Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 18

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,15 г 3 раза в день в течение 30 дней. В одной упаковке 20 таблеток лекарства по 0,15 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

2
2

При работе фонарика батарейка разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке 95 показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.

Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,0 вольт до 0,8 вольт.

Вариант 18

3
3

В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 42, вписана окружность. АВ = 6. Найдите CD.

Вариант 18

4
4

На собеседовании при приёме на работу соискателю задают вопросы, касающиеся образования, опыта работы, полученных навыков и знаний, владения иностранными языками. Чтобы претендовать на должность руководителя отдела, соискатель должен набрать на собеседовании не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, опыт работы и полученные знания и навыки. Чтобы претендовать на должность референта, нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, полученные знания и навыки, владение иностранными языками. Вероятность того, что соискатель М. получит не менее 70 баллов по блоку «образование», равна 0,6, по блоку «опыт работы» — 0,8, по блоку «знания и навыки» — 0,7 и по блоку «иностранные языки» — 0,5. Найдите вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей.

5
5

Найдите корень уравнения [math]\cos\frac{\mathrm\pi\left(2\mathrm x-3\right)}3=\frac12[/math], в ответе запишите наибольший отрицательный корень.

6
6

Сторона МР тупоугольного треугольника MPQ с тупым углом Q равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол Q. Ответ дайте в градусах.

7
7

На рисунке изображён график функции у = f(x) и отмечены точки —3, —1,1, 6, 9. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Вариант 18

8
8

Если каждое ребро куба увеличить на 4, то площадь его поверхности увеличится на 264. Найдите ребро исходного куба.

Вариант 18

9
9

Найдите [math]\frac{2\sin\alpha+4\cos\alpha}{5\sin\alpha-3\cos\alpha}[/math], если ctg α = 2.

10
10

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому [math]P=\sigma ST^4[/math], где Р — мощность излучения звезды [math]\sigma=5,7\cdot10^{-8}[/math] Вт/(м2·К4) — постоянная, S — площадь поверхности звезды, а T — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна [math]\frac1{162}\cdot10^{23}[/math] м2, а мощность её излучения равна 4,56 · 1028Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

11
11

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 145 метров, второй — длиной 85 метров. Сначала второй сухогруз отстаёт от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 710 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстаёт от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

12
12

Найдите наибольшее значение функции у = 0,5х - sin х + 3 на отрезке [math]\left[0;\;\frac{\mathrm\pi}6\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\log_\sqrt5\sqrt{x^4+2}=\log_5\left(37x^2-4\right)-1.[/math]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [math]\left[-2\frac23;\;\frac13\right][/math].

Показать ответ

Решение:

а)

[math]\begin{array}{l}\log_5(x^4+2)=\log_5(37x^2-4)-\log_55\\\log_5(5x^4+10)=\log_5(37x^2-4)\\5x^4-37x^2+14=0\\(5x^2-2)(x^2-7)=0\end{array}[/math] [math]\begin{array}{l}5x^2-2=0;\;x=\pm\sqrt{\frac25}\\x^2-7=0;\;x=\pm\sqrt7\end{array}[/math]

Все корни входят в ОДЗ [math]\left|x\right|>\sqrt{\frac4{37}}[/math]

б) Поскольку [math]-2\frac23<-2,66\sqrt7\;[/math] и [math]\frac13<0,4<\sqrt{0,4}[/math], то отрезку [math]\left[-2\frac23;\frac13\right][/math] принадлежат корни [math]-\sqrt7;-\sqrt{0,4}[/math].

Ответ: а) [math]\pm\sqrt7;\;\pm\sqrt{0,4};[/math]

б) [math]-\sqrt7;\;-\sqrt{0,4};[/math]

14

В правильную четырёхугольную пирамиду, высота которой равна √119, а боковое ребро — 13, вписан шар, который касается всех граней пирамиды. Найдите площадь поверхности шара.

