyle\frac{\log_416}{\log_44^{x+2}}}\right)}{\left({\displaystyle\frac{\log_4(-16x)}{\log_44^{x+2}}}\right)}\leq\frac1{\log_4\log_4{\displaystyle\frac1{4^x}}}[/math]; [math]\frac{\log_416}{\log_4(-16x)}\leq\frac1{\log_4(-x)}[/math]; [math]\frac2{\log_4(-x)+\log_416}\leq\frac1{\log_4(-x)}[/math]; [math]\frac2{\log_4(-x)+2}\leq\frac1{\log_4(-x)}[/math]

Сделаем замену [math]t=\log_4(-x),[/math] тогда [math]\frac2{t+2}\leq\frac1t[/math]. Решив неравенство методом интервалов, получим [math]t\in(-\infty;-2)\cup(0;2\rbrack[/math]

Вернемся к исходной переменной, рассмотрим 2 случая:

1) [math]log_4(-x)<-2,\;\log_4(-x)-\frac1{16}[/math]

2) [math]0<log_4(-x)\leq2[/math][math]\log_41<log_4(-x)\leq\log_416[/math][math]-16\leq x\leq-1[/math]

С учетом ОДЗ запишем ответ: [math]x\in\lbrack-16;-2)\cup(-2;-1)\cup(-\frac1{16};0)[/math]

16

Две окружности с центрами О и О1, радиусы которых относятся как 1 : 3, касаются внешним образом, длина их общей внешней касательной АС равна 6√3

а) Докажите, что угол АОО1 равен 120° (ОА — радиус, проведённый в точку касания).

б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.

Показать ответ

Решение:

а) Заметим, что [math]OA\perp AC[/math] и [math]O_1C\perp AC[/math] по свойству радиусов, проведенных в точку касания (см. рисунок). Опустим [math]OK\perp OC_{1\;}[/math] ([math]K[/math] лежит на [math]O_1C[/math]). Пусть [math]OA[/math] равно [math]R[/math], тогда [math]O_1C=3R,\;OACK[/math] - прямоугольник, [math]KC=OA=R[/math]. Значит, [math]O_1K=2R[/math]. [math]M[/math] - точка касания окружностей, [math]OM=R,\;O_1M=3R[/math]. В прямоугольном треугольнике [math]OO_1K[/math] катет [math]O_1K=2R[/math], гипотенуза [math]OO_1=OM+MO_1=4R,[/math] то есть катет [math]O_1K[/math] равен половине гипотенузы, откуда [math]\angle O_1OK=30^\circ[/math], [math]\angle AOO_1=\angle AOK+\angle O_1OK=120^\circ[/math], что и требовалось доказать.

Вариант 7

В треугольнике [math]OO_1K[/math] по теореме Пифагора [math]OK=\sqrt{(4R)^2-(2R)^2}=2\sqrt3R.[/math] [math]AC=OK=2\sqrt3R=6\sqrt3,\;[/math] следовательно, [math]R=3.[/math]. Длина окружности с центром [math]O[/math] равна [math]2\mathrm{πR}=6\mathrm\pi[/math]. Длина окружности с центром [math]{\mathrm O}_1[/math] равна [math]2\mathrm\pi(3\mathrm R)=18\mathrm\pi[/math]. [math]\angle A_1OA=360^\circ-\angle AOO_1-\angle A_1OO_1=120^\circ[/math] (см. рисунок). Значит длина внешней дуги меньшей окружности равна[math]6\mathrm\pi\frac{120^\circ}{360^\circ}=2\mathrm\pi[/math]. Ясно, что [math]\angle{\mathrm{OO}}_1\mathrm C=60^\circ,[/math][math]\angle{\mathrm{CO}}_1{\mathrm C}_1=120^\circ,[/math], значит длина внешней дуги большей окружности равна [math]\frac{240^\circ}{360^\circ}\times18\mathrm\pi=12\mathrm\pi[/math]

Вариант 7

искомый периметр равен [math]{\mathrm A}_1{\mathrm C}_1+2\mathrm\pi+\mathrm{AC}+12\mathrm\pi=12\sqrt3+14\mathrm\pi[/math]

Ответ: [math]12\sqrt3+14\mathrm\pi[/math]

17

Акционерное общество «Незнайка» израсходовало 20% своей годовой прибыли на реконструкцию производственной базы, 25% оставшихся денег потратило на строительство спортивного комплекса, выплатило 4 200 000 рублей дивидендов по акциям. После всех этих расходов осталась нераспределённой 0,1 прибыли. Сколько рублей составляла прибыль акционерного общества?

Показать ответ
[justify]

Решение:

Пусть [math]x[/math] рублей составила прибыль. На реконструкцию производственной базы израсходовали [math]0,2x[/math] рублей, после чего осталось [math]0,8x[/math] рублей. На строительство спортивного комплекса израсходовали [math]0,8x\times0,25=0,2x\;[/math] рублей. [math]0,1x\;[/math] рублей осталось нераспределенными. По условию 4200000 рублей выплатили дивидендов. Составим и решим уравнение:

[math]\begin{array}{l}0,2x+0,2x+0,1x+4200000=x\\0,5x=4200000\\x=8400000\;\end{array}[/math]

Ответ: прибыль составила 8400000 рублей.

18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение [math](tgx\;+\;2)^2-(3a^2\;+\;2a-4)(tgx\;+\;2)+(3a^2-5)(2a+1)\;=\;0[/math] имеет на отрезке [math]\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] ровно два решения.

Показать ответ

Решение:

Сделаем замену [math]tgx+2=t[/math], тогда уравнение пример вид [math]t^2-(3a^2+2a-4)t+(3a^2-5)(2a+1)=0.[/math] пользуясь обратной теоремой Виета, запишем корни этого уравнения [math]t_1=2a+1,\;t_2=3a^2-5[/math], откуда:

[math]\left\{\begin{array}{l}tgx=2a-1,\\tgx=3a^2-7.\end{array}\right.[/math]

Изобразим эскиз графика функции [math]y=tgx[/math] при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] (см. рисунок). Очевидно, что при [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] уравнение [math]tgx=b[/math] имеет 2 решения при [math]b\leq0[/math] и 1 решение при [math]b>0[/math].

Вариант 7

Значит, исходное уравнение на отрезке [math]x\in\left[-\frac{\mathrm\pi}2;\mathrm\pi\right][/math] имеет ровно 2 решения в одном из двух случаев:

[math]\begin{array}{l}1)\;2a-1=3a^2-7\leq0\\2)\;\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\end{array}\\2a-1\neq3a^2-7.\end{array}\right.\end{array}[/math]

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Решив вспомогательное уравнение [math]3a^2-7=2a-1[/math] получим [math]a=\frac{1\pm\sqrt{19}}3[/math]. При [math]a=\frac{1+\sqrt{19}}3[/math] имеет место неравенство[math]2a-1=-\frac13+\frac{2\sqrt{19}}3>0[/math], а при [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math], соответственно,[math]2a-1=-\frac13-\frac{2\sqrt{19}}3[/math].

Значит, [math]a=\frac{1-\sqrt{19}}3[/math]б соответствует условию задачи.

решим систему неравенств:

[math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2a-1>0\\3a^2-7>0\end{array}\\2a-1\neq3a^2-7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}a>\frac12\\\left\{\begin{array}{l}a\sqrt{\frac73}\end{array}\right.\end{array}\\a\neq\frac{1\pm\sqrt{19}}3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>\sqrt{\frac73}\\a\neq\frac{1\pm\sqrt{19}}3\end{array}\right.[/math]

так как [math]\frac{1+\sqrt{19}}3>\sqrt{\frac73}[/math]

Значит ответ будет: [math]\left\{\frac{1-\sqrt{19}}3\right\}\cup\left(\sqrt{\frac73};\;\frac{1+\sqrt{19}}3\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{19}}3;\;+\infty\right)[/math]

19

На n деревьях, расположенных по окружности, сидели n весёлых чижей (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по часовой стрелке, другой — против). Могут ли все n чижей собраться на одном дереве, если

а) n = 3?

б) n = 2015?

в) n = 10?

Показать ответ

Решение:

а) Занумеруем деревья числами 1,2,3 (по порядку). Пусть один чиж сидит неподвижно, например, на дереве 2, тогда чижи с деревьев 1 и 3, совершив по одному перелету, окажутся на дереве 2. Итак, все три чижа могут собраться на 1 дереве.

б) Пусть один чиж сидит неподвижно на дереве. Разобьем остальных чижей на пары, сидящих на одинаковом расстоянии [math]r[/math] перелетов от неподвижного в ту и другую сторону ([math]r=1,2,...,1007[/math]). Ясно, что каждая такая пара может за [math]r[/math] перелетов попасть на то дерево, где сидит неподвижных чиж.

в) Занумеруем деревья по порядку, например, по часовой стрелке числами от 1 до 10. Пусть количество чижей на [math]k[/math]-м дереве какой то момент времени равно [math]a_k[/math].

Посчитаем сумму [math]S_1=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9[/math] - количество чижей на деревьях с нечетными номерами и сумму [math]S_2=a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}[/math] (с четными)

Если чижи перелетают с деревьев с нечетными номерами, то [math]S_1[/math] уменьшается на 2, а [math]S_2[/math] увеличивается на 2. Если чижи перелетают с деревьев с четными номерами, то получится тоже самое, только наоборот. Если же чижи перелетели с "четного" и "нечетного" деревьев, то суммы не изменятся. Видим, что четность [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math] не меняется. Но если все чижи слетелись на одно дерево, то одна из сумм стала 10, а другая 0. В начале же [math]S_1=S_2=5[/math]. Суммы должны сохраняться нечетными, значит, такое невозможно

Ответ: а) да; б)да; в)нет.

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

523 898
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель