Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Скачать .pdf

Вариант 20

Математика Профильный уровень

Часть 1

Ответом на задания 1—12 должно быть целое число или десятичная дробь.

1
1

При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Пётр Агафонович хочет положить на счёт своего мобильного устройства не меньше 500 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приёмное устройство данного терминала?

2
2

В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое ещё не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке 105 эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который ещё не вступил в реакцию (в килограммах). Определите по графику, сколько килограммов реагента вступило в реакцию за первые четыре минуты.

Вариант 20

3
3

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 72, средняя линия равна 14. Найдите боковую сторону трапеции.

Вариант 20

4
4

У жителя А. волшебной страны бывает два типа настроения: прекрасное и замечательное, причём настроение, установившись утром, держится неизменным весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 настроение жителя А. завтра будет таким же, как и сегодня. Сегодня 10 апреля, настроение жителя А. прекрасное. Найдите вероятность того, что 13 апреля у жителя А. настроение будет замечательное.

5
5

Найдите корни уравнения [math]tg\frac{\mathrm\pi\left(2\mathrm x+1\right)}4=-1[/math], в ответе запишите наибольший отрицательный корень.

6
6

В тупоугольном треугольнике KLM KL = LM = 18, КН — высота, LH = 9. Найдите cos ∠KLM.

7
7

Прямая у = 24х + 5 является касательной к графику функции у = 32х2 + bх + 7. Найдите значение b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

8
8

Сосуд в виде правильной треугольной пирамиды высотой 25√3 см до верха заполнен водой. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму куба со стороной, равной стороне основания данной треугольной пирамиды. Ответ выразите в сантиметрах.

9
9

Найдите 45а - 19b + 40, если [math]\frac{3a-5b+7}{8a-4b+7}=6[/math].

10
10

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле [math]A\left(\omega\right)=\frac{A_0\omega_p^2}{\vert\omega_p^2-\omega^2\vert}[/math], где [math]\omega[/math] — частота вынуждающей силы (в с-1), А0 — постоянный параметр, [math]\omega_p[/math] = 350 c-1 — резонансная частота. Найдите максимальную частоту [math]\omega[/math] (в с-1), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину А0 не более чем на [math]\frac{A_0}{24}[/math]. Ответ выразите в с-1.

11
11

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 15 кругов по кольцевой трассе с протяженностью круга 9,6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришел раньше второго на 12 мин. Чему равнялась скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 1 час 12 мин? Ответ дайте в км/ч.

12
12

Найдите наибольшее значение функции y = -π + 4x + 4tg x на отрезке [math]\left[0;\;\frac{\mathrm\pi}4\right][/math].

 

Часть 2.

При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ.

13

а) Решите уравнение [math]\sin3x=2\cos\left(\frac{\mathrm\pi}2-x\right)[/math].

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3π/2; 0].

Показать ответ

Решение:

[math]\sin3x=3\sin x-4\sin^3x[/math]

[math]\begin{array}{l}3\sin x-4\sin^3x=2\sin x\\4\sin^3x-\sin x=0\\\sin x(4\sin^2x-1)=0\\\sin x=0;\;x=\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z}\\\mathrm{sinx}=\pm\frac12;\;\mathrm x=\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}[/math]

Вариант 20

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие указанному промежутку:

Вариант 20

Ответ: а) [math]\mathrm{πn},\;\mathrm n\in\mathbb{Z};[/math]

[math]\pm\frac{\mathrm\pi}6+\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{Z};[/math]

б) [math]-\frac{7\mathrm\pi}6,\;-\mathrm\pi,\;-\frac{5\mathrm\pi}6,\;-\frac{\mathrm\pi}6,\;0[/math]

14

Около шара описана правильная усечённая четырёхугольная пирамида, у которой площадь одного основания в 9 раз больше площади другого.

а) Докажите, что боковыми гранями усечённой пирамиды являются трапеции, высоты которых равны среднему арифметическому сторон оснований.

б) Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим усеченную четырехугольную пирамиду [math]ABCDA_1B_1C_1D_1[/math], Описанную около шара (см. рисунок) Пусть [math]A_1B_1C_1D_1[/math] - квадрат со стороной а, [math]ABCD[/math] - квадрат со стороной b. По условию [math]S_{ABCD}=9S_{A_1B_1C_1D_1}[/math] , [math]b^2=9a^2[/math] следовательно [math]b=3a[/math].

Вариант 20

Пусть [math]M[/math] - середина [math]AB[/math], [math]N[/math] - середина [math]CD[/math]. Проведем прямую [math]MN[/math] сечение, перпендикулярное плоскости основания. Пусть [math]KP[/math] - отрезок, по которому плоскость сечения пересекается с верхним основанием, [math]KP\parallel MN[/math], [math]K[/math] - середина [math]A_1B_1[/math], [math]P[/math] - середина [math]C_1D_1[/math]. Трапеция [math]KPMN[/math] описана около круга, образованного сечением шара рассматриваемой плоскостью. Тогда [math]KP+MN=MK+PN=4a[/math], [math]MK=PN=2a[/math]. C другой стороны, [math]PN[/math] - высота трапеции [math]DD_1C_1C[/math] и [math]PN=2a=\frac{3a+a}2=\frac{CD+C_1D_1}2[/math], что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим трапецию [math]MKPN[/math] (см. рисунок)

Вариант 20

[math]MN\perp CD[/math], [math]PN\perp CD[/math], поэтому [math]\angle PNM[/math] - линейный угол искомого двугранного угла

[math]HN=\frac{MN-KP}2=\frac{3a-a}2=a[/math]

[math]\cos\angle PNH=\frac{HN}{PN}=\frac a{2a}=\frac12[/math]

[math]\angle PNH=\frac{\mathrm\pi}3[/math]

Ответ: [math]\frac{\mathrm\pi}3[/math]

15

Решите неравенство [math]\log_{0,5}\left(x-3\right)-\log_{0,5}\left(x+3\right)-\log_\frac{x+3}{x-3}2>0[/math].

Показать ответ

Решение:

ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-3>0\\x+3>0\\\frac{x+3}{x-3}>0\\\frac{x+3}{x-3}\neq1\end{array}\\x\neq3\end{array}\right.x>3[/math]

[math]\begin{array}{l}\log_{0,5}\frac{x-3}{x+3}+\log_\frac{x-3}{x+3}2>0\\-\log_2\frac{x-3}{x+3}+\frac1{\log_2{\displaystyle\frac{x-3}{x+3}}}>0\\\log_2\frac{x-3}{x+3}=t;\;-t+\frac1t>0\\\frac{(t-1)(t+1)}t<0\\\left\{\begin{array}{l}t<-1\\0<t<1\end{array}\right.\end{array}[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}\log_2\frac{x-3}{x+3}<-1\\0<\log_2\frac{x-3}{x+3}<1\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}\log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_2\frac12\\\log_21<\log_2\frac{x-3}{x+3}<\log_22\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{x+3}<\frac12\\1<\frac{x-3}{x+3}<2\end{array}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}\frac{x-9}{x+3}0\\\frac{-x-9}{x+3}<0\end{array}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-9<0\\-6<0\end{array}\\-x-9<0\end{array}\right.[/math]

Так как на ОДЗ [math]x+3>0[/math], получаем, что [math]x<9[/math], а с учетом ОДЗ [math]3<x<9[/math]

Ответ: [math]3<x<9[/math]

16

Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внутренним образом в точке А, равны 5 и 4 соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С.

а) Докажите, что [math]\frac{AB}{AO_1}=\frac{BC}{O_1O_2}[/math].

б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно, что АВ = 1.

Показать ответ

Решение:

а) Рассмотрим случай, когда прямые [math]BC[/math] и [math]O_1O_2[/math] не совпадают. Тогда [math]\bigtriangleup O_2AC[/math] и [math]\bigtriangleup O_1AB[/math] - равнобедренные и, следовательно, [math]\angle O_2AC=\angle O_2CA,\;[/math][math]\angle O_1AC=\angle O_1BC\;[/math], но [math]\angle O_2AC[/math] - общий, поэтому [math]\angle O_2AC=\angle O_1AC=\angle O_1BC=\angle O_2CA[/math] и [math]\bigtriangleup O_2AC\;\sim\;\bigtriangleup O_1AB[/math] по двум углам и [math]\frac{AC}{AB}=\frac{AO_2}{AO_1}[/math]

[math]\begin{array}{l}\frac{BC}{AB}=\frac{AB-AC}{AB}=1-\frac{AC}{AB}\\\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac{AO_1-AO_2}{AO_1}=1-\frac{AO_2}{AO_1}\end{array}[/math]

Значит, [math]\frac{BC}{AB}=\frac{O_1O_2}{AO_1}[/math] или [math]\frac{BC}{O_1O_2}=\frac{AB}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

Вариант 20

Рассмотрим случай, когда прямые [math]O_1O_2[/math] и [math]AB[/math] совпадают:

[math]\frac{AB}{AO_1}=2;[/math][math]BC=AB-AC=10-8=2[/math]; [math]O_1O_2=AO_1-AO_2=1[/math]; [math]\frac{BC}{O_1O_2}=2=\frac{AB}{AO_1}[/math] (см. рисунок)

Вариант 20

б) Обозначим [math]x[/math] - искомая длина касательной, тогда [math]\begin{array}{l}x^2=AB\times BC=AB^2\times\frac{O_1O_2}{AO_1}=\frac15\\x=\frac{\sqrt5}5\end{array}[/math]

Ответ: [math]x=\frac{\sqrt5}5[/math]

17

Первоначально годовой фонд заработной платы столовой составлял 1 500 000 рублей. После увеличения числа клиентов, штатное расписание было увеличено на 9 человек, а фонд заработной платы возрос до 5 250 000 рублей, средняя годовая заработная плата (относительно всех сотрудников) стала больше на 100 000 рублей. Какова стала средняя заработная плата (относительно всех сотрудников) после увеличения годового фонда?

Показать ответ

Решение:

Пусть изначально в столовой работали [math]n[/math] человек. Тогда средняя годовая заработная плата (в рублях) равнялась [math]\frac{1500000}n[/math]. После увеличения числа клиентов штат сотрудников составил [math]n+9[/math] человек, а средняя годовая заработная плата возросла до [math]\frac{5250000}{n+9}[/math] рублей. По условию [math]\frac{5250000}{n+9}-\frac{1500000}n=100000[/math] Найдем n.

[math]\begin{array}{l}\frac{105}{n+9}-\frac{30}n=2\\\frac{105n-30(n+9)}{n(n+9)}=\frac{75n-270}{n(n+9)}=2\\2n^2+18n=75n-270\\2n^2-57n+270=0\\n_1=6;\;n_2=22,5.\end{array}[/math]

Число сотрудников должно выражаться неотрицательным целым числом, поэтому [math]n=6[/math], тогда [math]n+9=15[/math]. Искомая средняя годовая заработная плата равна [math]\frac{5250000}{15}=350000[/math] рублей.

Ответ: 350000 рублей.

18

При каких значениях р > 0 уравнение [math]3\sqrt{2x+p}=1+3x[/math] имеет два различных корня?

Показать ответ

Решение:

Обозначим [math]y=\sqrt{2x+p}\geq0,\;[/math] тогда [math]x=\frac{y^2-p}2[/math] и уравнение примет вид [math]3y^2-6y+2=3p[/math]

Построим графики [math]z=3y^2-6y+2,\;y\geq0[/math] и [math]z=3p[/math] (см. рисунок)

Вариант 20

Находим абсциссу вершины параболы: [math]y_0=\frac6{2\times3}=1[/math]; Ордината вершины параболы [math]z_0=z(1)=-1[/math]. Очевидно, что искомые [math]p[/math] должны удовлетворять условию [math]-1<3p\leq2[/math], отсюда [math]-\frac13<p\leq\frac23[/math], А с учетом условия задачи [math]0<p\leq\frac23[/math]

Ответ: [math]0<p\leq\frac23[/math]

19

Решите в целых числах уравнение 19х2 + 28у2 = 729.

Показать ответ

Решение:

Так как [math](18x^2+27y^2)+(x^2+y^2)=729[/math], то [math]x^2+y^2[/math] делится на 3, поэтому [math]x:3[/math] и [math]y:3[/math].

Действительно, пусть [math]x^2+y^2=3m\;(m\in\mathbb{N})[/math]. Предположим, что [math]x[/math] не делится на 3. Тогда либо [math]x=3t+1[/math], либо [math]x=3t+2\;(t\in\mathbb{Z})[/math]. В любом случае [math]x^2=3k+1\;(k\in\mathbb{Z})[/math]. Отсюда получаем: [math]3m=x^2+y^2=3k+1+y^2[/math]

Поэтому [math]1+y^2[/math] делится на 3. Но согласно вышесказанному, [math]y^2=3s+1(s\in\mathbb{Z})[/math]. Получаем, что [math]3m=3(k+s)+2[/math], что невозможно.

Пусть [math]x=3u,\;y=3v\;(u,v\in\mathbb{Z})[/math], тогда [math]19u^2+28v^2=81[/math]. Повторяя рассуждения, получим, что [math]u=3a,\;v=3b\;(a,b\in\mathbb{Z})[/math] и [math]19a^2+28b^2=9[/math]. Это уравнение не имеет решения в целых числах, так как [math]19a^2+28b^2[/math] либо равно нулю, либо не меньше [math]19[/math].

Ответ: решений нет

0 из 0
Ваш ответ Правильный ответ Первичный балл

Здесь появится результат тестовой части.

Нажмите на кнопку «Завершить работу», чтобы увидеть правильные ответы.

507 376
Уже готовятся к ЕГЭ и ОГЭ.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
или
Ответьте на пару вопросов
Вы...
Ученик Учитель Родитель