Показать ответ

Решение:

Пусть [math]DH[/math] - высота пирамиды [math]DABCK[/math] с вершиной [math]D[/math], [math]ABCK[/math] - квадрат, [math]AD=13[/math], высота [math]DH=\sqrt{119}[/math], откуда [math]AH=\sqrt{AD^2-DH^2}=5\sqrt2[/math]. [math]H[/math] - точка пересечения диагоналей квадрата [math]ABCK[/math], [math]MH=\frac12AB=\frac{\sqrt2}2AH=5[/math] (см. рисунок)

Вариант 18

Из [math]\bigtriangleup MDH:[/math] [math]DM=\sqrt{MH^2+DH^2}=\sqrt{25+119}=12[/math]

Центр [math]O[/math] шара лежит на высоте пирамиды [math]DH[/math], на [math]MD\;(MD\perp AB)[/math] лежит точка [math]P[/math] касания шара и грани [math]ABD[/math]. Тогда [math]OP[/math] - радиус вписанного шара, [math]OP=OH[/math], полагаем [math]OP=r[/math].

[math]\bigtriangleup MDH\sim\bigtriangleup ODP,\;OD:MD=OP:MH[/math], [math](\sqrt{119}-r)\;:\;12=r\;:\;5[/math], [math]r=\frac{5\sqrt{119}}{17}[/math]

[math]S_{пов.ш.}=4\mathrm{πr}^2=4\mathrm\pi\left(\frac{5\sqrt{119}}{17}\right)^2=\frac{700\mathrm\pi}{17}[/math]

Ответ: [math]\frac{700\mathrm\pi}{17}[/math]

15

Решите систему неравенств

[math]\left\{\begin{array}{l}\log_{x-2}\left(2x+1\right)\cdot\log_{x-2}\frac{2x^2-3x-2}{\left(x-2\right)^4}\geqslant-2,\\\log_7\left(101\cdot2^x-2^{2x+1}-5\right)\geqslant5-3x.\end{array}\right.[/math]

Показать ответ

Решение:

Преобразуем первое неравенство:

[math]\begin{array}{l}\log_{x-2}(2x+1)\log_{x-2}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)^4}+2\geq0\\\log_{x-2}(2x+1)(\log_{x-2}(2x+1)-3)+2\geq0\end{array}[/math]

Пусть [math]\log_{x-2}(2x+1)=p[/math], тогда [math]p^2-3p+2\geq0,\;p\leq1,\;p\geq2[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_{x-2}(2x+1)\leq1\\(x-2-1)(2x+1-x+2)\leq0\\(x-3)(x+3)\leq0\\x\in\left[-3;3\right]\end{array}[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_{x-2}(2x+1)\geq2\\\log_{x-2}(2x+1)\geq\log_{x-2}(x-2)^2\\(x-2-1)(2x+1-(x+2)^2)\geq0\\(x-3)(x^2-6x+3)\leq0\\x\in\left[-\infty;3-\sqrt6\right]\cup\left[3;3+\sqrt6\right]\end{array}[/math]

Найдем ОДЗ [math]\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\\begin{array}{c}x-2\neq1\\2x+1>0\end{array}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>2\\x\neq3\end{array}\right.[/math]

Решение первого неравенства: [math]\left(2;3\right)\cup(3;3+\sqrt6\rbrack[/math]

Ясно, что при [math]x>2[/math] выполняется [math]3x>6[/math] [math]5-3x<-1<0[/math]

Покажем, что все решения первого неравенства удовлетворяют второму неравенству [math]\log_7(101\times2^x-2^{2x+1}-5)\geq0[/math]. Решим неравенство [math]101\times2^x-2^{2x+1}-5\geq1[/math]. Пусть [math]2^x=t[/math], тогда [math]2t^2-101t+6\leq0[/math], [math]t\in\left[\frac{101-\sqrt{10153}}4;\frac{101+\sqrt{10153}}4\right][/math]

С другой стороны, если [math]x\in(2;3)\cup(3;3+\sqrt6)[/math], то [math]2^2<t<2^{3+\sqrt6}<2^{3+\sqrt{6,25}}=2^{5,5}=32\sqrt2<48[/math], то есть [math]4<t100[/math] и потому [math]\frac{101+\sqrt{10153}}4>\frac{201}4>48[/math]; [math]\frac{101-\sqrt{10153}}4<\frac{101-100}4<4[/math]

Следовательно решения первого неравенства сходят в промежуток решений второго неравенства.

Ответ: [math]\left(2;\;3\right)\cup[/math](3; 3 + [math]\sqrt6[/math]]

16

Биссектриса тупого угла А трапеции ABCD пересекает сторону ВС трапеции в точке Т, а продолжение стороны CD в точке К так, что ABTD — параллелограмм и КС : CD = 2 : 3.

а) Докажите, что АТ [math]\perp[/math] BD.

б) Найдите периметр трапеции ABCD, если её боковая сторона АВ равна 15, а угол В трапеции равен 45°.

Показать ответ

а) [math]\angle BAT=\angle TAD[/math] ([math]AT[/math] - биссектриса [math]\angle A[/math]), [math]\angle BTA=\angle TAD[/math] (как накрест лежащие углы), следовательно [math]\angle BTA=\angle BAT[/math] и [math]\bigtriangleup BAT[/math] равнобедренный, [math]AB=BT=15[/math], следовательно [math]ABTD[/math] ромб, [math]BT=TD=15.[/math]В ромбе диагонали [math]AT[/math] и [math]BD[/math] перпендикулярны. (см. рисунок)

Вариант 18

б) Периметр [math]ABCD=AB+BC+CD+AD[/math]

[math]\bigtriangleup TKC\sim\bigtriangleup AKD[/math] ([math]\angle K[/math] - общий, [math]\angle KTC=\angle KAD[/math] как соответственные углы при [math]BC\parallel AD[/math]), следовательно [math]KC\;:\;KD=TC\;:\;AD=2\;:\;5[/math]

[math]TC=\frac25AD=6[/math], следовательно [math]BC=15+6=21[/math]

Найдем длину [math]CD[/math] из [math]\bigtriangleup TCD[/math] по теореме косинусов

[math]CD^2=TC^2+TD^2-2TC\times TD\times\cos\angle CTD[/math]

[math]\angle CTD=\angle TBA=45^\circ[/math]

[math]CD^2=6^2+15^2-2\times6\times15\times\cos45^\circ=261-90\sqrt2[/math]

[math]P=15+21+\sqrt{261-90\sqrt2}+15=51+3\sqrt{29-10\sqrt2}[/math]

Ответ: [math]51+3\sqrt{29-10\sqrt2}[/math]

17

Цена производителя на товар Б составляет 40 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или 3 раза и осуществляют услуги по транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку 15%, после чего покупатель приобрёл товар за 828 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем?

Показать ответ

Решение:

Определим цену, по которой магазин закупил товар Б у посредника. Она равна 828:1,15=720 рублей. Значит, за счет посредников цена возросла в [math]\frac{720}{40}=18[/math] раз. Пусть [math]k[/math] посредников увеличивали цену в 2 раза, [math]m[/math] в 3 раза. Тогда [math]18=2^k\times3^m[/math], 2 и 3 - взаимно простые числа. Но [math]18=2^1\times3^2[/math], поэтому [math]k=1,\;m=2[/math]. Общее число посредников равняется [math]k+m=1+2=3[/math].

Ответ: 3

18

Найдите все значения а, при которых уравнение [math]a^3+34-3a^2-2a-28\cos x=3\vert x\vert-2\vert x+a-3\vert[/math] имеет хотя бы один корень.

Показать ответ

Решение:

Рассмотрим функции [math]g(x)=3\left|x\right|-2\left|x+a-3\right|[/math] и [math]p(x)=a^3+34-3a^2-2a-28\cos x[/math]

Так как [math]-28\cos x\leq-29\cos0=-28[/math], то [math]p(x)\leq p(0)=-28+a^3+34-3a^2-2a[/math]

[math]f(x)\;[/math] - кусочно-линейная функция.

Если [math]3-a\geq0,\;[/math] то [math]f(x)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}-x+2(a-3),\;x<0\\5x+2(a-3),\;0\leq x\leq3-a\end{array}\\x-2(a-3),\;x\geq3\end{array}\right.[/math]

Если [math]3-a<0[/math] , nj [math]f(x)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}-x+2(a-3),\;x<3-a\\-5x-2(a-3),\;3-a\leq x\leq0\end{array}\\x-2(a-3),\;x\geq0\end{array}\right.[/math]

Множество значений [math]f(x):\;\left[f(0);+\infty\right][/math]

[math]f(x)[/math] при [math]x<0[/math] убывает, а при [math]x\geq0[/math] возрастает, значит [math]f(x)\geq f(0)=-2\left|a-3\right|[/math]

Так как [math]f(x)\geq f(0)[/math], а [math]p(x)\leq p(0)[/math], то уравнение [math]f(x)=g(x)[/math] имеет корни, если [math]f(0)\leq p(0)[/math]

[math]\begin{array}{l}a^3+34-3a^2-2a-28\geq-2\left|a-3\right|\\a^3-3a^2-2a+6+2\left|a-3\right|\geq0\\(a-3)(a^2-2)+2\left|a-3\right|\geq0\end{array}[/math]

1) [math]a\geq3,\;[/math] [math](a-3)a^2\geq0\;;[/math] [math](a-3)(a^2-2+2)\geq0\;[/math]; [math]a\geq3;[/math]

2) [math]a<3;[/math][math](a-3)(a^2-4)\geq0;[/math][math]-2\leq a\leq2[/math]

[math]a\in\left[-2;2\right]\cup\lbrack3;+\infty)[/math]

Ответ: [math]\left[-2;\;2\right]\cup[/math][3; +∞)

19

Обозначим а(n) сумму цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое двузначное число n, для которого выполняется условие а(n) = а(3n)?

б) Существует ли такое двузначное число n, все цифры которого нечётны, для которого выполняется условие а(n) = а(3n)?

в) Найдите количество трёхзначных чисел n, все цифры которых чётны, для которых выполняется условие а(n) = а(3n)?

Показать ответ

Решение:

а) Существуют, например, число 45. [math]45\times3=135[/math]; [math]1+3+5=4+5[/math]

б) [math]99\times3=297[/math]; [math]a(99)=a(297)=18[/math], поэтому существует двузначное число n с нечетными цифрами такое, что [math]a(n)=a(3n)[/math]

в) Число n и сумма его цифр a(n) дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому из a(n)=a(3n) следует, что при делении чисел n, a(n) и a(3n) на 9 получим одинаковые остатки.

Пусть [math]n=9k+r[/math], [math]0\leq r<9,k\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]3n=9p+r,\;p\in\mathbb{N}[/math]. Но [math]3n=3(9k+r)=27k+3r[/math], Значит, [math]9p+r=27k+3r[/math], [math]2r=9p-27k=9(p-3k)[/math]. [math]2r[/math] делится на 9, значит и [math]r[/math] делится на 9, тогда [math]r=0[/math] и [math]n[/math] делится на 9.

Если в трехзначном числе [math]n[/math] все цифры четные, то их сумма четна и [math]a(n)\leq3\times8=24[/math]. Так как [math]a(n)[/math] делится на 9, то либо [math]a(n)=9[/math], либо [math]a(n)=18[/math]. [math]a(n)\neq9[/math] так как n - четное. Если [math]a(n)=18[/math], то возможны следующие наборы цифр: (6,6,6),(8,8,2),(8,4,6).

Непосредственно убеждаемся что числа 666, 468 и 684 искомыми не являются. Остальные семь чисел будут искомыми.

Ответ: а) да б) да (99) в) 7

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

493 656
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель